應(yīng)用概率統(tǒng)計課件

二、邊緣分布一、二維隨機變量

多維隨機變量及其分布三、相互獨立的隨機變量設(shè)

E

是一個隨機試驗，它的樣本空間是S={e}，設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的隨機變量。由它們構(gòu)成的一個向量(X,Y)，叫做二維隨機向量，或二維隨機變量。SeX(e)Y(e)§1二維隨機變量定義注意事項二元函數(shù)設(shè)二維隨機變量，對于任意實數(shù)稱為二維隨機變量的分布函數(shù)，或隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)定義2yo(x,y)(X,Y)分布函數(shù)中的概率。如圖陰影部分：表示隨機點(X,Y)落在區(qū)域幾何意義：一個重要的公式y(tǒng)xox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：固定x,

y1<y2，固定x

,2.且是變量的不減函數(shù)，即固定y，x1<x2，固定y

,3.

F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),右連續(xù)，關(guān)于F(x,y)關(guān)于即也右連續(xù).上述四條性質(zhì)一二維隨機變量的分布函數(shù)是二維隨機變量分布函數(shù)的最基本的性質(zhì)，4)如果某一二元函數(shù)具有這四條性質(zhì)，那么它一定是某yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)n維隨機變量n維隨機變量的分布函數(shù)解由分布函數(shù)的性質(zhì)例1設(shè)的分布函數(shù)為求常數(shù)的值及概率解得從而則和Y的聯(lián)合分布律。所有可能的值為稱為二維隨機變量的分布律，或隨機變量X定義設(shè)（非負性）（歸一性）2．二維離散型隨機變量及其分布二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布律由題意知，{X=i，Y=j}的取值情況是：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后j取不大于i

的正整數(shù)。由乘法公式求得(X,Y)的分布律。設(shè)隨機變量X

在1,2,3,4四個數(shù)中等可能地取值，另一個隨機變量

Y

在1~X

中等可能地取一整數(shù)值。試求(X,Y)的分布律。例2解：XY12341234對于二維隨機變量(X,Y)分布函數(shù)F(x,y)，如果存在非負函數(shù)f(x,y)，使得對于任意的x，y有：則稱(X,Y)是連續(xù)型的二維隨機變量，函數(shù)f(x,y)稱為二維隨機變量(X,Y)的概率密度，或稱為X和Y的聯(lián)合概率密度。二維連續(xù)型隨機變量由定義，分布函數(shù)F(x,y)必連續(xù).（非負性）（歸一性）密度函數(shù)f(x,y)具有以下性質(zhì):40

設(shè)G是平面上的一個區(qū)域，點(X,Y)落在G內(nèi)的概率為：的概率。

解（1）利用概率密度的性質(zhì)已知二維隨機變量的概率密度為試求：(1)常數(shù)的值；(2)分布函數(shù)；例32）由定義

（3）的取值區(qū)域如圖3－3所示，故的分布函數(shù)。

試求：（1）的概率密度；

解（1）由概率密度的性質(zhì)知已知(2)例4§2邊緣分布邊緣分布函數(shù)

邊緣分布律

邊緣概率密度

返回主目錄邊緣分布的定義邊緣分布也稱為邊沿分布或邊際分布．已知聯(lián)合分布函數(shù)求邊緣分布函數(shù)返回主目錄例1例1（續(xù)）例1（續(xù)）

例２已知的分布函數(shù)求關(guān)于和的邊緣分布函數(shù)和，問和各服從什么分布？

解

關(guān)于的邊緣分布函數(shù)

關(guān)于的邊緣分布函數(shù)

記和的概率密度分別為和,則有所以，服從參數(shù)的指數(shù)分布，服從參數(shù)的指數(shù)分布。

已知聯(lián)合分布律求邊緣分布律已知聯(lián)合分布律求邊緣分布律例2例2（續(xù)）已知聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù)已知聯(lián)合密度函數(shù)求邊緣密度函數(shù)二維均勻分布例3yoy=xy=x21yoy=xy=x21xyoy=xy=x21xyo1x例4解

