新教材一輪復習人教A版第9章第3節(jié)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析學案

第三節(jié)成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

-----------\必備知識?回顧教材重“四基”/------------

一'教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重視

1.相關關系

兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程

度，這種關系稱為相關關系.

2.散點圖

將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標系中的對應點畫出來，得到表示兩個變量的一組數(shù)

據(jù)的圖形，這樣的圖形叫做散點圖.利用散點圖，可以判斷兩個變量是否相關，

相關時是正相關還是負相關.

3.正相關和負相關

(1)當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們

就稱這兩個變量正相關.

(2)負相關：當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現(xiàn)減少的趨勢,

則稱這兩個變量負相關.

微提醒???一

相關關系與函數(shù)關系的區(qū)別與聯(lián)系

(1)相同點：兩者均是指兩個變量的關系.

(2)不同點：①函數(shù)關系是一種確定的關系，相關關系是一種非確定的關系；

②函數(shù)關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨

關系.

^~4.線性相關和非線性相關

(1)一般地，如果兩個變量的取值呈現(xiàn)正相關或負相關，而且散點落在一條

直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關.

(2)一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這

兩個變量非線性相關或曲線相關.

5.樣本相關系數(shù)

n

∑(Xi-X)(W—?)

(I>=∕Z^_∣

?/Σ(xj—x)2Λ/Σa(v/-?K

ΣXiyi-nxy

=一"_”_，稱「為變量X和變量y的樣本相關系數(shù)?

、!占An72、JjWV一石2

(2)樣本相關系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負性和絕對

值的大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征：

①當r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)亞相關；

②當r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負相關.

(3)樣本相關系數(shù)r的取值范圍為樣本相關系數(shù)r的絕對值大小可

以反映成對數(shù)據(jù)之間線性相關的程度：

①當團越接近1時，成對數(shù)據(jù)的線性相關程度越強;

②當團越接近0時，成對數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱.

6.經(jīng)驗回歸方程

我們將￡=源+2稱為Y關于X的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回

∑(?Γ.?-χ')(yi—y)

?Z=I

b=---------------------------------

歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗回歸直線，其中支F)2

i=}

a=^y-bX.

微提醒???

(1)經(jīng)驗回歸方程不一定都有實際意義.回歸分析是對具有相關關系的兩個

變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的經(jīng)驗回歸方程才

有實際意義.

(2)根據(jù)經(jīng)驗回歸方程進行預報，得到的僅是一個估計值，而不一定是真實

發(fā)生的值.

(3)經(jīng)驗回歸直線一定過樣本點的中心.

7.利用R2刻畫回歸效果

，ΛC

Σ(?/-?/)

i=ln

R2的計算公式為R2=l----------------,其意義是R2越大，殘差平方和E(W

n.

Σ(?/-y)2J

/=1

一工)2越小,即模型的擬合效果越野；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合

效果越差.

8.獨立性檢驗

rd∩d—

(I)/2的計算公式：iβn=a+b+c+d,則—=/、小(二-

??(α十?>)(c十G(α十C)(匕十d)

(2)利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為Z2獨立性檢驗，

讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.

(3)應用獨立性檢驗解決實際問題包括以下幾個環(huán)節(jié)：

①提出零假設H。：X和Y相互獨立，并給出在問題中的解釋；

②根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2X2列聯(lián)表，計算/的值，并與臨界X“值比較；

③根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論；

④在X和y不獨立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應的頻率，分析X和Y

間的影響規(guī)律.

微提醒???

2

根據(jù)好的值可以判斷兩個分類變量有關的可信程度.若z的值越大，則兩

個分類變量有關系的把握越大.

二'基本技能?思想?活動體驗

1.判斷下列說法的正誤，對的打“，錯的打“X”.

