遼寧省大連市沙河口區(qū)2023-2024學(xué)年八年級下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

2024年八年級（下）第一次學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試卷（本試卷共23道題滿分120分考試時間120分鐘）考生注意：所有試題必須在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，在本試卷上作答無效第一部分選擇題（共30分）一、選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.二次根式中，的取值范圍是（）A. B. C. D.2.下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L的線段能構(gòu)成直角三角形的是（）A.2，4，4 B.，2，2 C.3，4，5 D.5，12，143.下列計算正確的是（）A. B. C. D.4.如圖，一棵大樹（樹干與地面垂直）在一次強臺風(fēng)中于離地面6米處折斷倒下，倒下后的樹頂與樹根的距離為8米，則這棵大樹在折斷前的高度為（）A.10米 B.12米 C.14米 D.16米5.如圖，在中，，，，垂足為，，則的長為（）A. B.2 C. D.36.實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡：的結(jié)果為（）A.2 B. C. D.7.如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里8.已知，則代數(shù)式的值是（）A. B. C. D.9.如圖，數(shù)軸上點、、分別對應(yīng)1、2、3，過點作，以點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，以點為圓心，長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點，則點對應(yīng)的數(shù)是（）A. B. C. D.10.把四張形狀大小完全相同，寬為1cm的小長方形卡片（如圖1）不重疊地放在一個底面為長方形，長為，寬為5cm盒子底部（如圖2），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示.則圖2中兩塊陰影部分的周長和是（）圖1圖2A.20cm B. C. D.第二部分非選擇題（共90分）二、填空題（本題共5小題，每小題3分，共15分）11.計算：______.12.據(jù)研究，高空拋物下落的時間（單位：s）和高度（單位：m）近似滿足公式：，從60m高空拋物到落地的時間為______s.13.計算：______.14.在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開門去間（kǔn）一尺，不合二寸，向門廣幾何.”大意是說：如圖，推開兩扇門（和），門邊緣、兩點到門檻的距離為1尺（1尺=10寸），兩扇門間的縫隙為2寸，，那么門的寬度即的長為______寸.15.如圖，線段的長為4，是等腰直角三角形，，，的長為，將繞點旋轉(zhuǎn)一周，連接，當(dāng)，，三點共線時，線段的長為______.三、解答題（本題共8小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）16.計算（每題5分，共10分）（1）； （2）.17.（本小題8分）小龍在放風(fēng)箏時想測量風(fēng)箏離地面的垂直高度，通過勘測，得到如下記錄表：測量示意圖測量數(shù)據(jù)①測得水平距離的長為24米.②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風(fēng)箏線的長為25米.③小龍牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離長為1.6米.（1）求風(fēng)箏到地面的距離線段的長；（2）如果小龍想要風(fēng)箏沿方向再上升11米，和的長度不變，則他應(yīng)該再放出多少米線？18.（本小題9分）著名的趙爽弦圖（如圖1），其中四個直角三角形較大的直角邊長都為，較小的直角邊長都為，斜邊長都為，大正方形的面積可以表示為，也可以表示為，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為，，斜邊長為，則.圖1圖2圖3圖4（1）在圖2中，四邊形是正方形，利用兩種不同的方法表示出四邊形的面積，也可以證明勾股定理，請你利用圖2推導(dǎo)勾股定理；（2）如圖3，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊，河邊原有兩個取水點、，，由于某種原因，由到的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點（、、在同一條直線上），并新修一條路，且.測得千米，千米，求新路比原路少多少千米？（3）在第（2）問中，若，如圖4，，千米，千米，千米，求的長.19.（本小題8分）已知，.（1）求的值；（2）求的值.20.（本小題8分）如圖，臺風(fēng)中心沿東西方向由向移動，已知點為一海港，且點與直線上的兩點、的距離分別為，，又，經(jīng)測量，距離臺風(fēng)中心260km及以內(nèi)的地區(qū)會受到影響.（1）請通過計算說明，海港會受到臺風(fēng)影響；（2）若臺風(fēng)中心的移動速度為25千米/時，則臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間有多長？21.（本小題8分）觀察下列等式：①； ②；③；…解答下列問題：（1）寫一個無理數(shù)，使它與的積為有理數(shù)，你寫出的無理數(shù)是______；（2）利用你觀察到的規(guī)律，化簡；（3）計算：.22.（本小題12分）【問題建立】（1）如圖1，和都是等邊三角形，當(dāng)點，，在一條直線上時，把沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落在線段上.求證：.【問題應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，，點在邊上，連接，將沿直線翻折得到，連接并延長交的延長線于點.求證：.【問題遷移】（3）如圖3，在中，，，點在下方，，將沿直線翻折得到，點的對應(yīng)點恰好落在線段上.求證：.圖1圖2圖323.（本小題12分）【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下問題：如圖1，在中，，，點在邊上，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，連接并延長交的延長線于點.求證：.①如圖2，小輝同學(xué)要證明，從而給出如下解題思路：過點作交的延長線于點.②如圖3，小光同學(xué)要證，從而給出如下解題思路：在上截取，連接.請你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程.圖1圖2圖3【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都利用構(gòu)造全等三角形，證明出特殊三角形，為了幫助學(xué)生更好地感悟構(gòu)造全等三角形的方法，李老師提出下面的問題，請你解答.如圖4，在中，，，點，在邊上，，連接，，點在邊上，連接，且.求證：.圖4圖5【學(xué)以致用】（3）如圖5，在中，，，點在邊上，，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段，連接并延長交的延長線于點，連接，求的面積.

