三維坐標(biāo)變換

第7章三維變換及三維觀察提出問題如何對三維圖形進行方向、尺寸和形狀方面的變換如何進行投影變換如何方便地實現(xiàn)在顯示設(shè)備上對三維圖形進行觀察2024/4/617.1三維變換的基本概念7.1.1三維齊次坐標(biāo)變換矩陣2024/4/627.1.2幾何變換圖形的幾何變換是指對圖形的幾何信息經(jīng)過平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形。點的矩陣變換線框圖的變換用參數(shù)方程描述的圖形的變換2024/4/637.1.3平面幾何投影投影變換就是把三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。平面幾何投影主要指平行投影、透視投影以及通過這些投影變換而得到的三維立體的常用平面圖形：三視圖、軸測圖。觀察投影是指在觀察空間下進行的圖形投影變換。2024/4/64投影中心、投影面、投影線：

2024/4/65平面幾何投影可分為兩大類：透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的平行投影的投影中心到投影面之間的距離是無限的2024/4/662024/4/677.1.4觀察投影2024/4/687.2三維幾何變換2024/4/697.2.1三維基本幾何變換三維基本幾何變換都是相對于坐標(biāo)原點和坐標(biāo)軸進行的幾何變換假設(shè)三維形體變換前一點為p(x,y,z)，變換后為p'(x',y',z')。2024/4/6101.平移變換2024/4/6112.比例變換(1)局部比例變換2024/4/612 例子：對如圖7-6所示的長方形體進行比例變換，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求變換后的長方形體各點坐標(biāo)。

2024/4/613(2)整體比例變換2024/4/6143.旋轉(zhuǎn)變換2024/4/615(1)繞z軸旋轉(zhuǎn)2024/4/616(2)繞x軸旋轉(zhuǎn)

2024/4/617(3)繞y軸旋轉(zhuǎn)2024/4/6184.對稱變換(1)關(guān)于坐標(biāo)平面對稱關(guān)于xoy平面進行對稱變換的矩陣計算形式為：

2024/4/619關(guān)于yoz平面的對稱變換為：2024/4/620關(guān)于zox平面的對稱變換為:2024/4/621(2)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱變換關(guān)于x軸進行對稱變換的矩陣計算形式為：

2024/4/622關(guān)于y軸的對稱變換為：2024/4/623關(guān)于z軸的對稱變換為：2024/4/6245.錯切變換

2024/4/625(1)沿x方向錯切

2024/4/626(2)沿y方向錯切2024/4/627(3)沿z方向錯切2024/4/6286.逆變換所謂逆變換即是與上述變換過程的相反的變換(1)平移的逆變換2024/4/629(2)比例的逆變換局部比例變換的逆變換矩陣為：2024/4/630整體比例變換的逆變換矩陣為：

2024/4/631(3)旋轉(zhuǎn)的逆變換2024/4/6327.2.2三維復(fù)合變換三維復(fù)合變換是指圖形作一次以上的變換，變換結(jié)果是每次變換矩陣相乘。

2024/4/6331.相對任一參考點的三維變換相對于參考點F(xf,yf,zf)作比例、旋轉(zhuǎn)、錯切等變換的過程分為以下三步：(1)將參考點F移至坐標(biāo)原點(2)針對原點進行二維幾何變換(3)進行反平移2024/4/634例：相對于F(xf,yf,zf)點進行比例變換2024/4/6352.繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換問題：如何求出為TRAB。