(1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學水平與學生的水平成正相關關

系.(J)

(2)通過經(jīng)驗回歸方程￡=源+2可以估計預報變量的取值和變化趨勢.(J)

(3)經(jīng)驗回歸方程￡=源+2中，若短0,則變量X和y負相關.(X)

(4)因為由任何一組觀測值都可以求得一個經(jīng)驗回歸方程，所以沒有必要進

行相關性檢驗?(X)

2.(多選題)關于回歸分析，下列說法正確的是()

A.在回歸分析中，變量間的關系若是非確定性關系，那么因變量不能由自

變量唯一確定

B.線性相關系數(shù)可以是正的也可以是負的

C.在回歸分析中，如果r2=l或r=±l,說明X與y之間完全線性相關

D.樣本相關系數(shù)rG（-l,l）

ABC解析：選項D中，樣本的相關系數(shù)應滿足一IWrW1,故D錯誤，ABC

都正確.

3.甲、乙、丙、丁四位同學在建立變量X,y的回歸模型時，分別選擇了4

種不同模型，計算可得它們的心分別如下表:

甲乙丙?

R28

建立的回歸模型擬合效果最好的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

A解析：R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好.

4.高二第二學期期中考試，按照甲、乙兩個班學生的數(shù)學成績優(yōu)秀和及格

統(tǒng)計人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表:

優(yōu)秀及格總計

甲班113445

乙班83745

總計197190

則隨機變量Z2的值約為（）

A.C.

A解析：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得格=9°：8）2-0.600.故

4□?4□^IyAZ1

選A.

5.若變量y與X的非線性回歸方程是￡=25一1,則當￡的值為2時，X的

估計值為.

9?.L99

4解析：由2山一1=2,得X=不即X的估計值為不

?關鍵能力?研析考點強“四翼”/

考點1相關關系的判斷——基礎性

「多維訓練」

1.（多選題）下列變量之間的關系是相關關系的是（）

A.二次函數(shù)y=加+bx+c中，α,c是已知常數(shù)，取。為自變量，因變量

是判別式/=∕-4αc

B.光照時間和果樹畝產(chǎn)量

C.降雪量和交通事故發(fā)生率

D.每畝田施肥量和糧食畝產(chǎn)量

BCD解析：在A中，若Z?確定，則α,b,C?都是常數(shù)，/=∕-44c?也就

唯一確定了，因此，這兩者之間是確定性的函數(shù)關系.一般來說，光照時間越長，

果樹畝產(chǎn)量越高；降雪量越大，交通事故發(fā)生率越高：施肥量越多，糧食畝產(chǎn)量

越高，所以B,C,D是相關關系.

2.以下是在某地搜集到的不同樓盤房屋的銷售價格》（單位：萬元）和房屋面

積x（單位：π?）的數(shù)據(jù)：

房屋面積x∕m211511080135105

銷售價格W萬元44

⑴畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖.

⑵判斷房屋的銷售價格和房屋面積之間是否具有相關關系.如果有相關關

系，是正相關還是負相關？

解：⑴數(shù)據(jù)對應的散點圖如圖所示.

60

50

4()

30

20

IO

07090IIO130150χ∕m2

（2）通過以上數(shù)據(jù)對應的散點圖可以判斷，房屋的銷售價格和房屋面積之間

具有相關關系，并且是正相關.

解題通法

兩個變量是否相關的兩種判斷方法

(1)根據(jù)實際經(jīng)驗，借助積累的經(jīng)驗進行分析判斷.

(2)通過散點圖，觀察它們的分布是否存在一定的規(guī)律，直觀地進行判斷.

考點2一元線性回歸模型及其應用——應用性

「典例引領」

考向1線性回歸分析

例維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標“縮醛化度”y來衡量,這

個指標越高，耐熱水性能也越好.而甲醛濃度是影響縮醛化度的重要因素，在生

產(chǎn)中常用甲醛濃度x(g∕L)去控制這一指標，為此必須找出它們之間的關系.現(xiàn)安

排一批實驗，獲得如下數(shù)據(jù)：

甲醛濃度(g∕L)18202224262830

縮醛化度(克分

子％)

⑴畫散點圖，并判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關；

⑵求相關系數(shù)r(精確到0?01),并通過樣本相關系數(shù)判斷甲醛濃度與縮醛化

度的相關程度和變化趨勢的異同.

解：⑴畫出散點圖如圖所示.

+縮醛化度(克分子％)

30■β???

28-**

26-,

Ol18202224262830'

甲醛濃度(β∕L)

由散點圖可以看出，成對數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出相關關系.

