第01講一元二次方程（4個知識點(diǎn)4類題型18道強(qiáng)化訓(xùn)練）-八年級數(shù)學(xué)下冊學(xué)與練（浙教版）

第01講一元二次方程（4個知識點(diǎn)+4類題型+18道強(qiáng)化訓(xùn)練）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.一元二次方程的概念；2.一元二次方程的一般形式；3.一元二次方程的解；1.掌握一元二次方程的概念；2.掌握一元二次方程的一般形式；3.掌握一元二次方程的解；知識點(diǎn)1：一元二次方程的概念：等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。注意：一元二次方程成立必須同時滿足三個條件：（1）是整式方程，即等號兩邊都是整式。方程中如果有分母，且未知數(shù)在分母上，那么這個方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根號，且未知數(shù)在根號內(nèi)，那么這個方程也不是一元二次方程（是無理方程）（2）只含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)項的最高次數(shù)是2?！炯磳W(xué)即練1】1．（2023上·浙江·七年級專題練習(xí)）若方程是關(guān)于x的一元二次方程，則m的值為（

）A．2 B． C．2或 D．0【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，一元二次方程必須滿足兩個條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2：二次項系數(shù)不為0，可得答案．【詳解】解：由題意得：，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】本題利用了一元二次方程的概念，只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特別要注意的條件，這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．知識點(diǎn)2：一元二次方程的一般形式：一元二次方程經(jīng)過整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫作二次項，a是二次項系數(shù)；bx叫作一次項，b是一次項系數(shù)；c叫作常數(shù)項。注意：（1）ax2+bx+c=0中的a≠0．因當(dāng)a=0時，不含有二次項，即不是一元二次方程。（2）在求各項系數(shù)時，應(yīng)把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各項系數(shù)時不要漏掉前面的性質(zhì)符號?！炯磳W(xué)即練2】2．（2023下·浙江杭州·八年級?？计谥校┮辉畏匠潭雾椣禂?shù)和一次項系數(shù)分別為（

）A．2，1 B．3， C．3，1 D．，【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式得出一次項系數(shù)和二次項系數(shù)即可．【詳解】解：，所以二次項系數(shù)和一次項系數(shù)分別為3，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，注意：①一元二次方程的一般形式是、、為常數(shù)，，②找各項系數(shù)帶著前面的符號．知識點(diǎn)3：一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進(jìn)行求解.【即學(xué)即練3】3．（2022下·浙江·八年級開學(xué)考試）己知下面三個關(guān)于x的一元二次方程恰好有一個相同的實(shí)數(shù)根b，則的值為（

）A．0 B．1 C．3 D．不確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的解，使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．把代入3個方程得出，3個方程相加即可得出，即可求出答案．【詳解】把代入得：，相加得：，，∵，∴，故選：A．知識點(diǎn)4：一元二次方程的重要結(jié)論：（1）若a+b+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=1;若x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根，則a+b+c=0。（2）若ab+c=0,則一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根為x=1;若x=11是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一個根，則ab+c=0。題型01一元二次方程的定義1．（2024上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）下列方程是一元二次方程的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查的是一元二次方程的定義．只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程，據(jù)此即可一一判定．【詳解】解：A、是一元一次方程，故該選項不符合題意；B、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；C、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不符合題意；D、是一元二次方程，故該選項符合題意；故選：D．2．（2024·四川涼山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的識別，注意掌握判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【詳解】解：A、由可得即，不是一元二次方程，選項錯誤；B、形式是一元二次方程，但二次項系數(shù)沒有標(biāo)注不等于0，選項錯誤；C、符合一元二次方程定義．正確．D、含有分式，屬于分式方程，選項錯誤．故選：C．3．