高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷（測試范圍：新高考數(shù)學(xué)全部內(nèi)容）（參考答案）

高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷

參考答案

選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）

12345678

BBBCAAAA

多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）

9101112

ABDBCDBCDBCD

三.填空題(共4小題，滿分20分，每小題5分)

13.472-3.

14.1^1.

6

15.(-8,8).

16.6

四.解答題(共6小題，滿分7()分)

17.解：⑴'：DE=\,AE=3DE,：.AD=2,

ZADB+ZADC=fi,：.cosZADB+cosZADC=0,

由題意設(shè)BD=OC=x,AB=4,4c=2企，

22222

則在△AOB中，由余弦定理得COSN4O8=ED型/二坦=工比3.=3

2BD*AD4x4x

99999

在△AOC中，由余弦定理得cos/A￡)C=￡D-+&D.-也_=)，4二3_=三三,

2CD-AD4x4x

22—

.,.工-12.+至睦=o,解得x=2近，

4x4x

:.BC=2BD=4近,

在aABC中，由余弦定理得cos/34c=3B2+AS.2-BC；=16+8-3J=_近；

2AB-AC2X4X2V24

(2)：AB=4,AC=2企，NABC=g

.?.在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2A8?BCcosNA8C,即8=16+BC2-2X4X?BC,解得

2

BC=2近,

?點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，:.BD=^BC=M，

在△ABO中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB?BOcos/A8C=16+2-2X&X4x2iS_=10,即AD

2

=V10>

,JAE^DE,：.AE=^-AD^,

22

在△AB。中，由余弦定理得cos/BAE=.空2+如2-兇/=16+1。之=3^/15,

2AB-AD2X4XV1010__

在△ABE中，由余弦定理得B爛=A^+A戌-2A8?AEcos/BAE=16+(司叵_)2-2X4X曠匝_X,時(shí)而一

_2210

=互，即BE=E^.

22

18.解：(1)由山=/,(an+1+l)(an+l)=2an+l.n€N*-

可得Cln+\=—^―

1+an

由41>0,可得4〃>0,

則―--=1+—,

an+lan

即二^--L=i,

an+lan

所以｛工｝是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,

an

則」-=2+〃-1=/7+!,即〃八=」一；

ann+1

1

(2)證明：an———對％=1,2,3,…,ClkUk+\Clk+2—

n+1(k+1)(k+2)(k+3)

_lr1_1i

2(k+1)(k+2)(k+2)(k+3)

所以a]a2a3+424344++aan+\an+2=—[—-—

n22X3壺+/一壺+-(n+J(n+2)

(n+2)(n+3)’

=11_1尸1_1<1

「2X3(n+2)(n+3)122(n+2)(n+3)~L2

19.解：(1)由(0.004+0+0.022+0.028+0.022+0.018)X10=l,解得a=0.006；

(2)由頻率分布直方圖可知,

評分在[40,60),[60,80),[80,100]內(nèi)的顧客人數(shù)之比為：(0.004+0.006)：(0.022+0.028)：(0.022+0.018)

=1：5：4,

所以評分在［40,60)內(nèi)的顧客應(yīng)抽取20乂丁金t=2(人);

(3)用戶對該APP評分的平均分為：

7=(45x0.004+55x0.006+65X0.022+75X0.028+85X0.022+95X0.0止X10=76.2.

20.解：(1)證明：:△APC為等邊三角形，。為AC的中點(diǎn)，

J.POA.AC,

?.?平面APCJ_底面4BC,平面APCC平面4BC=AC,POu平面APC,

；.PO_L平面ABCi

(2)連接B。，由(1)可知建立以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC、OB、。尸所在直線為x軸、)，軸、z軸的空間

直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖所示：

AB=BC=2近,AC=4,則0尸=2我，AB2+BC2=\6=AC2,

.二△ABC等腰直角三角形，則。2=2,BOLAC,

：.C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,273).A(-2,0,0),設(shè)M(x,y,0),

則麗=(X，y-2,0),BC=(2,-2,0),

'：BM=XBC,,則》=2入，y=2-2A,0WXW1,

|y-2=-2入

：.M(2A,2-2入，0),

?平面”CJ_平面ABC,平面4PCPI平面4BC=AC,BOu平面ABC,

平面PAC,

平面附C的一個(gè)法向量為羽=(0,2,0),

設(shè)平面M雨的一個(gè)法向量為(x,y,z),AP=(2,0,2百)，(2A+2,2-2A,0),

則［二‘竺=2x+2"z=°,取》=我，貝一退(入+D,

n?AM=(2入+2)x+(2-2入)y=0入7

平面M心的一個(gè)法向量為1=(M，4，入+D,-1),

入-1

??,二面角M-B4-C為30°,

____|273(X-H).

.,.cos<OB>.>=Jn-O旦=——入W=-=cos300=近，即(All)2=4,解得入=3

22

WT0BI2J4+3(44)3

V人T

(不合題意，舍去)或入=工，

3

故入=￡

3

21.解：(1)雙曲線過點(diǎn)(2,1)且一條漸近線方程為了岑_乂，

則a=&b?，

雙曲線過點(diǎn)(2,1),

聯(lián)立①②解得，/=2,房=1,

2c

故雙曲線的方程為三--y2=

2丫

JT

直線/的傾斜角為?，在y軸上的截距為-2,

則/的方程為y=x-2,代入雙曲線方程可得，x2-8x+10=0,

設(shè)A(xi,y\),B(X2,”)，M(x,y),

則Xl+X2=8,

M為線段AB的中點(diǎn)，

則x=4,y=x-2=2,BPM(4,2),

???恒士|=炳

的面積為《恒1匕|“y4x2=2如；

21z2

(2)由題意可知，圓的方程為/+V=c2,

/,2,2.22.2,2

聯(lián)立｛*2v2,解得x=avAb+c,>=上一，即/>（a\b+c,且_）,

---=1ccCc

ab

切線的斜率為Wi

22

貝1」上。尸=92._^=hNl,化簡整理可得，3(c-a)=aJor2,2,

ca后73^2Ca

故3C4+4?4-8a2c2=0,即3c4-8e2+4=0,解得2=2,

故雙曲線的離心率為

22.解：(1)由題意，函數(shù)/(x)—X2-axlnx+\+a,aGR,

可得函數(shù)/1(x)的定義域?yàn)?0,+8),且/(x)=2x-a(1+//7X),

Xa

設(shè)g(x)=f(x)=2x-a(l+bix),x&(0,+8),則/(x)=2~^-=^-,

XX

①當(dāng)aWO時(shí)，可得g'(x)>0,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以/(X)沒有極值；

②當(dāng)。>0時(shí)，若x￡(0,方)，貝iJg，(X)<0,f(x)在(0,方)上單調(diào)遞減，

若x€號，=)，則g'(X)>0,/(X)在管，一)上單調(diào)遞增，

所以/G)在x=^|?處取得極小值，且極小值為f，(-1)=-alny在(°，上沒有極大值,

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，/(x)沒有極值；當(dāng)。>0時(shí)，/(x)的極小值為_ahr|，無極大值.

(2)由題意知，存在/曰2,e],使得/(力-atlnt+\+a<0,

即存在怎[2,e],使得