(2)X=亍=24,y=,7),Zx,y,=4900.16,∑xτ=4-144,Ey七5892,

/i=lZ=IZ=I

由此推斷，甲酉荃濃度與縮醛化度正線性相關，即甲醛濃度與縮醛化度有相同

的變化趨勢，且相關程度很強.

考向2非線性回歸分析

例?，（2020?南平質(zhì)檢）千百年來，人們一直在通過不同的方式傳遞信息.在

古代，烽火狼煙、飛鴿傳書、快馬驛站等通信方式被人們廣泛傳知；第二次工業(yè)

革命后，科技的進步帶動了電訊事業(yè)的發(fā)展，電報、電話的發(fā)明讓通信領域發(fā)生

了翻天覆地的變化；之后，計算機和互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn)則使得“千里眼”“順風耳”

變?yōu)楝F(xiàn)實……此時此刻，5G的到來即將給人們的生活帶來顛覆性的變革.“5G

領先”一方面是源于我國頂層設計的宏觀布局，另一方面則來自政府高度重視、

企業(yè)積極搶灘、企業(yè)層面的科技創(chuàng)新能力和先發(fā)優(yōu)勢.某科技創(chuàng)新公司基于領先

技術(shù)的支持，豐富的移動互聯(lián)網(wǎng)應用等明顯優(yōu)勢，隨著技術(shù)的不斷完善，該公司

的5G經(jīng)濟收入在短期內(nèi)逐月攀升.業(yè)內(nèi)預測，該創(chuàng)新公司在第1個月至第7個

（1）為了更充分運用大數(shù)據(jù)、人工智能、5G等技術(shù)，公司需要派出員工實地

檢測產(chǎn)品性能和使用狀況.公司領導要從報名的五名科技人員A,B,C,D,E

中隨機抽取3個人前往，則A,B同時被抽到的概率為多少？

（2）根據(jù)散點圖判斷，y=0x+Z?與y=c?∕（α,8,c,d均為大于零的常數(shù)）哪

一個適宜作為5G經(jīng)濟收入y關于月份X的經(jīng)驗回歸方程類型？（給出判斷即可，

不必說明理由）并根據(jù)你判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求出y關于X的回歸方程.

⑶請你預測該公司8月份的5G經(jīng)濟收入.

參考數(shù)據(jù)：

777

部ΣXiVi1010

VZ=1

2535

O=Igy,Vi=↑gyi.

參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)3,w)(z=1,2,3,…，〃)，其

經(jīng)驗回歸直線，=&+2的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為?=

Il_____

∑xivi-nXV

i=lΛ------A——

na=V—B%.

ΣXι,-∏X2

i=l

解：(1)從報名的科技人員A,B,C,DfE中隨機抽取3個人，則所有的情

況為{A,B,C},{A,B,D],{A,B,E},{A,C,D},{A,C,E},{A,D,

E},{B,C,D},{B,C,E},{B,D,E},{C,D,E],共10種.記“A,B

同時被抽到”為事件Q,則事件Q包含的樣本點為{A,B,C},{A,B,D},{A,

3

B,E],共3個,故P(Q)=而

(2)根據(jù)散點圖判斷，y=c?/適宜作為5G經(jīng)濟收入y關于月份X的回歸方程

類型.由y=c∕,兩邊同時取常用對數(shù)得Igy=Ig(Cd)=lgc+xlg

設Igy=所以O=Igc+xlgd.

因為嚏=∣×(1+2+3+4+5+6+7)=4,

-I7I717

所以V=?=∑vi=^∑lgyi=^×10.78=1.54,∑χ}=l2÷22+32+42÷52÷62+

∕z=l/i=?//=1

72=140,

7_____

ΛWXM—7Xy50.12-7×4×7

所以Igd=-=140-7×42=28=0-25-

Σ√-7X2

/=I

-----AAA

把樣本中心(4,1.54)的坐標代入V=Igc+lgd?x,得1.54=Igc×4,

ΛA

所以Igc=0.54,所以O%

A

所以Igyx,

所以y關于X的回歸方程為￡=IOrXIQ'

A

(3)當x=8時，y=10-10*8=347,

所以預測8月份的5G經(jīng)濟收入為347百萬元.