（2023上·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期中）若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項為0，則的值為．【答案】6【分析】本題考查的是一元二次方程的一般形式，對于關(guān)于的一元二次方程，其中叫做二次項，叫做二次項系數(shù)；叫做一次項；叫做常數(shù)項．根據(jù)一元二次方程的一般形式確定常數(shù)項，根據(jù)題意列出方程，解方程求出．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項是，則，解得：，，的值為6，故答案為：6．4．（2024上·江西上饒·九年級統(tǒng)考期末）已知方程是關(guān)于x的一元二次方程，則．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義即可得到答案．【詳解】解：方程是關(guān)于x的一元二次方程，，解得，故解得，故答案為：．5．（2023上·廣西河池·九年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程(1)當(dāng)m為何值時，此方程是一元一次方程？(2)當(dāng)m為何值時，此方程是一元二次方程？【答案】(1)(2)【分析】此題考查了一元一次方程的定義以及一元二次方程的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元一次方程的定義解答即可；（2）根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．【詳解】（1）解：∵是一元一次方程，∴，解得．即時，此方程是一元一次方程；（2）∵是一元二次方程，∴，解得．即時，此方程是一元二次方程．題型02一元二次方程的一般形式1．（2024上·山東聊城·九年級?？计谀┮辉畏匠袒癁橐话阈问胶?，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的一般式，熟練掌握一元二次方程的一般式是解題的關(guān)鍵．把一元二次方程化為一般式，然后問題可求解．【詳解】解：由方程可得：，則有；故選：B．2．（2022上·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期中）將化成的形式，則，，c的值分別為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般形式．將一元二次方程化為一般形式即可得出答案．【詳解】解：將化為一般形式為：，∴，，，故D選項符合題意．故選：D．3．（2024上·上海閔行·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程的常數(shù)項為，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的有關(guān)概念，一元二次方程的一般形式是：（，，是常數(shù)且）特別要注意的條件，其中叫二次項，叫一次項，是常數(shù)項，其中，，分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．【詳解】由得，∵常數(shù)項為，∴且，解得：，故答案為：．4．（2023上·山東臨沂·九年級?？茧A段練習(xí)）將方程化為一般式，其結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的一般式．在去括號的過程中要注意符號的變化，不要漏乘，移項時要注意符號的變化．一元二次方程的一般形式是，先去括號，然后通過移項、合并同類項即可將原方程轉(zhuǎn)化為一般式．【詳解】解：去括號得，，移項、合并同類項得，，故答案為：．5．（2023上·九年級課時練習(xí)）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】（1）根據(jù)一元二次方程一般式的定義，以及二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的定義，即可解答；（2）根據(jù)一元二次方程一般式的定義，以及二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的定義，即可解答；（3）根據(jù)一元二次方程一般式的定義，以及二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的定義，即可解答；（4）根據(jù)一元二次方程一般式的定義，以及二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的定義，即可解答．【詳解】（1）解：化為一般形式是，二次項系數(shù)是4，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是3．（2）解：化為一般形式是，二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是0，常數(shù)項是．（3）解：化為一般形式是，二次項系數(shù)是2，一次項系數(shù)是10，常數(shù)項是．（4）解：化為一般形式是，二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的相關(guān)定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的一般式為，a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項．題型03一元二次方程的解1．（2023上·江蘇·九年級專題練習(xí)）關(guān)于x的方程，其中a，b，c滿足和．則該方程的根是（）A．1，2 B．1， C．，2 D．，【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的解，能熟記方程的解的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解．把，，，代入代入，整理后即可得出答案．【詳解】解：①把代入得：，整理得：，②把代入得：，整理得：，③把代入得：，整理得：，④把代入得：，整理得：，所以方程的根是1和，故選：B．2．（2024·福建南平·統(tǒng)考一模）關(guān)于的一元二次方程有一個根是0，則的值為（

