5.3-5.4平行線的性質(zhì)平移2024年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重點(diǎn)題型方法與技巧（人教版）（原卷版）

第五章相交線與平行線5.35.4平行線的性質(zhì)、平移1平行線的性質(zhì)①兩直線平行，同位角相等；即如果a//b，則∠1=∠2；②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；即如果a//b，則∠2=∠3；③兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；即如果a//b，則∠2+∠4=180°.2命題（1）定義判斷一件事情的語(yǔ)句叫命題，命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成；【例】“對(duì)頂角相等”是命題，它可寫(xiě)成“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”，其中“兩個(gè)角是對(duì)頂角”是題設(shè)，“這兩個(gè)角相等”是結(jié)論.（2）命題真假性如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立的命題是真命題；如果題設(shè)成立，那么結(jié)論不一定成立的命題是假命題.【例】命題“如果a=b，那么a2=b2”是真命題；命題“如果（3）定理真命題的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).【例】平行線的判定和性質(zhì)都是定理.3平移（1）概念在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，圖形的這種移動(dòng)叫做平移變換，簡(jiǎn)稱(chēng)平移。平移后，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；（2）性質(zhì)①對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或共線）且相等；②對(duì)應(yīng)相等相等；③對(duì)應(yīng)角相等.?ABC平移后得到?A1B1C1，則AA1=B【題型1】命題及其真假性【典題1】指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個(gè)反例．(1)兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；(2)內(nèi)錯(cuò)角相等；(3)兩條平行線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．【典題2】命題“如果a2＞b2，那么a＞b”是命題(填“真”或“假”)．【鞏固練習(xí)】1.(★)命題：①對(duì)頂角相等；②經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行；③相等的角是對(duì)頂角④同位角相等．其中假命題的是()A．①② B．②③ C．③④ D．②③④2.(★)下列命題為假命題的是()A．對(duì)頂角相等 B．兩條直線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ) C．垂線段最短 D．同一平面內(nèi)，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行3.(★)命題“同位角相等，兩直線平行”的題設(shè)是，結(jié)論是，此命題是命題．(填“真”或“假”)4.(★)把命題“互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為零”寫(xiě)成“如果…那么…”的形式：．5.(★★)證明“若|a|＞1，則a＞1”是假命題的反例可以是a＝．(寫(xiě)一個(gè)即可)6.(★★)如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，射線CE在∠DCA的內(nèi)部．給出下列信息：①AB∥CE；②CE平分∠DCA；③∠A＝∠B．請(qǐng)選擇其中的兩條信息作為條件，余下的一條信息作為結(jié)論組成一個(gè)真命題，并說(shuō)明理由．【題型2】平移的概念與性質(zhì)【典題1】如圖，在長(zhǎng)方形地塊內(nèi)修筑同樣寬的兩條“相交”的道路，余下部分作綠化，當(dāng)?shù)缆穼挒?米時(shí)，道路的總面積為平方米．【鞏固練習(xí)】1.(★)一個(gè)圖形，經(jīng)過(guò)平移后，改變的是()A．顏色 B．形狀 C．大小 D．位置2.(★)下列現(xiàn)象中，屬于平移的是()A．滾動(dòng)的足球 B．轉(zhuǎn)動(dòng)的電風(fēng)扇葉片 C．正在上升的電梯 D．正在行駛的汽車(chē)后輪3.(★)如圖，根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)，判斷第一個(gè)圖形的周長(zhǎng)L1與第二個(gè)圖形的周長(zhǎng)L2的關(guān)系：L1L2．(填“等于”或“大于”或“小于”或“無(wú)法判斷”)．4.(★★)某酒店準(zhǔn)備進(jìn)行裝修，把樓梯鋪上地毯．已知樓梯的寬度是2米，樓梯的總長(zhǎng)度為8米，總高度為6米，其側(cè)面如圖所示．已知這種地毯每平方米的售價(jià)是50元．請(qǐng)你幫老板算下，購(gòu)買(mǎi)地毯至少需要花費(fèi)元．5.(★★)如圖，將Rt△ABC沿著點(diǎn)B到C的方向平移到△DEF的位置，此時(shí)AB＝10，DO＝4，陰影部分面積為40，則平移的距離為．6.(★★)已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，將此直角三角形沿射線BC方向平移，到達(dá)直角三角形A1B1C1的位置(如圖所示)，其中點(diǎn)B1落在邊BC的中點(diǎn)處，此時(shí)邊A1B1與邊AC相交于點(diǎn)D，如果BC1＝12cm，AD＝CD＝3cm，那么四邊形ABB1D的面積＝cm2．