解題通法

非線性回歸分析的步驟

非線性回歸問題有時并不給出經(jīng)驗公式.這時我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點

圖，把它與學過的各種函數(shù)（幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）圖象作比較，挑選

一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性

回歸分析問題，使之得到解決.其一般步驟如下：

“作散、根據(jù)原始數(shù)據(jù)（x,y）作出散點圖

Λ圖

函藥才根據(jù)散點圖，選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)

∕x≤≥?作恰當?shù)淖儞Q，將其轉(zhuǎn)化成線性函

、求解數(shù)，求經(jīng)驗回歸方程

Y4

在上面的基礎上通過相應的變換，

即可得非線性回歸方程

「多維訓練」

（2020.廣州一模）某種昆蟲的日產(chǎn)卵數(shù)和時間變化有關，現(xiàn)收集了該昆蟲第1

5555

ΣXiΣXι,部”）5si"。

Z=IZ=I

1555

⑴根據(jù)散點圖，利用計算機模擬出該種昆蟲日產(chǎn)卵數(shù)y關于X的經(jīng)驗回歸方

程為y=e“+收其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)α,b的值（精確到0.1）.

（2）根據(jù)某項指標測定，若日產(chǎn)卵數(shù)在區(qū)間T，e》上的時段為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期.利

用(1)的結(jié)論，估計在第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期

的概率.

附：對于一組數(shù)據(jù)(01,川),(02,〃2),…,(Mμn),其經(jīng)驗回歸直線的斜率

n

∑viui-nV?λ_A_

和截距的最小二乘估計公式分別為夕=、------,?=u-β?V.

∑vl-nV2

Z=I

解：(1)因為y=e。+”兩邊取自然對數(shù)，得Iny=笈.

令根=犬，"=Iny,得〃=Q+∕WI.

λ54.75-5×y×

因為2=--------------:-,55-5×32)=,10)=0.693,

所以??0.7.

Λ—Λ

因為α=n—bm=,5)×3=1.088,

所以gjM.l,即∕J≈0.7.

(2)根據(jù)⑴得y=e?

由e6<e'Ve8,得7VχV竽.

所以在第6天到第10天中，第8,9天為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期.

從未來第6天到第10天中任取2天的所有可能事件有(6,7),(6,8),(6,9),

(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共10種.

其中恰有1天為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期的有(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,10),(9,10),

共6種.

設從未來第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期的事件

為A,

則P(A)=K=|.

所以從未來第6天到第10天中任取2天，其中恰有1天為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)卵期的概

考點3殘差分析——基礎性

r典例引領」

例目,2020.聊城6月高三模擬）2019年上半年我國多個省市暴發(fā)了“非洲豬

瘟”疫情，生豬大量病死，存欄量急劇下降，一時間豬肉價格暴漲，其他肉類價

格也跟著大幅上揚，嚴重影響了居民的生活.為了解決這個問題，我國政府一方

面鼓勵有條件的企業(yè)和散戶防控疫情，擴大生產(chǎn)；另一方面積極向多個國家開放

豬肉進口，擴大肉源，確保市場供給穩(wěn)定.某大型生豬生產(chǎn)企業(yè)分析當前市場形

勢，決定響應政府號召，擴大生產(chǎn)決策層調(diào)閱了該企業(yè)過去生產(chǎn)相關數(shù)據(jù),就“一

天中一頭豬的平均成本與生豬存欄數(shù)量之間的關系”進行研究.現(xiàn)相關數(shù)據(jù)統(tǒng)計

如下表：

生豬存欄數(shù)量χ（千頭）23458

頭豬每天平均成本吠元）2

⑴研究員甲根據(jù)以上數(shù)據(jù)認為y與X具有線性回歸關系，請幫他求出y關于

X的線性回歸方程佻）=源+氤計算結(jié)果精確到0.01）.

（2）研究員乙根據(jù)以上數(shù)據(jù)得出y與尤的回歸模型：夕2）=/）,請完成以下任

務：

①完成下表（計算結(jié)果精確到0?01）（備注：,稱為對于點3,V）的殘差）；

生豬存欄數(shù)量X（千頭）23458

頭豬每天平均成本y（元）2

估計值制）

模型甲

殘差一）

估計值例2

模型乙

殘差ef2）000

②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和。及0,并通過比較Q2的

大小，判斷哪個模型擬合效果更好.