2024/4/636分析：2024/4/637公式推導(dǎo)：(1)將坐標(biāo)原點平移到A點(2)將O'BB'繞x'軸逆時針旋轉(zhuǎn)α角，則O'B旋轉(zhuǎn)到x'o'z'平面上(3)將O'B繞y'軸順時針旋轉(zhuǎn)β角，則O'B旋轉(zhuǎn)到z'軸上。(4)經(jīng)以上三步變換后，AB軸與z'軸重合，此時繞AB軸的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換為繞z軸的旋轉(zhuǎn)。(5)最后，求TtA，TRx，TRy的逆變換，回到AB原來的位置。2024/4/638類似地，針對任意方向軸的變換可用五個步驟來完成：(1)使任意方向軸的起點與坐標(biāo)原點重合，此時進行平移變換。(2)使方向軸與某一坐標(biāo)軸重合，此時需進行旋轉(zhuǎn)變換，且旋轉(zhuǎn)變換可能不止一次。(3)針對該坐標(biāo)軸完成變換。(4)用逆旋轉(zhuǎn)變換使方向軸回到其原始方向。(5)用逆平移變換使方向軸回到其原始位置。2024/4/6397.3平行投影平行投影可分成兩類：正投影和斜投影。2024/4/6407.3.1正投影正投影又可分為：三視圖和正軸測。當(dāng)投影面與某一坐標(biāo)軸垂直時，得到的投影為三視圖；否則，得到的投影為正軸測圖。

2024/4/641三視圖：三視圖包括主視圖、側(cè)視圖和俯視圖三種，投影面分別與X軸、Y軸和Z軸垂直。2024/4/642正軸測圖正軸測有等軸測、正二測和正三測三種。當(dāng)投影面與三個坐標(biāo)軸之間的夾角都相等時為等軸測；當(dāng)投影面與兩個坐標(biāo)軸之間的夾角相等時為正二測；當(dāng)投影面與三個坐標(biāo)軸之間的夾角都不相等時為正三測。

2024/4/6432024/4/6441.三視圖計算步驟：(1)確定三維形體上各點的位置坐標(biāo)(2)引入齊次坐標(biāo)，求出所作變換相應(yīng)的變換矩陣(3)將所作變換用矩陣表示，通過運算求得三維形體上各點(x,y,z)經(jīng)變換后的相應(yīng)點(x',y')或(y',z')(4)由變換后的所有二維點繪出三維形體投影后的三視圖。

2024/4/6452.主視圖將三維形體向xoz面（又稱V面）作垂直投影（即正平行投影），得到主視圖。

2024/4/6463.俯視圖三維形體向xoy面（又稱H面）作垂直投影得到俯視圖，(1)投影變換(2)使H面繞x軸負(fù)轉(zhuǎn)90°(3)使H面沿z方向平移一段距離-z0

2024/4/6474.側(cè)視圖獲得側(cè)視圖是將三維形體往yoz面（側(cè)面W）作垂直投影。(1)側(cè)視圖的投影變換(2)使W面繞z軸正轉(zhuǎn)90°(3)使W面沿負(fù)x方向平移一段距離x02024/4/6485.正軸測圖的投影變換矩陣分析：2024/4/649公式推導(dǎo)：(1)先繞y軸順時針旋轉(zhuǎn)α角(2)再繞x軸逆時針旋轉(zhuǎn)β角(3)將三維形體向xoy平面作正投影

最后得到正軸測圖的投影變換矩陣2024/4/6506.正等測圖分析：2024/4/651公式推導(dǎo)： 將α和β的值代入(7-1)式得到正等測圖的投影變換矩陣：2024/4/6527.正二測圖分析：2024/4/653將α值代入(7-1)式得到正二測圖的投影變換矩陣：

特點分析：2024/4/6547.3.2斜投影斜投影圖，即斜軸測圖，是將三維形體向一個單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直于投影面所得到的平面圖形。常用的斜軸測圖有斜等測圖和斜二測圖。2024/4/6552024/4/656斜軸測圖的形成通常β=30?取30°或45°。

2024/4/657斜平行投影的投影變換矩陣為：對于斜等測圖有：α=45?,ctgα=1斜二測圖則有：α=arctg(2),ctgα=1/22024/4/658

對于斜等測圖有：α=45?,ctgα=1斜二測圖則有：α=arctg(2),ctgα=1/22024/4/6592024/4/6607.4透視投影分析：2024/4/6612024/4/662滅點：不平行于投影面的平行線的投影會匯聚到一個點，這個點稱為滅點(VanishingPoint)。坐標(biāo)軸方向的平行線在投影面上形成的滅點稱作主滅點。一點透視有一個主滅點，即投影面與一個坐標(biāo)軸正交，與另外兩個坐標(biāo)軸平行。兩點透視有兩個主滅點，即投影面與兩個坐標(biāo)軸相交，與另一個坐標(biāo)軸平行。三點透視有三個主滅點，即投影面與三個坐標(biāo)軸都相交。2024/4/6632024/4/6647.4.1一點透視分析：要考慮下列幾點：(1)三維形體與畫面（投影面）的相對位置；(2)視距，即視點（投影中心）與畫面的距離；(3)視點的高度。