2024年八年級（下）第一次學(xué)情調(diào)查數(shù)學(xué)試卷答案及評分標(biāo)準一、選擇題：1.A；2.C；3.D；4.D；5.C；6.A；7.D；8.C；9.B；10.A.二、填空題：11.；12.；13.；14.101；15.或.15.解析：①如圖1，當(dāng)在線段上方，點在線段上時.∵是等腰直角三角形，，，，∴，∵，在中，根據(jù)勾股定理，，∴；圖1圖2②如圖2，當(dāng)在線段下方，點在線段的延長線上時，同理可得，∴.三、解答題：16.解：（1）原式……2分……4分；……5分（2）原式……8分……9分.……10分17.解：（1）在中，，，，∵，……1分∴，……2分則；……3分答：風(fēng)箏到地面的距離線段AD的長為8.6m；……4分（2）風(fēng)箏沿方向再上升11米后，則，……5分此時在中，，，，∵，∴風(fēng)箏線的長，……6分∴（米），……7分答：他應(yīng)該再放出5米的風(fēng)箏線.……8分18.解：（1）證明：由題意知，∵，，……1分∴，∴；……2分（2）設(shè)千米，∴千米，在中，，∴，解得，……3分即千米，∴（千米），……4分答：新路比原路少0.1千米；……5分（3）設(shè)千米，∴（千米），∵，∴，千米，千米，千米，根據(jù)勾股定理得，在中，，在中，，…6分∴，……7分即，解得：，∴，……8分∴千米.……9分答：的長是0.8千米.19.解：（1）∵，，∴，，……2分……3分；……4分（2）∵，，∴，，，……5分……7分.……8分20.解：（1）∵，，，∴，，……1分∴，∴是直角三角形，，……2分如圖，過點作于，∵是直角三角形，∴，∴，∴，……3分∵以臺風(fēng)中心為圓心周圍260km以內(nèi)為受影響區(qū)域，，∴海港受臺風(fēng)影響；……4分（2）如圖，在上取點，，使，則臺風(fēng)中心到達點時正好影響港口，到達點時，影響結(jié)束.在中，根據(jù)勾股定理得，，……5分∵，，∴，……6分∵臺風(fēng)的速度為25千米/小時，∴（小時）.……7分答：臺風(fēng)影響該海港持續(xù)的時間為8小時.……8分21.解：（1）；……2分（2）；……4分（3）原式……5分……6分……7分.……8分22.解：（1）證明：如圖1，∵和都是等邊三角形，∴，，，∴，即，……1分在和中，，∴.∴.∵翻折得到，∴，∴，∵，∴.……3分（2）證明：如圖2，連接，∵沿翻折得到，∴，.又∵，∴.∴，，……4分設(shè)，∴，∴，∴，∵，∴，∴.……5分又∵，∴，∴，∴.……6分∴在中，，∴.……7分∵，，∴.∴.……8分（3）證明：如圖3，延長至點，使，連接.∵，，∴.∴，∵，∴.……9分∵，，.∴.∵，.……10分∴，即.∴為等腰直角三角形，∴，∴.∴.……11分∵沿著翻折得到，∴，∴.∵，∴，∴.……12分圖1圖2圖323.解：（1）選擇小輝同學(xué)的解題思路.證明：如圖1，過作交的延長線于.∵，∴，，∴.……1分∵交延長線于，∴，∴，又∵繞點旋轉(zhuǎn)至，∴，∴，∴，.……2分∵，∴.∴.∴，∴.∴，∴.∵，∴為等腰直角三角形，∴.∴，∴.……3分選擇小光同學(xué)的解題思路.證明：如圖2，在上截取，連接.∵，∴.∴.……1分∵，，∴.即.又∵，∴.∴.……2分∵，，∴，∴.∴，∴，∵，∴.，，∴.……3分（2）證明：如圖3.過作于，過作于.∵，，∴，又∵.∴.∴，.……4分∵，∴，