的二維正態(tài)分布，記為若二維隨機變量的概率密度為其中都是常數(shù),且則稱服從參數(shù)為例6結(jié)論（一）結(jié)論（二）結(jié)論（三）

條件分布律

條件分布函數(shù)條件概率密度第三章隨機變量及其分布§3條件分布設(shè)，我們考慮在事件已發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率，由條件概率公式可得1．二維離散型隨機變量的條件分布定義1設(shè)是二維離散型隨機變量，對于固定的，若，則稱為在的條件下的條件分布律。易知上述條件概率具有分布律的性質(zhì)同樣，設(shè)是二維離散型隨機變量，對于固定的，若，則稱為在的條件下的條件分布律。2．二維連續(xù)型隨機變量的條件分布

設(shè)是二維連續(xù)型隨機變量，因為對任意的

有，，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布。下面我們用極限的方法導(dǎo)出條件分布函數(shù)。定義2

給定，設(shè)對任意固定的正數(shù)

，，如果對任意實數(shù)，極限

存在，則稱為在條件Y=y下X的條件分布函數(shù)，寫成P{X

x

|Y=y}，或記為FX|Y(x|y).若記為在條件下的條件概率密度，則由上式可得

類似地有

由此可得關(guān)系式

條件密度函數(shù)的性質(zhì)例2

設(shè)隨機變量的概率密度為其中是由

和圍成的區(qū)域，求條件概率密度

,解要求條件概率密度，須先求出常數(shù)和邊緣密度由

因為僅當(dāng)在內(nèi)取值時，，故其中當(dāng)

或

時，無定義因為僅當(dāng)在內(nèi)取值時，故

當(dāng)

或

時，無定義。其中例3

設(shè)的聯(lián)合分布密度為

解

關(guān)于的邊緣密度為

于是二、頻率與概率一、隨機事件及其運算概率論的基本概念三、等可能概型四、條件概率五、獨立性二、樣本空間一、隨機試驗第一節(jié)隨機事件及其運算三、隨機事件四、事件間的關(guān)系及其運算一、隨機試驗（可重復(fù)性）(1)可以在相同條件下重復(fù)的進行(2)每次試驗可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果不止一個，(3)每次試驗前不能確定會出現(xiàn)哪種結(jié)果,但能事先知道試驗的所有可能結(jié)果。(結(jié)果具有多樣性）(結(jié)果具有隨機性）具有上述三個特點的試驗稱為隨機試驗。

定義將隨機試驗

E的所有可能結(jié)果組成的集合

二、樣本空間(Space)樣本空間的元素，即E的每個結(jié)果，稱為樣本點。稱為E的樣本空間(記作S)

。

E4：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。

E1：拋一枚硬幣，觀察正面H（Heads）、反面TE2

：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。E3：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。（Tails）出現(xiàn)的情況。E5：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。S1={H,T}S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}

S3={0,1,2,3}S4={1,2,3,4,5,6}注：試驗?zāi)康牟灰粯樱錁颖究臻g也不一樣。三、隨機事件:實際問題中，在進行隨機試驗時，人們關(guān)心的是滿足某種條件的那些樣本點所組成的集合。如例5中，這樣的樣本點組成的一個集合為S的子集：并稱A為E的一個隨機事件。關(guān)心試驗E的樣本空間S的子集稱為隨機事件事件發(fā)生:當(dāng)且僅當(dāng)該事件中的一個樣本點在試驗中出現(xiàn)。（簡稱事件）。用A,B,C,D等表示。1、定義例E4中A“出現(xiàn)正面”B“出現(xiàn)反面”例E1

中表示“拋出k個點”。表示“拋出的點數(shù)小于3”。表示“燈泡是一級品”例如：S2中事件A={HHH,HHT,HTH,HTT}表示“第一次出現(xiàn)的是正面”S5中事件B1={t|t