）A．0 B．1或 C． D．1【答案】B【分析】本題考查一元二次方程的解，將代入方程即可求得a的值，本題得以解決．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的一個根是0，∴，解得，，故選：B．3．（2024上·山東濰坊·九年級統(tǒng)考期末）是方程的一個根，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．由題意得，根據(jù)，利用整體思想即可求解．【詳解】解：由題意得：∴∴故答案為：4．（2024上·海南省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期末）若是關(guān)于的一元二次方程的解，則的值是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解，代數(shù)式求值，由方程的解得到，代入代數(shù)式計算即可求解，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是關(guān)于的一元二次方程的解，∴，∴，∴，故答案為：．5．（2023上·北京海淀·九年級?？茧A段練習(xí)）已知是方程的一個根，求代數(shù)式的值．【答案】4【分析】本題考查了一元二次方程的解、求代數(shù)式的值，根據(jù)是方程的一個根得出，將化簡為，最后將整體代入進(jìn)行計算即可，根據(jù)題意得出是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：是方程的一個根，，，．題型04一元二次方程的解的估算1．（2023上·山西太原·九年級統(tǒng)考期中）在估算一元二次方程的根時，小晗列表如下：11.11.21.31.40.290.76由此可估算方程的一個根的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了估算一元二次方程的近似解，解題的關(guān)鍵是掌握估算一元二次方程近似解的方法．結(jié)合表中的數(shù)據(jù)，根據(jù)代數(shù)式的值的變化趨勢，即可進(jìn)行解答．【詳解】由表可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴方程的一個根的范圍是．故選：C．2．（2023上·河南周口·九年級校考階段練習(xí)）根據(jù)下表中的對應(yīng)值，判斷下列數(shù)中與方程的一個解最接近的是（）－－－A．0 B．1 C．1.5 D．2【答案】C【分析】根據(jù)表格中與的值的特征，確定出解的范圍即可．【詳解】解：∵，∴，根據(jù)表格得：當(dāng)時，，當(dāng)時，，∵，∴方程的一個解最接近．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．3．（2023上·山東棗莊·九年級?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下表：x…456135…5確定方程的解的取值范圍是．【答案】或【分析】觀察已知表格，根據(jù)代數(shù)式的值的變化確定出方程解的范圍即可．【詳解】解：由表格得：時，，時，；時，，時，，可得方程的解取值范圍是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】此題考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的數(shù)據(jù)變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．4．（2023上·廣東深圳·九年級?？计谥校┤绻欠匠痰囊粋€根，根據(jù)下面表格中的取值，可以判斷．1.21.31.41.50.360.75【答案】1.31.4【分析】觀察表格可知，隨的值逐漸增大，的值在之間由負(fù)到正，故可判斷時，對應(yīng)的的值在之間．【詳解】解：根據(jù)表格可知，時，對應(yīng)的的值在之間，即：．故答案為：1.3，1.4．【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計算方程兩邊結(jié)果，當(dāng)兩邊結(jié)果愈接近時，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．5．（2023上·山西呂梁·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）閱讀與思考：下面是小華求一元二次方程的近似解的過程．如圖，這是一張長、寬的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個同樣大小的正方形，可制成一個底面積是的無蓋長方體紙盒．小華在做這道題時，設(shè)剪去的正方形邊長為，列出關(guān)于x的方程，整理得．他想知道剪去的邊長到底是多少，下面是他的探索過程．探索方程的解：第一步：x012179因此：____________．第二步：x1.51.61.71.80.750.36因此：____________.（1）請你幫助小華完成表格中未完成的部分，并寫出x的范圍；（2）通過以上探索，請直接估計出x的值．（結(jié)果保留一位小數(shù)）【答案】（1），，，，（2）【分析】（1）第一步:代入及,可求出的的值,進(jìn)而可得出;第二步:根據(jù)及時,的值，進(jìn)而可得出；（2）由的結(jié)論,可得出的值約為.【詳解】解：（1）第一步:當(dāng)時,，當(dāng)時,,∴；第二步:當(dāng)時,，當(dāng)時,，∴.故答案為：，，，；（2）通過以上探索,的值約為.【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解，熟練掌握用列舉法估算一元二次方程的近似解的方法是解題的關(guān)鍵.A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2024上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)：“只含有一個未知數(shù)，且含有未知數(shù)的最高項的次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程”，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，是二元一次方程，不符合題意；B、，含有2個未知數(shù)，不符合題意；C、，不是整式方程，不符合題意；D、，是一元二次方程，符合題意；故選D．2．（2024上·河南焦作·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于的一元二次方程的一個根為0，則的值是（