（3）根據(jù)市場調(diào)查，生豬存欄數(shù)量達到1萬頭時，，飼養(yǎng)一頭豬每一天的平均

收入為7.2元.若按（2）中擬合效果較好的模型計算一天中一頭豬的平均成本，問：

該生豬存欄數(shù)量選擇1萬頭還是1.2萬頭能獲得更多利潤？請說明理由.（利潤=

收入一成本）

5__5_

參考數(shù)據(jù)：∑(χ-X)(??-y,W(H—%)2=21.2.

∕=1Z=I

解：(1)由題知：1=4.4,~y=2.2,

n

∑(xi-X)(y,-y)

八I=I

=

b~1=,21.2)=-0.25,

∑(Xi-X)2

ι=l

AΛ,

a—y—bx×4.4=3.30,

故夕以+3.30.

⑵①經(jīng)計算，可得下表：

生豬存欄數(shù)量X(千頭)23458

頭豬每天平均成本y(元)2

模型估計值W'

甲殘差副

模型估計值y超2

乙殘差熱000

222222

Qi=(0.40)+(-0.15)+(-0.30)+(-0.15)+(0.20),Q2=(0.14)+

(O.1)2Q∣>02,故模型?2)=,X)+0.8的擬合效果更好.

(3)若生豬存欄數(shù)量達到1萬頭，由(2)中模型乙可知，每頭豬的成本為,10)+

0.8=1.28(元)，這樣一天獲得的總利潤為(7.5—1.28)X10000=62200(元)；

，由(2)中模型乙可知，每頭豬的成本為,12)+0.8=1.2(元)，這樣一天獲得的

總利潤為(7.2—1.2)X12000=72OoO(元).

因為72000>62200,所以選擇生豬存欄數(shù)量1.2萬頭能獲得更多利潤.

解題通法

在進行線性回歸分析時，要按線性回歸分析步驟進行.在求N時，通常采

用分步計算的方法，心越大，模型的擬合效果越好.

「多維訓練」

關于X與y有如下數(shù)據(jù):

X245?8

y^30^^40^?^50^^70^

有如下的兩個線性模型:

(I)Jx+17.5；(2)J=7x+17.試比較哪一個擬合效果更好.

?--

解：由⑴可得y—y與y—y的關系如下表:

Λ

y-yi10

yt-y-20-io10020

55_

所以EcyLV)2=(—0.5)2+(—3.5)2+1。2+(—65)22=155,Σ(y-y)2=(-

Z=Ii=1i

20)2+(-IO)2+102+02+202=1000.

5Λ，

∑(yi-y?)ιss

所以K=I-—5=1-"J^^QQ0Ξ≈0-845.

∑.yA

/=I

A——

由Q)可得》一?與y—y的關系如下表:

Λ

y-yi-i-58-9-3

y-y-20-1010020

5

所以E(M-Qi)2=(—1)2+(—5)2+82+(—9)2+(—3)2=180,

Z=I

5Λ，

ιζ(yi-yι)-180

所以虺=1-―5=1-]000=O'82?

∑(??-yA

/=1

所以招＞∕?

所以⑴的擬合效果更好.

考點4列聯(lián)表與獨立性檢驗——綜合性

「典例引領」

例0，某省進行高中新課程改革已經(jīng)四年了，為了了解教師對新課程教學模

式的使用情況，某一教育機構(gòu)對某學校的教師關于新課程教學模式的使用情況進

行了問卷調(diào)查.共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人.老教師

對新課程教學模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對新課程教學模

式贊同的有24人，不贊同的有6人.

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2X2列聯(lián)表；

（2）依據(jù)小概率ɑ,能否推斷青年教師和老教師在新課程教學模式的使用上有

差異？

解：（1）2X2列聯(lián)表如下所示.

贊同不贊同總計

老教師101020

青年教師24630

總計341650

⑵假設H0i青年教師和老教師在新課程教學模式的使用上沒有差異.

/口,50×（10×6-24×10）2

2