1000}表示“燈泡是次品”事件B2={t|t

1000}表示“燈泡是合格品”事件B3={t|t

1500}1）基本事件:由一個樣本點組成的單點集2、隨機事件中幾種具有特殊意義的事件:為六個基本事件。

E4：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。

S4:{1,2,3,4,5,6}注意：基本事件有可列的、不可列的、有限的、無限的。2）必然事件:在每次試驗中一定會發(fā)生的結(jié)果。記為S.由于樣本空間S包含所有的樣本點，每次試驗中它總是發(fā)生的，樣本空間本身就是必然事件。3）不可能事件:在每次試驗中一定不發(fā)生的結(jié)果.記為即為空集其中不包含任何樣本點。擲篩子試驗中{點數(shù)為必然事件。為不可能事件。{點數(shù)4）復(fù)合事件：若干個基本事件組合而成的事件。四、事件間的關(guān)系及事件的運算事件是集合，可用集合論表述事件間的關(guān)系和運算下面給出這些關(guān)系和運算在概率論中的提法，并根據(jù)“事件發(fā)生”的含義給出它們在概率論中的含義。1）若事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，事件B包含了A。即特別且A=B.A與B相等，總是同時發(fā)生或同時不發(fā)生1.事件間的關(guān)系2）即事件A與B至少有一個發(fā)生時或和事件發(fā)生類似，中至少有一個發(fā)生-----n個事件的和事件,即-----可列個事件的和事件類似，由“事件”同時發(fā)生所構(gòu)成的事件，稱為的積，記為3）當(dāng)且僅當(dāng)事件A與B同時發(fā)生或事件AB才發(fā)生，積事件記且4）A與B的差事件即當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生且B不發(fā)生時，發(fā)生且同時5）事件A與事件B不能同時發(fā)生互不相容(互斥)事件思考：互斥事件能否同時不發(fā)生？如：基本事件是兩兩互不相容的(互斥)。6）A與B為對立事件(互逆)且即：事件A、B

必有且僅有一個發(fā)生。（二選一）記為可見：若E只有兩個互不相容的結(jié)果，那么這兩個結(jié)果構(gòu)成對立事件。2.事件運算規(guī)律1.交換律2.結(jié)合律3.分配律4.德摩根律即A、B中不是至少有一個發(fā)生，就是兩個都不發(fā)生。A、B不是兩個同時都發(fā)生，就是兩個至少有一個不發(fā)生。例1.設(shè)A,B,C表示三個事件,試表示下列事件(1)A發(fā)生,B與C不發(fā)生(2)A與B發(fā)生,C不發(fā)生(3)A,B與C都發(fā)生(4)A,B與C至少有一個發(fā)生(5)A,B與C全不發(fā)生(6)A,B與C至少有兩個發(fā)生或例2從一批100件的產(chǎn)品中每次取出一個（取后不放回），假設(shè)100件產(chǎn)品中有5件是次品，用事件Ak表示

第k次取到次品（k=1,2,3),試用表示下列事件。1、三次全取到次品。2、只有第一次取到次品3、三次中至少有一次取到次品4、三次中恰有兩次取到次品5、三次中至多有一次取到次品或

第一章一、頻率第2節(jié)

頻率與概率二、概率的公理化定義設(shè)隨機試驗，在相同條件下，發(fā)生了稱為事件A發(fā)生的頻率，記作一.頻率的定義的樣本空間為次重復(fù)獨立試驗，要在這進行次試驗中事件次，則比值即1）、頻率有隨機波動性，即對于同樣的n,所得的不盡相同。2）、試驗的次數(shù)n較小時，頻率隨機波動的幅度較大，但隨著n增大，呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。歷史上著名的統(tǒng)計學(xué)家蒲豐和皮爾遜曾進行過大量擲硬幣的試驗，所得結(jié)果如下：試驗者蒲豐皮爾遜皮爾遜次數(shù)正面的次數(shù)正面的頻率404020480.50691200060190.501624000120120.5005常數(shù)P＝0.5(統(tǒng)計規(guī)律性)揭示了事件發(fā)生的可能性頻率的基本性質(zhì)：頻率穩(wěn)定值概率事件發(fā)生的頻繁程度事件在一次試驗中發(fā)生的可能性大小的數(shù)頻率的性質(zhì)概率的公理化定義進而引出表示二、概率的公理化定義設(shè)隨機試驗

