第十二講反比例函數(shù)講義（原卷版）

第三章函數(shù)第十二講第三章函數(shù)第十二講反比例函數(shù)滿分講義知識梳理夯實(shí)基礎(chǔ)知識點(diǎn)1：反比例函數(shù)的概念定義：一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成或的形式．自變量x的取值范圍是的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)．知識點(diǎn)2：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．（2）性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大對稱性1.反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=x；2.反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，對稱中心為原點(diǎn)．反比例函數(shù)比例系數(shù)越大，圖象離原點(diǎn)越遠(yuǎn)。注意：（1）畫反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點(diǎn)，描點(diǎn)越多，圖象越準(zhǔn)確，連線時(shí)，要注意用平滑的曲線連接各點(diǎn)．（2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標(biāo)軸靠近，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中x≠0且y≠0．（3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時(shí)，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減小．同樣，當(dāng)k<0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．知識點(diǎn)3：反比例函數(shù)解析式的確定1．待定系數(shù)法確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個(gè)方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．知識點(diǎn)4：反比例函數(shù)中|k|的幾何意義1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積2．涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過面積作和或作差的形式來求解．（1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；（3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．知識點(diǎn)5：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1．涉及自變量取值范圍型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)．針對時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．2．求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號來決定.①k值同號，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號，兩個(gè)函數(shù)可能無交點(diǎn)，可能有一個(gè)交點(diǎn)，也可能有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．知識點(diǎn)6：反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．典例解析呈現(xiàn)命題點(diǎn)命題點(diǎn)1反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)關(guān)于反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，下列說法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過點(diǎn) B．圖象位于第二、四象限C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大 D．當(dāng)時(shí)，（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．（2024上·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)與），則的值為（

）A． B．4 C． D．8已知反比例函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則m的值是（）A． B．1 C． D．2（2023上·山西晉中·九年級統(tǒng)考期末）若點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上，且當(dāng)時(shí)，，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則m的值為．命題點(diǎn)2反比例函數(shù)解析式的確定（2023·海南·統(tǒng)考中考真題）若反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則k的值是（

）A．2 B． C． D．（無錫中考）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖形有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則反比例函數(shù)的表達(dá)式為．命題點(diǎn)3反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的頂點(diǎn)A，B在y軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C和的中點(diǎn)E，若，則k的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，且軸，軸于點(diǎn)C，則四邊形的面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．4（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)C，延長至點(diǎn)B，使，點(diǎn)D是y軸上任意一點(diǎn)，連接，，若的面積是6，則．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B在x軸上，分別以，為邊，在x軸上方作正方形，．反比例函數(shù)的圖象分別交邊，于點(diǎn)P，Q．作軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N．若，Q為的中點(diǎn)，且陰影部分面積等于6，則k的值為．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在反比例函數(shù)為常數(shù)，，的圖象上，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，連接．若的面積為，則．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直于x軸，以為對稱軸作的軸對稱圖形，對稱軸與線段相交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)B恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)O、E的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C、A．若點(diǎn)A為的中點(diǎn)，且，則k的值為．命題點(diǎn)4反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（

）A．B．C．D．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，與雙曲線在一，三象限分別交于C，D兩點(diǎn)，，連接，．(1)求k的值；(2)求的面積．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與雙曲線相交于點(diǎn)，．(1)求雙曲線及直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(2)將直線向下平移至處，其中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上．連接，，求的面積；(3)請直接寫出關(guān)于的不等式的解集．命題點(diǎn)5反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、在函數(shù)的圖象上，分別以、為圓心，為半徑作圓，當(dāng)與軸相切、與軸相切時(shí)，連結(jié)，，則的值為（

）A．3 B． C．4 D．6（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，點(diǎn)恰好落在反比例函數(shù)（）的圖象上，則的值是．（2022年江西省中考數(shù)學(xué)真題）已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在x軸正半軸上，若為等腰三角形，且腰長為5，則的長為．命題點(diǎn)6反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）已知蓄電池兩端電壓為定值，電流與成反比例函數(shù)關(guān)系．當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．?dāng)?shù)學(xué)是一切學(xué)科的基礎(chǔ)，物理研究也離不開數(shù)學(xué)知識的支撐．密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的二氧化碳，當(dāng)容器的體積V（單位：）變化時(shí)，氣體的密度（單位：）隨之變化．已知密度與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖像如圖所示，當(dāng)時(shí)，．(1)求密度關(guān)于體積的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)若，求二氧化碳密度的變化范圍．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）視力表中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)知識，如：每個(gè)“E”形圖都是正方形結(jié)構(gòu)，同一行的“E”是全等圖形且對應(yīng)著同一個(gè)視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．素材1

國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個(gè)視力值n，測得對應(yīng)行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)如圖1．探究1

檢測距離為5米時(shí)，歸納n與b的關(guān)系式，并求視力值1.2所對應(yīng)行的“E”