）A．3或 B．3 C． D．9【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．將代入方程即可求解．【詳解】解：將代入方程得：，解得：，∵，∴，故選：C．3．（2024上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則k的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程解的定義，掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解成為解題的關(guān)鍵．將代入得到關(guān)于k的方程求解即可．【詳解】解：將代入可得：，即，解得：．故答案為．4．（2023上·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）若m是方程的一個根，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，再把變形為，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，即，∴．故答案為：．5．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）把一元二次方程化成一般形式，并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．【答案】，二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為24，常數(shù)項為1【詳解】將方程兩邊去分母、去括號、移項、合并同類項，使方程右邊為零，左邊按x的降冪形式排列．去分母，得．去括號，得．移項、合并同類項，得．此方程的二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為24，常數(shù)項為1．6．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項．(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】先分別將各方程化為一般形式，再指出它們的各部分的名稱．【詳解】（1）解：方程化為一般形式為，二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是；（2）解：方程化為一般形式為，二次項系數(shù)是9，一次項系數(shù)是0，常數(shù)項是；（3）解：方程化為一般形式為，二次項系數(shù)是6，一次項系數(shù)是2，常數(shù)項是；（4）解：方程化為一般形式為，二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常數(shù)且）特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點(diǎn)．在一般形式中叫二次項，叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．特別要注意確認(rèn)各項系數(shù)和常數(shù)項一定要包括前面的符號．B能力提升1．（2024上·四川瀘州·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根為，則m的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程解的概念，將代入方程求解，即可解題．【詳解】解：一元二次方程有一個根為，將代入方程得：，解得：，故選：D．2．（2024上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期末）已知是關(guān)于x的方程的一個根，則m的值為（）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立．把代入關(guān)于x的方程，得到關(guān)于m的新方程，通過解新方程來求m的值．【詳解】解：∵是關(guān)于x的方程的一個根，∴，解得．故選：D．3．（2024上·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如果關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則代數(shù)式的值為．【答案】2025【分析】本題主要考查了一元二次方程的解．把代入，可得，再代入，即可求解．【詳解】解：∵方程的一個解是，∴，∴，∴．故答案為：20254．（2024·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的一元二次方程有一個根是0，則k的值是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．先把代入得到：，解關(guān)于的方程得，，然后根據(jù)一元二次方程的定義可確定的值．【詳解】解：把代入，得，解得，，而即．所以．故答案為：5．（2024上·北京海淀·九年級?？茧A段練習(xí)）已知m是方程的根，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】本題主要考查一元二次方程的解、乘法公式及代數(shù)式的值．由題意易得，然后把代數(shù)式進(jìn)行化簡，最后整體代入求解即可．【詳解】解：∵是方程的一個根，∴，∴，∴．6．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）已知關(guān)于x的方程．(1)當(dāng)m為何值時，此方程為一元一次方程？(2)當(dāng)m為何值時，此方程為一元二次方程？【答案】(1)(2)【詳解】解：（1）由題意，得解得．（2）由題意，得，∴．C綜合素養(yǎng)1．（2024上·山東聊城·九年級統(tǒng)考期末）若n（）是關(guān)于x的方程的根，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】D【分析】本題考查方程的解的定義，因式分解．把n代入方程中，得到，結(jié)合即可求解．【詳解】∵n是關(guān)于x的方程的根，