2024年廣東省深圳市南山實驗教育集團中考數(shù)學一模試卷

第1頁（共1頁）2024年廣東省深圳市南山實驗教育集團中考數(shù)學一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1．（3分）硯臺與筆、墨、紙是中國傳統(tǒng)的文房四寶，是中國書法的必備用具．如圖是一方寓意“規(guī)矩方圓”的硯臺，它的俯視圖是（）A． B． C． D．2．（3分）下列運算結(jié)果中正確的是（）A．＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．a(chǎn)5÷a3+a2＝2a23．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式m2﹣m的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．24．（3分）估算的結(jié)果（）A．在6和7之間 B．在7和8之間 C．在8和9之間 D．在9和10之間5．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝2，EF＝6，則DF的長度是（）A．6 B．8 C．10 D．126．（3分）尺規(guī)作圖：如圖（1），在△ABC中，∠C＝45°，在AC邊上求作一點P，使∠PBC＝45°．如圖（2），其中正確的有（）個．A．4 B．3 C．2 D．17．（3分）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，說在端”．如圖2所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm8．（3分）若一次函數(shù)y＝x+k與反比例函數(shù)的圖象沒有公共點，則k的值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．49．（3分）我?！褒埿袛?shù)學”綜合實踐活動小組在下表中記錄了二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中兩個變量x與y的5組對應值，其中x2＞x1＞﹣1，若當0＜x≤4時，直線y＝k與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點（）x…﹣3﹣1x1x25…y…m0﹣20m…A． B． C． D．10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（k≠0，x＞0）的圖象上，點C在y軸上，AC∥x軸，BD⊥AC于點D，BD＝3CD，則k值為（）A．3 B．4 C． D．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）已知m，n滿足，則的值為．12．（3分）如圖，電路圖上有三個開關S1，S2，S3，和兩個小燈泡L1，L2，隨機閉合開關S1，S2，S3中的兩個，能讓燈泡L2發(fā)光的概率是．13．（3分）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關于正方形的分割術，經(jīng)過歷代演變而成七巧板．我?！镑梓雸F”數(shù)學興趣小組用邊長為8的正方形，則圖②中陰影部分的面積為．14．（3分）將正方體的一種展開圖，按如圖方式放置在直角三角形紙片上，若小正方形的邊長為1．15．（3分）在銳角△ABC中，AD，BE分別為△ABC的中線和角平分線，且AD⊥BE，則＝．三、解答題（本大題共7小題，共55分）16．（6分）計算：．17．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝2024．18．（8分）開學初，為評估九年級學生的數(shù)學學情，并采取有針對性的教與學，我校抽取了九下部分學生的適應性考試數(shù)學成績作為樣本分析，繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（1）這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學生？（2）求樣本中成績類別為“中”的人數(shù)，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若我校九年級共有1800人參加了這次考試，請你估計該校九年級共有多少名學生的數(shù)學成績達到優(yōu)秀？19．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，CF（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若直徑AD＝10，cosB＝，求FD的長．20．（8分）“道路千萬條，安全第一條”．公安交警部門提配市民，騎行必須嚴格遵守“一盔一帶”的法規(guī)．某安全頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔1月份到3月份的銷量，3月份銷售720個，且從1月份到3月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，并且盡可能讓市民得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？21．（9分）綜合與應用為促進中學生全面發(fā)展，培養(yǎng)良好體質(zhì)，某班同學在“大課間”開展“集體跳繩”運動．跳繩時2+bx+c的部分圖象．以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，若搖繩的兩人之間間距為6米，搖繩時兩人手離地面均為米，在距離搖繩者A的水平距離1.5米處，繩子剛好經(jīng)過她的頭頂．