2024/4/665假定視點（投影中心）在原點，畫面（投影面）與z軸垂直（z=d）。

一點透視的步驟：(1)將三維形體平移到適當(dāng)位置l、m、n；(2)令視點在z軸，利用公式(7-2)進行透視變換；(3)最后，為了繪制的方便，向xoy平面作正投影變換，將結(jié)果變換到xoy平面上。2024/4/666例：試?yán)L制如圖7-21(a)所示的單位立方體的一點透視圖。2024/4/6677.4.2二點透視可以這樣來構(gòu)造二點透視的一般步驟：(1)先將三維形體平移到適當(dāng)位置，使視點有一定高度，且使形體的主要表面不會積聚成線；(2)將形體繞y軸旋轉(zhuǎn)一個φ角(φ＜90?)，方向滿足右手定則；(3)進行透視變換(4)最后向xoy面作正投影，即得二點透視圖。2024/4/668例：試?yán)L制上例（圖7-21(a)）中的單位立方體的二點透視圖。2024/4/6697.4.3三點透視同樣可以簡單的構(gòu)造三點透視圖：(1)首先將三維形體平移到適當(dāng)位置；(2)將形體進行透視變換(3)然后使形體先繞y軸旋轉(zhuǎn)φ角；(4)再繞x軸旋轉(zhuǎn)θ角；(5)將變形且旋轉(zhuǎn)后的形體向xoy面作正投影。2024/4/6707.5觀察坐標(biāo)系及觀察空間7.5.1觀察坐標(biāo)系觀察參考坐標(biāo)系（ViewReferenceCoordinate）觀察參考點（ViewReferencePoint）2024/4/671觀察平面（ViewPlane），即投影平面。2024/4/672觀察坐標(biāo)系（uvn坐標(biāo)系）的建立法矢量N、法矢量V、法矢量U2024/4/6737.5.2觀察空間觀察窗口：

2024/4/674觀察空間：無限觀察空間、有限觀察空間2024/4/6752024/4/676需注意，對于透視投影，前截面必須在投影中心和后截面之間。

2024/4/677觀察平面和前后截面的有關(guān)位置取決于要生成的窗口類型及特殊圖形包的限制2024/4/6782024/4/679規(guī)范化觀察空間平行投影的規(guī)范化觀察空間定義為：2024/4/680透視投影的規(guī)范化觀察空間為：

2024/4/6817.6三維觀察流程2024/4/6827.6.1用戶坐標(biāo)系到觀察坐標(biāo)系的變換具體變換步驟：(1)平移觀察參考點到用戶坐標(biāo)系原點(2)進行旋轉(zhuǎn)變換分別讓xv、yv和zv軸對應(yīng)到用戶坐標(biāo)系中的x、y和z軸。2024/4/6832024/4/6847.6.2平行投影的規(guī)范化投影變換分析：2024/4/685平行投影的規(guī)范化投影變換可由以下三步組成。(1)將投影中心平移到觀察坐標(biāo)系原點。2024/4/686(2)對坐標(biāo)系進行錯切變換，使投影中心和窗口中心的連線錯切到zv軸2024/4/687(3)進行坐標(biāo)的歸一化變換2024/4/6887.6.3透視投影的規(guī)范化投影變換分析：透視投影的規(guī)范化投影變換分兩步進行(1)2024/4/689(2)2024/4/690變換步驟：(1)將投影中心平移到觀察坐標(biāo)系原點(2)對坐標(biāo)系進行錯切變換2024/4/691(3)進行比例變換。(4)將圖7-34(b)所示的透視投影的規(guī)范