定義3法則對于E中的每一個事件A賦予一個實數(shù)p,記為P(A).稱為事件A的概率.1.非負性3、可列可加性的樣本空間為，按照某種其滿足三個公理：2、規(guī)范性（歸一性）根據(jù)定義可推得概率的重要性質(zhì)概率的性質(zhì)性質(zhì)1、不可能事件的概率為0。性質(zhì)2（有限可加性）、性質(zhì)3、則有可推廣到多個事件的情形:如三個事件性質(zhì)5（加法公式）對于任意的事件都有性質(zhì)4（逆事件的概率）已知求例1解例2.已知證明:求ABC中至少有一個發(fā)生解:例3.已知

第一章二、排列與組合一、等可能概型第3節(jié)等可能概型三、幾何概率1)樣本空間S中樣本點的總數(shù)有限2)每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同

計算公式由于每個基本事件是互不相容的事件A中含有k

個基本事件故有A中樣本點的個數(shù)S中樣本點的個數(shù)

定義：設(shè)隨機試驗E滿足如下兩個條件則稱E為等可能概型，也稱為古典概型。古典概型雖然比較簡單，但它有多方面的應(yīng)用.是常見的幾種模型.箱中摸球分房問題隨機取數(shù)分組分配例1.一部五卷本的手冊按任意次序放到書架上，問按順序放的概率是多少？解：則樣本空間包含的樣本點數(shù)為設(shè)事件A=“按順序排放”例2.

在1到100的整數(shù)中任取一數(shù),求1)它即能被2又能被5整除的概率;2)它能被2或者能被5整除的概率;解:

設(shè)A=“能被2整除”B=“能被5整除”例3.總經(jīng)理的5位秘書中有2位精通英語。今遇到其中的3位，求下列事件的概率。1、A“其中恰有一位精通英語”2、B“其中恰有兩位精通英語”3、D“其中有人精通英語”解在5位秘書中任取3位的可能取法數(shù)為1、3人中恰有一位精通英語是指其中1人精通英語、其余2位不精通英語，由乘法原理共有2、是指其中2位精通英語，同時另一位不精通英語。3、其中有人精通英語,是指至少有一人精通英語，其為三人都不精通英語的逆事件。例4.一口袋中裝有10只球,其中6只藍球,4只紅球現(xiàn)從袋中取球兩次,放回和無放回兩種方式取球,就以上兩種情況求:1)取到的兩只都是藍球的概率;2)取到兩只球顏色相同的概率3)取到的兩只球中至少有一只是藍球的概率解:

設(shè)A=“兩只球都是藍球”B=“兩只球都是紅球”C=“取到的兩只球中至少有一只是藍球”a)有放回的抽樣每次隨機的取一只,分別按有2)3)b)無放回的抽樣1)2)3)設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有D件次品，今從中任取n又在D件次品中取k件，所有可能的取法有在N-D件正品中取n-k件,所有可能的取法有

解：在N件產(chǎn)品中抽取n件，取法共有不放回抽樣1）件，問其中恰有k(k

D)件次品的概率是多少?于是所求的概率為：此式即為超幾何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有（產(chǎn)品檢驗中常用的公式）例52）有放回抽樣將每一排列看作基本事件，總數(shù)為而在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法

于是所求的概率為：此式即為二項分布的概率公式。從N件產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品進行排列，可能的排列數(shù)為個，共有成立，則稱隨機變量與是相互獨立的。若二維隨機變量，

隨機變量的獨立性一、定義均有對任意的實數(shù)即2)對于連續(xù)型的隨機變量在平面上除去“面積”為零的集合之外處處成立。幾乎處處成立1)對于離散型隨機變量例1

已知隨機變量的分布律如下表，問是否相互獨立？解由已知X與Y的聯(lián)合分布率和邊緣分布律為由于因此相互獨立。例2

已知隨機變量的分布律如下表，問是否相互獨立？解的聯(lián)合分布律和邊緣分布律為因此不相互獨立。解例3例4例5例6（正態(tài)隨機變量的獨立性）§4兩個隨機變量函數(shù)的分布一、二維離散型隨機變量函數(shù)的分布（1）求分布律例1