【閱讀理解】（1）求圖中拋物線的解析式；（不需要求自變量取值范圍）【問題解決】（2）體育龍老師身高1.82米，請問他適合參加本次運動嗎？說明理由；（3）若多人進入跳繩區(qū)齊跳，且大家身高均為1.7米，要求相鄰兩人之間間距至少為0.6米22．（10分）綜合與探究【問題背景】北師大版數(shù)學八年級下冊P89第12題（以下圖片框內(nèi)）．11．如圖（1），點D在等邊三角形ABC的邊BC上，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)（1）在圖（1）中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（2）小明是這樣做的：如圖（2），過點C畫BA的平行線l，△l上取CE＝BD，則△ACE即為旋轉(zhuǎn)后的圖形，你能說說小明這樣做的道理嗎？12．如圖，△ABC，△ADE均為頂角為42°的等腰三角形，DE分別是底邊，圖中的哪兩個三角形可以通過怎樣的旋轉(zhuǎn)而相互得到？【初步探究】（1）我們需利用圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形全等的聯(lián)系，并把特殊角度一般化．如圖1，在△ABC與△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求證：BD＝CE．【類比探究】（2）如圖2，在邊長為3的正方形ABCD中，點E，BC上的點，且DE＝1．連接AE，EF，若∠EAF＝45°【深入探究】（3）如圖3，D，P是等邊△ABC外兩點，連接BD并取BD的中點M，∠MPC＝60°．試猜想PA與PD的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．【拓展應用】（4）如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝CD，，，請直接寫出BC的長．

2024年廣東省深圳市南山實驗教育集團中考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的）1．（3分）硯臺與筆、墨、紙是中國傳統(tǒng)的文房四寶，是中國書法的必備用具．如圖是一方寓意“規(guī)矩方圓”的硯臺，它的俯視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從上邊看，可得如圖：．故選：C．2．（3分）下列運算結(jié)果中正確的是（）A．＝a B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．a(chǎn)5÷a3+a2＝2a2【解答】解：A.＝|a|；B．（﹣2a4）3＝﹣8a4，故B選項不符合題意；C．a(chǎn)2?a3＝a7，故C選項不符合題意；D．a(chǎn)5÷a3+a7＝2a2，故D選項符合題意；故選：D．3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式m2﹣m的值等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【解答】解：把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝2可得：m2﹣m﹣1＝8，即m2﹣m＝1；故選：A．4．（3分）估算的結(jié)果（）A．在6和7之間 B．在7和8之間 C．在8和9之間 D．在9和10之間【解答】解：原式＝×4＝5＝，∵＜＜，∴9＜＜10，即7＜×＜10，故選：D．5．（3分）如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝2，EF＝6，則DF的長度是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∵AB＝2，BC＝3，∴＝，解得：DE＝6，∴DF＝DE+EF＝4+6＝10，故選：C．6．（3分）尺規(guī)作圖：如圖（1），在△ABC中，∠C＝45°，在AC邊上求作一點P，使∠PBC＝45°．如圖（2），其中正確的有（）個．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①由作圖不能得出BP⊥AC，故①作法不正確；②由作圖得：∠PBC＝∠C＝45°，故②作法正確；③由作圖知P在BC的垂直平分線上，∴BP＝CP，∴∠PBC＝∠C＝45°，故③作法正確；④由作圖得：P在以AB為直徑的圓上，∴∠APB＝∠C+∠PBC＝90°，∴∠PBC＝45°，故④作法正確；故選：B．7．（3分）大約在兩千四五百年前，如圖1墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，說在端”．如圖2所示的小孔成像實驗中，若物距為10cm，蠟燭火焰倒立的像的高度是6cm，則蠟燭火焰的高度是（）A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm【解答】解：設蠟燭火焰的高度是xcm，由相似三角形的性質(zhì)得到：＝．解得x＝4．即蠟燭火焰的高度是6cm．故選：B．8．（3分）若一次函數(shù)y＝x+k與反比例函數(shù)的圖象沒有公共點，則k的值可以是（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【解答】解：因為一次函數(shù)y＝x+k與反比例函數(shù)的圖象沒有公共點，所以方程無解，原方程可整理為x2+kx﹣k＝0，則k6﹣4×1×（﹣k）＜6，解得﹣4＜k＜0，所以四個選項中的選項符合題意．