2024年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2024年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的；請將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填涂到答題卡上）1．（3分）若x的相反數(shù)是3，則x的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±32．（3分）湖南省2023年地區(qū)生產(chǎn)總值突破五萬億元，同比增長4.6%，其中數(shù)據(jù)50000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．5×103 B．5×104 C．0.5×105 D．50×1033．（3分）下列圖標(biāo)是第十九屆杭州亞運(yùn)會(huì)上常見的運(yùn)動(dòng)圖標(biāo)，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝2a4 B．（ab3）2＝ab6 C．a(chǎn)5÷a2＝a3 D．（x﹣2）2＝x2﹣2x+45．（3分）某校在讀書系列活動(dòng)中，為了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)選取了某班甲、乙兩組學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），數(shù)據(jù)如圖表，兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)分別為M甲、M乙，方差分別為、，則（）甲組67888910乙組47888912A．M甲＞M乙， B．M甲＝M乙， C．M甲＝M乙， D．M甲＝M乙，6．（3分）已知直線m∥n，將一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中斜邊BC與直線n交于點(diǎn)D．若∠2＝78°（）A．.30° B．.33° C．.35° D．.22°7．（3分）直線y＝﹣2x+1不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．9．（3分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．下列說法正確的是（）A．函數(shù)解析式為I＝ B．蓄電池的電壓是18V C．當(dāng)R＝6Ω時(shí)，I＝4A D．當(dāng)I≤10A時(shí)，R≥3.6Ω10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)，以下結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③當(dāng)y＞0時(shí)；④a+b+c＜0．正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分；請將答案填在答題卡的答案欄內(nèi)）11．（3分）因式分解：x2﹣4＝．12．（3分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是．13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（5，﹣3）關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)是．14．（3分）分式方程的解為．15．（3分）某校開展征文活動(dòng)，學(xué)生只能從“愛國教育”、“科技創(chuàng)新”、“傳統(tǒng)文化”三個(gè)主題中選擇一個(gè)主題上交征文，那么兩名學(xué)生恰好選中同一主題征文的概率是．16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，將△ABC繞邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積是．17．（3分）如圖，△ABC的邊AC與⊙O相交于C，D兩點(diǎn)，邊AB與⊙O相切，切點(diǎn)為B．如果∠A＝38°．18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，以點(diǎn)A為圓心，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，分別以點(diǎn)E，大于的長為半徑作弧，作射線AG，交BC于點(diǎn)D．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共66分，解答題要求寫出證明步驟或解答過程）19．（6分）計(jì)算：．20．（6分）先化簡，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝．21．（8分）某校利用課后延時(shí)服務(wù)時(shí)間，開設(shè)“陽光球類系列課程”，有足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球五大球類課程，隨機(jī)調(diào)查了m名學(xué)生（每名學(xué)生必選且只選其中一門課程）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息（1）m＝，n＝；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）“足球”課程在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占扇形區(qū)域的圓心角度數(shù)為．（4）若全校共有3000名學(xué)生，請估計(jì)該校約有多少名學(xué)生喜愛打乒乓球．22．（8分）如圖，小明用測角儀（測角儀高度忽略不計(jì)）測量樓棟的高度．先在A處測得樓頂C的仰角∠CAD＝30°，測得樓頂C的仰角∠CBD＝45°，求樓棟的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果保留整數(shù)）23．（9分）如圖，在矩形ABCD中，O為對角線AC的中點(diǎn)，連接AE，CF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若AB＝6，BC＝8，求菱形AECF的邊長．24．（9分）3月12日，某校開展植樹活動(dòng)，準(zhǔn)備購買桂花樹和香樟樹，購買2棵香樟樹和3棵桂花樹共需390元．