【題型3】平行線的性質(zhì)求角度【典題1】如圖，AB∥CD，射線FE，F(xiàn)G分別與AB，CD交于點(diǎn)M，N，若∠F＝∠FND＝3∠EMB，則∠F的度數(shù)是．【鞏固練習(xí)】1.(★)一副直角三角板按如圖所示的方式放置，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，BE∥DF，∠B＝∠DEF＝90°，則∠CDE的度數(shù)為()A．30° B．25° C．20° D．15°2.(★)光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，當(dāng)光線從空氣射向水中時(shí)會(huì)發(fā)生折射，如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的，若水面和杯底互相平行，若∠1＝125°，則∠2等于()?A．65° B．55° C．45° D．41°3.(★)如圖，直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠BEF，交CD于點(diǎn)G，若∠1＝55°，則∠2的度數(shù)為()A．117.5° B．110° C．118.5° D．125°4.(★★)如圖，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，則∠BED的度數(shù)為．5.(★★)如圖，已知∠E＝∠A+∠C，若∠1＝82°，則∠2的度數(shù)為．6.(★★)如圖，DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝32°，∠AGF＝76°，F(xiàn)H平分∠EFG，則∠PFH的度數(shù)是．7.(★★★)如圖，將一副三角尺按如圖所示的方式放置，∠EAD＝∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠E＝60°，∠D＝30°．給出下列結(jié)論：①若∠2＝30°，則AC∥DE；②若BC∥AD，則∠2＝30°；③∠BAE+∠CAD＝180°；④若∠CAD＝150°，則∠4＝∠C．其中正確的結(jié)論的為．(填序號(hào))8.(★★★)在一次課外活動(dòng)中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC上，∠C＝∠DAE＝90°，∠B＝60°，∠D＝45°．小明將△ADE從圖中位置開(kāi)始，繞點(diǎn)A按每秒6°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，第秒時(shí)，邊AB與邊DE平行．【題型4】與平行線有關(guān)的綜合應(yīng)用【典題1】如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，從點(diǎn)E引一條射線EF交線段AB于點(diǎn)F，若∠AFE+∠DCB＝180°，∠A＝∠AEF，求證：∠DCA＝∠ACB．證明：∵AB∥CD(已知)，∴∠ABC+①＝180°(兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ))，又∵∠AFE+∠DCB＝180°(已知)，∴∠AFE＝∠ABC(②)；∴EF∥③(同位角相等，兩直線平行)．∴∠AEF＝④(兩直線平行，同位角相等)，∵AB∥CD(已知)，∴∠A＝∠DCA(⑤)，∵∠A＝∠AEF(已知)，∴∠DCA＝∠ACB(等量代換)．【典題2】如圖展示了光線反射定律，EF是鏡面AB的垂線一束光線m射到平面鏡AB上，被AB反射后的光線為n，則入光線m，反射光線n與垂線EF所夾的銳角θ1＝θ2．(1)在圖1中，∠1∠2(填“＞”“＜”或“＝”)；(2)在圖2中，AB，BC是兩面平面鏡，入射光線m經(jīng)過(guò)兩次反射后得到反射光線n，已知∠1＝30°，∠4＝60°，判斷入射光線m與反射光線n的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，是潛望鏡工作原理示意圖，AB，CD是兩面平面鏡，且AB∥CD．請(qǐng)解釋進(jìn)入潛望鏡的判斷光線m為什么和離開(kāi)潛望鏡的光線n是平行的？【鞏固練習(xí)】1.(★★)已知：如圖，C，D是直線AB上兩點(diǎn)，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，EF∥AB，(1)求證：CE∥DF；(2)若∠DCE＝130°，求∠DEF的度數(shù)．2.(★★★)三角形ABC中，D是AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接FC，∠BCF+∠ADE＝180°．(1)如圖1，求證：CF∥AB；(2)如圖2，連接BE，若∠ABE＝40°，∠ACF＝60°，求∠BEC的度數(shù)；(3)如圖3，在(2)的條件下，點(diǎn)G是線段FC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，若∠EBC：∠ECB＝7：13，BE平分∠ABG，求∠CBG的度數(shù)．3.(★★★)探究：如圖①，EG∥FH，OF平分∠AFH，OH平分∠CHF，且點(diǎn)O、E、G均在直線EG上，直線EG分別與AB、CD交于點(diǎn)E、G．(1)若∠AFH＝80°，∠CHF＝40°，則∠FOH＝．(2)若∠AFH+∠CHF＝110°，求∠FOH的度數(shù)．(3)如圖②，∠AFH和∠CHI的平分線FO、HO交于點(diǎn)O，EG經(jīng)過(guò)點(diǎn)O且平行于FH，分別與AB、CD交于點(diǎn)E、G．若∠AFH+∠CHF＝β，直接寫(xiě)出∠FOH的度數(shù)．(用含β的代數(shù)式表示)4.