故選：B．9．（3分）我校“龍行數(shù)學”綜合實踐活動小組在下表中記錄了二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中兩個變量x與y的5組對應值，其中x2＞x1＞﹣1，若當0＜x≤4時，直線y＝k與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點（）x…﹣3﹣1x1x25…y…m0﹣20m…A． B． C． D．【解答】解：由表中信息可知：拋物線經(jīng)過點（﹣3，m）和（5，∴拋物線的對稱軸為直線x＝，∴﹣＝1，∴b＝﹣5a．根據(jù)表中信息，拋物線經(jīng)過點（﹣1，∴a﹣b﹣2＝8，∴，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；∵yy＝x2﹣x﹣2＝2﹣，∴該拋物線的頂點坐標為（1，﹣），拋物線的開口方向向上，﹣2），﹣2），∴當x＝5時，y由最小值﹣，當x＝5時，y＝﹣2，y＝﹣2；當x＝2時，y＝，如圖：∵當0＜x≤6時，直線y＝k與該二次函數(shù)圖象有兩個公共點，∴﹣＜k＜﹣8．故選：C．10．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，點A（k≠0，x＞0）的圖象上，點C在y軸上，AC∥x軸，BD⊥AC于點D，BD＝3CD，則k值為（）A．3 B．4 C． D．【解答】解：延長BD交x軸于點E，作BG⊥y軸于點G，則四邊形OCAF、ADEF，∴BG＝CD，AF＝DE，設B點坐標為（m，n），BE＝n，∵AC＝AB＝5，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣m，∵BD＝4CD＝3m，∴AF＝DE＝n﹣3m，在Rt△ABD中，BD6+AD2＝AB2，∴（4m）2+（5﹣m）4＝52，解得m5＝1，m2＝5（舍去），∴DE＝n﹣3，AF＝n﹣3，∴B（6，n），n﹣3），∵點B（1，n），n﹣3）在反比例函數(shù)圖象上，∴n＝5（n﹣3），解得n＝，∴k＝＝．故選：D．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．（3分）已知m，n滿足，則的值為．【解答】解：∵，∴3m＝2（m+n），3m＝5m+2n，3m﹣4m＝2n，m＝2n，∴＝＝，故答案為：．12．（3分）如圖，電路圖上有三個開關S1，S2，S3，和兩個小燈泡L1，L2，隨機閉合開關S1，S2，S3中的兩個，能讓燈泡L2發(fā)光的概率是．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中能讓燈泡L2發(fā)光的結(jié)果數(shù)為3，∴能讓燈泡L2發(fā)光的概率為：＝，故答案為：．13．（3分）七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關于正方形的分割術，經(jīng)過歷代演變而成七巧板．我校“麒麟團”數(shù)學興趣小組用邊長為8的正方形，則圖②中陰影部分的面積為24．【解答】解：由圖形可知：陰影部分是由大正方形中1，2，8，4，這四部分組成的，∴陰影部分的面積等于大正方形的面積減去兩個大等腰直角三角形的面積，再減去中等的等腰直角三角形的面積，即：陰影部分的面積＝；故答案為：24．14．（3分）將正方體的一種展開圖，按如圖方式放置在直角三角形紙片上，若小正方形的邊長為18．【解答】解：如圖所示：由題意得，∠EHF＝∠EPB＝90°，∴△EFH∽△EBP，∴，∴，解得PB＝6，∴BC＝PB+CP＝6+8＝8．故答案為：8．15．（3分）在銳角△ABC中，AD，BE分別為△ABC的中線和角平分線，且AD⊥BE，則＝．【解答】解：過D作DF∥BE，交AC于點F，，∵AD是△ABC的中線，∴CD＝BD，即CD＝BD＝，∵DF∥BE，∴∠CFD＝∠CEB，∠CDF＝∠CBE，∴△CFD∽△CEB，∴＝＝，∴CF＝EF，∵AD⊥BE，DF∥BE，∴FD⊥AD，即∠ADF＝90°，∵BE＝AD，∴AD＝2FD，設FD＝x，則AD＝5x，由勾股定理得，AF＝＝x，∵BE為△ABC的角平分線，∴∠ABM＝∠DBM，∵AD⊥BE，∴∠DMB＝∠AMB＝90°，∵BM＝BM，∴△ABM≌△DBM（ASA），∴AM＝DM，即AM＝，AB＝BD，∵DF∥BE，∴∠AEM＝∠AFD，∠AME＝∠ADF，∴△AEM∽△AFD，∴＝，∴AE＝EF，EM＝xx，AM＝，由勾股定理得AB＝＝x，∴BD＝AB＝x，∴BC＝5BD＝x，∵CF＝EF，∴AC＝＝x，∴＝＝，故答案為：．三、解答題（本大題共7小題，共55分）16．（6分）計算：．【解答】解：＝7﹣1+2﹣＝3﹣．17．（6分）先化簡，再求值：，其中x＝2024．【解答】解：＝?＝?＝﹣＝，當x＝2024時，原式＝＝．18．（8分）開學初，為評估九年級學生的數(shù)學學情，并采取有針對性的教與學，我校抽取了九下部分學生的適應性考試數(shù)學成績作為樣本分析，繪制成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖（1）這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學生？（2）求樣本中成績類別為“中”的人數(shù)，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若我校九年級共有1800人參加了這次考試，請你估計該校九年級共有多少名學生的數(shù)學成績達到優(yōu)秀？