的分布律為解的可能取值為的分布律為二、連續(xù)型隨機變量和的分布定理

設(shè)(X,Y)概率密度為f(x,y),則隨機變量Z=X+Y的概率密度為例1例3定理特別當(dāng)相互獨立且具有相同

分布函數(shù)時，設(shè)相互獨立，其分布函數(shù)為則的分布函數(shù)分別為：例2

設(shè)(X,Y)的概率密度是求(1)c的值;(2)兩個邊緣密度；解

(1)c=1xy0y=x(2)xy0y=xxy0y=xX+y=1xz0Z=2x綜上所述，可得的密度函數(shù)為xz0Z=2x連續(xù)型隨機變量商的分布三．商的分布補充結(jié)論：本節(jié)的解題步驟三．其它的分布返回主目錄練習(xí)五、隨機變量函數(shù)的分布一、隨機變量二、離散型隨機變量三、隨機變量的分布函數(shù)四、連續(xù)型隨機變量

隨機變量及其分布1、有些試驗結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.

例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點數(shù)；

七月份徐州的最高溫度；每天從徐州下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；也就是說，把試驗結(jié)果數(shù)值化.2、在有些試驗中，但我們可以引進一個變量來表示它的各種結(jié)果.試驗結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，§1隨機變量例如生男孩X=1生女孩X=0種子發(fā)芽X=1種子不發(fā)芽X=0事件

A

出現(xiàn)X=1事件

A

不出現(xiàn)X=0X具有兩個特點1、它是一個變量——其隨著試驗結(jié)果的不同而取不同的值。2、它具有隨機性——因試驗結(jié)果的出現(xiàn)是隨機的。可見：隨機變量是建立在隨機試驗的基礎(chǔ)上的一個概念，引入后，事件可用隨機變量來表示。

而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母等隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示X為一個隨機變量，如果對于任意的實數(shù)x，集合都是隨機事件．這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實值函數(shù).e.X(e)R

這種實值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)定義設(shè)是E

的樣本空間，若對于每一個有一個實數(shù)和它對應(yīng)為隨機變量。則稱一樣嗎？為了區(qū)別不同的隨機變量，也可用Y、Z來表示。引入隨機變量的目的是為了便于以數(shù)量形式全面地研究隨機試驗的全部結(jié)果的概率分布情況，及其他的特征。所以要完全刻化隨機變量必須知道下列兩方面的問題。1、隨機變量能取什么樣的值。（取值范圍）2、隨機變量以多大的概率取這些值。（概率分布）3、奇異型（混合型）隨機變量三、隨機變量的分類：1、離散型隨機變量2、連續(xù)性隨機變量按X的取值情況，X所有可能值（有限、無限）是可以一、一列舉的。X所有可能值是不可一、一列舉的。內(nèi)的一個區(qū)間。如一批燈泡中，任取一只測其壽命X。若事件壽命小于5小時，可表示為可以將其分為三類：（主要研究）

x1,x2,

…,§2.2離散型隨機變量及其分布律這種隨機變量稱為離散型隨機變量定義設(shè)X是一個隨機變量，如果它可能取的值是有限個或可列無限多個定義若隨機變量X取值x1,x2,…,xn,…且取這些值的概率依次為p1,p2,…,pn,…,則稱X為離散型隨機變量，而稱為X的分布律或概率分布。列表法一、離散型隨機變量分布律的定義2.分布律的性質(zhì)（非負性）（歸一性）給定了我們就能很好的描述X.即已知X取什么值，以及以多大的概率取這些值。

從盒中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機變量X可能取的值是0,1,2且例1設(shè)袋中有5只球，其中有2只白3只紅。現(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。(一)(0-1)分布（二點分布）隨機變量X只取0與1兩個值,它的分布律是1-ppkPK012.3常用的離散型隨機變量分布律二點分布非常有用，如檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格、電路“通、斷”等。

擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”