(★★★)長(zhǎng)江汛期即將來(lái)臨，為了便于夜間查看江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在一危險(xiǎn)地帶兩月各安置了一探照燈(如圖1)，假定這一帶長(zhǎng)江兩岸河堤是平行的，即PQ∥MN，連結(jié)AB，且∠ABN＝45°．燈A射線自AQ順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AP便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線自BM順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BN便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是1度/秒，燈B轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是3度/秒．(1)若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線第一次轉(zhuǎn)到BN之前，兩燈射出的光線交于點(diǎn)C．如圖1，當(dāng)兩燈光線同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)50秒時(shí)，求∠ABC的度數(shù)；(2)若燈A射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈B射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線第一次轉(zhuǎn)到AP之前，B燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光線互相平行？【A組基礎(chǔ)題】1.(★)在下列現(xiàn)象中，屬于平移的是()A．小亮蕩秋千運(yùn)動(dòng) B．升降電梯由一樓升到八樓 C．時(shí)針的運(yùn)行過(guò)程 D．衛(wèi)星繞地球運(yùn)動(dòng)2.(★)如圖，∠D＝60°，∠C＝120°，∠AED＝60°，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．∠B＝60° B．ED∥BC C．AB∥CD D．∠B+∠D＝180°3.(★★)如圖，一塊長(zhǎng)為am，寬為bm的長(zhǎng)方形草地上，有一條彎曲的小路，小路左邊線向右平移tm就是它的邊線．若a：b＝5：3，b：t＝6：1，則小路面積與綠地面積的比為()A．19 B．110 C．211 4.(★★)如圖，直線a∥b，將一個(gè)含30°角的三角尺按如圖所示的位置放置，若∠2＝156°，則∠1的度數(shù)為()A．54° B．44° C．36° D．24°5.(★★★)如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)P在AB，CD之間，ME平分∠AEP，MF平分∠CFP，NF平分∠DFP，下列四個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.∠EPF＝∠AEP+∠CFPB.∠EPF＝2∠M；C.若EP∥FN，則∠AEM＝∠CFM；D.∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM．6.(★)如圖，直線MN分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，EG平分∠AEF，交直線CD于點(diǎn)G，若∠CFM＝∠AEM＝58°，則∠CGE的度數(shù)為°．?7.(★)如圖，已知直線AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分線，若∠1＝∠2，∠2+∠4＝120°，則∠3＝．8.(★★)如圖，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，則下列結(jié)論：①GH∥BC；②∠D＝∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正確的是(只填序號(hào))9.(★★★)如圖，已知點(diǎn)E、F在直線AB上，點(diǎn)G在線段CD上，ED與FG交于點(diǎn)H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．(1)求證：CE∥GF；(2)試判斷∠AED與∠D之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)若∠EHF＝78°，∠D＝35°，求∠AEM的度數(shù)10.(★★★)(1)光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，AB∥CD，光線從空氣中射入水面AB的E處，再?gòu)乃證D的F處射入空氣中，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有∠1＝∠2，求證：EG∥FH．請(qǐng)根據(jù)題意填空，完成下列推理過(guò)程：∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠()∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BEF＝∠2+∠，即∠＝∠EFH．∴EG∥FH()．(2)如圖2，直線MN上有兩點(diǎn)A、C，在MN同側(cè)分別引兩條射線AB，CD，且∠MAB＝40°，∠DCN＝50°．射線CD繞頂點(diǎn)C以2度/秒的速度逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一周，設(shè)時(shí)間為t秒，是否存在某一時(shí)刻，使得CD∥AB？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．?【B組提高題】1.(★★★)如圖，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2