【解答】解：（1）22÷44%＝50（名），答：這次調(diào)查中，一共抽取了50名學生；（2）50×20%＝10（人），∴樣本中表示成績類別為“中”的人數(shù)有10人；補全圖形如下：（3）1800×＝360（名），答：估計該校九年級共有360名學生的數(shù)學成績達到優(yōu)秀．19．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，CF（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若直徑AD＝10，cosB＝，求FD的長．【解答】（1）證明：連接OC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，∴cos∠ADC＝，在Rt△ACD中，∵cos∠ADC＝＝，AD＝10，∴CD＝AD?cos∠ADC＝10×＝5，∴AC＝＝5，∴＝，∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴＝＝＝，設FD＝3x，則FC＝7x，又∵FC2＝FD?FA，即（4x）7＝3x（3x+10），解得x＝（取正值），∴FD＝3x＝．20．（8分）“道路千萬條，安全第一條”．公安交警部門提配市民，騎行必須嚴格遵守“一盔一帶”的法規(guī)．某安全頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔1月份到3月份的銷量，3月份銷售720個，且從1月份到3月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，并且盡可能讓市民得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？【解答】解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據(jù)題意得：500（1+x）2＝720，解得：x5＝0.2＝20%，x5＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%；（2）設該品牌頭盔的實際售價應定為y元/個，則每個的銷售利潤為（y﹣30）元，根據(jù)題意得：（y﹣30）（1000﹣10y）＝10000，整理得：y4﹣130y+4000＝0，解得：y1＝50，y8＝80，又∵要盡可能讓市民得到實惠，∴y＝50．答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元/個．21．（9分）綜合與應用為促進中學生全面發(fā)展，培養(yǎng)良好體質(zhì)，某班同學在“大課間”開展“集體跳繩”運動．跳繩時2+bx+c的部分圖象．以點O為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，若搖繩的兩人之間間距為6米，搖繩時兩人手離地面均為米，在距離搖繩者A的水平距離1.5米處，繩子剛好經(jīng)過她的頭頂．【閱讀理解】（1）求圖中拋物線的解析式；（不需要求自變量取值范圍）【問題解決】（2）體育龍老師身高1.82米，請問他適合參加本次運動嗎？說明理由；（3）若多人進入跳繩區(qū)齊跳，且大家身高均為1.7米，要求相鄰兩人之間間距至少為0.6米【解答】解：（1）∵搖繩的兩人之間間距為6米，搖繩時兩人手離地面均為米，∴拋物線的對稱軸為直線x＝6．由題意得：拋物線經(jīng)過點（0，），（4.5．∴．解得：．∴圖中拋物線的解析式為：y＝﹣8.1x2+4.6x+0.3；（2）∵﹣0.1＜6，∴二次函數(shù)有最大值＝＝＝5.8．∵1.4m＜1.82m，∴他不適合參加本次運動；（3）當y＝1.3時．﹣0.1x5+0.6x+8.9＝1.5．0.1x4﹣0.6x+2.8＝0．x2﹣6x+8＝3．（x﹣2）（x﹣4）＝6．∴x1＝2，x8＝4．∴4﹣6＝2（米）．∵相鄰兩人之間間距至少為0.2米，∴間距個數(shù)為：2÷0.3＝3．∴最多可供4人齊跳．答：最多可供4人齊跳．22．（10分）綜合與探究【問題背景】北師大版數(shù)學八年級下冊P89第12題（以下圖片框內(nèi)）．11．如圖（1），點D在等邊三角形ABC的邊BC上，將△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)（1）在圖（1）中畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形．（2）小明是這樣做的：如圖（2），過點C畫BA的平行線l，△l上取CE＝BD，則△ACE即為旋轉(zhuǎn)后的圖形，你能說說小明這樣做的道理嗎？12．如圖，△ABC，△ADE均為頂角為42°的等腰三角形，DE分別是底邊，圖中的哪兩個三角形可以通過怎樣的旋轉(zhuǎn)而相互得到？【初步探究】（1）我們需利用圖形的旋轉(zhuǎn)與圖形全等的聯(lián)系，并把特殊角度一般化．如圖1，在△ABC與△ADE中，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求證：BD＝CE．【類比探究】（2）如圖2，在邊長為3的正方形ABCD中，點E，BC上的點，且DE＝1．連接AE，EF，若∠EAF＝45°【深入探究】（3）如圖3，D，P是等邊△ABC外兩點，連接BD并取BD的中點M，∠MPC＝60°．試猜想PA與PD的數(shù)量關系，并證明你的結(jié)論．【拓展應用】（4）如圖4，在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，AD＝CD，，，請直接寫出BC的長．【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE．∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）解：將△ADE繞點