新生兒：“是男孩”，“是女孩”抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”一般地，設(shè)在一次試驗中我們只考慮兩個互逆的結(jié)果：A或或者形象地把兩個互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”.設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為女男X=0X=1令X表示隨機抽查出生的1個嬰兒中“男孩”的個數(shù).則例2將一枚均勻硬幣拋擲1次，則X的分布律是：反面正面X=0X=1“正面”的次數(shù)令X表示1次中出現(xiàn)例3例4100件相同的產(chǎn)品中有4件次品和96件正品，現(xiàn)從中任取一件，解求取得正品數(shù)X的分布律。伯努里試驗：即在試驗E的樣本空間S只有兩個基本事件有一類十分廣泛存在的只有相互對立的兩個結(jié)果我們稱這只有兩個對立的試驗結(jié)果的試驗為的試驗。且每次試驗中例如：試驗“成功”、“失敗”。種子“發(fā)芽”、“不發(fā)芽”生“男孩”、“女孩”考試“及格”、“不及格”產(chǎn)品“合格”、“不合格”買彩票“中獎”、“不中獎”伯努里試驗。二項分布(二)四.伯努里試驗：設(shè)在一次試驗中事件A發(fā)生的概率為則在n重伯努利試驗中事件A恰好發(fā)生次的概率為證:

設(shè)事件

A

在n次試驗中發(fā)生了X

次=“在第次試驗中事件發(fā)生”設(shè)伯努里定理設(shè)在試驗E中事件A發(fā)生的概率為p，現(xiàn)將E重復(fù)獨立的進行n次，稱這n次試驗為n重伯努里試驗在

n重貝努利試驗中，事件A

正好出現(xiàn)

k

次的概率有一個一般的求法。由于n

次試驗是相互獨立的，事件A發(fā)生的次數(shù)為X,則X

的取值為而就表示一個事件，在

n重貝努利試驗中，事件A

正好出現(xiàn)

k

次的概率有n重Bernoulli試驗的例子擲n次硬幣，可看作是一n重Bernoulli試驗．?dāng)Sn顆骰子，如果我們對每顆骰子只關(guān)心“出現(xiàn)六點”與“不出現(xiàn)六點”這兩種情況，故“擲n顆骰子”也可以看作是一n重Bernoulli試驗．對同一目標進行n次射擊，若每次射擊只考慮“擊中目標”與“未擊中目標”兩種情況，則“同一目標進行n次射擊”是一n重Bernoulli試驗．二項分布如果隨機變量X的分布律為顯然，當(dāng)n=1時例5一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學(xué)生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？解：每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗，則答5道題相當(dāng)于做5重Bernoulli試驗．所以

某人射擊的命中率為0.02，他獨立射擊400次，＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399)=…試求其命中次數(shù)不少于2的概率。解設(shè)X表示400次獨立射擊中命中的次數(shù)，則X～B(400,0.02)，故P{X

2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}例6泊松定理且

n很大，p很小，記

=

np，則設(shè)隨機變量X~B(n,p),(n＝0,1,2,…),Poisson定理的應(yīng)用由Poisson定理，可知上題用泊松定理取

=np＝(400)(0.02)＝8,故P{X2}＝1－P{X＝0}－P{X＝1}近似地有＝1－(1＋8)e－8＝0.996981.3）Poisson分布如果隨機變量X的分布律為

則稱隨機變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布．當(dāng)n很大，p很小時，泊松定理表明：泊松分布是二項分布的極限分布，參數(shù)

=np

的泊松分布二項分布就可近似看成是Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術(shù)中的許多隨機指標都服從Poisson分布．如，可證，電話總機在某一時間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，某一時間間隔內(nèi)來到某服務(wù)臺要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．

設(shè)某國每對夫婦的子女?dāng)?shù)X服從參數(shù)為

的泊解:由題意,求任選一對夫婦,至少有3個孩子的概率。松分布,且知一對夫婦有不超過1個孩子的概率為3e-2.例74）幾何分布若隨機變量X的分布律為幾何分布的概率背景在Bernoulli試驗中，試驗進行到A首次出現(xiàn)為止．即例

8對同一目標進行射擊，設(shè)每次射擊時的命中率為0.64，射擊進行到擊中目標時為止，令：

X：所需射擊次數(shù)．試求隨機變量X的分布律，并求至少進行2次射擊才能擊中目標的概率．解：由獨立性，得X的分布律為：5）超幾何分布如果隨機變量X的分布律為超幾何分布的概率背景一批產(chǎn)品有N件，其中有M件次品，其余N-M