（1）求香樟樹和桂花樹的單價(jià)；（2）現(xiàn)需一次性購買香樟樹和桂花樹共40棵，要求總費(fèi)用不超過3300元，學(xué)校最多可以購買多少棵桂花樹？25．（10分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)H在AB上，連接BD，OH．（1）求證：△AHC∽△DHB；（2）若BH2＝CH?DH，求證：OH⊥AB；（3）在（2）條件下，若∠BAC+∠BHD＝90°，且r＝4OH，求的值．26．（10分）以x為自變量的兩個(gè)函數(shù)y與g，令h＝y(tǒng)﹣g，我們把函數(shù)h稱為y與g的“相關(guān)函數(shù)”例如：以x為自變量的函數(shù)y＝x2與g＝2x﹣1它們的“相關(guān)函數(shù)”為h＝y(tǒng)﹣g＝x2﹣2x+1．h＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0恒成立，所以借助該“相關(guān)函數(shù)”可以證明：不論自變量x取何值，y≥g恒成立．（1）已知函數(shù)y＝x2+mx+n與函數(shù)g＝4x+1相交于點(diǎn)（﹣1，﹣3）、（3，13），求函數(shù)y與g的“相關(guān)函數(shù)”h；（2）已知以x為自變量的函數(shù)y＝3x+t與g＝x﹣2，當(dāng)x＞1時(shí)，對于x的每一個(gè)值，求t的取值范圍；（3）已知以x為自變量的函數(shù)y＝ax2+bx+c與g＝﹣2bx﹣c（a、b、c為常數(shù)且a＞0，b≠0），點(diǎn)、B（﹣2，y1）、C（1，y2）是它們的“相關(guān)函數(shù)”h的圖象上的三個(gè)點(diǎn)，且滿足2c＜y2＜y1，求函數(shù)h的圖象截x軸得到的線段長度的取值范圍．

2024年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的；請將你認(rèn)為正確的選項(xiàng)填涂到答題卡上）1．（3分）若x的相反數(shù)是3，則x的值是（）A．﹣3 B．﹣ C．3 D．±3【解答】解：﹣3的相反數(shù)是3，∴x＝﹣6．故選：A．2．（3分）湖南省2023年地區(qū)生產(chǎn)總值突破五萬億元，同比增長4.6%，其中數(shù)據(jù)50000用科學(xué)記數(shù)法可表示為（）A．5×103 B．5×104 C．0.5×105 D．50×103【解答】解：50000＝5×104．故選：B．3．（3分）下列圖標(biāo)是第十九屆杭州亞運(yùn)會(huì)上常見的運(yùn)動(dòng)圖標(biāo)，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：選項(xiàng)B、C、D的圖形不能找到一條直線，直線兩旁的部分能夠互相重合．選項(xiàng)A的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，所以是軸對稱圖形．故選：A．4．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝2a4 B．（ab3）2＝ab6 C．a(chǎn)5÷a2＝a3 D．（x﹣2）2＝x2﹣2x+4【解答】解：A．∵a2+a2＝4a2，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B．∵（ab3）8＝a2b6，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C．∵a6÷a2＝a3，∴此選項(xiàng)的計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；D．∵（x﹣8）2＝x2﹣2x+4，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；故選：C．5．（3分）某校在讀書系列活動(dòng)中，為了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)選取了某班甲、乙兩組學(xué)生一周的課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)），數(shù)據(jù)如圖表，兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)分別為M甲、M乙，方差分別為、，則（）甲組67888910乙組47888912A．M甲＞M乙， B．M甲＝M乙， C．M甲＝M乙， D．M甲＝M乙，【解答】解：由題意得，甲組的眾數(shù)M甲＝8，乙組的眾數(shù)M乙＝8，∴M甲＝M乙，甲組的平均數(shù)為（6+5+8+8+2+9+10）＝8，∴s甲2＝[（5﹣8）2+（5﹣8）2+6×（8﹣8）5+（9﹣8）8+（10﹣8）2]＝；乙組的平均數(shù)為（8+7+8+6+8+9+12）＝7，∴s乙2＝[（4﹣8）2+（7﹣8）5+3×（8﹣5）2+（9﹣5）2+（12﹣8）7]＝，∴s甲2＜s乙2．故選：D．6．（3分）已知直線m∥n，將一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中斜邊BC與直線n交于點(diǎn)D．若∠2＝78°（）A．.30° B．.33° C．.35° D．.22°【解答】解：如圖：∵m∥n，∴∠3＝∠2＝78°，∵∠5＝∠1+∠B，∴∠1＝∠7﹣∠B＝78°﹣45°＝33°，故選：B．7．（3分）直線y＝﹣2x+1不經(jīng)過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵直線y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0，∴該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選：C．8．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x≥2，故此不等式組的解集為：x≥6．在數(shù)軸上表示為：．故選：A．9．（3分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．下列說法正確的是（）A．函數(shù)解析式為I＝ B．蓄電池的電壓是18V C．當(dāng)R＝6Ω時(shí)，I＝4A D．當(dāng)I≤10A時(shí)，R≥3.6Ω【解答】解：設(shè)I＝，∵圖象過（4，9），∴k＝36，∴I＝，∴蓄電池的電壓是36V，∴A、B錯(cuò)誤；當(dāng)R＝2Ω時(shí)，I＝，∴C錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)I＝10時(shí)，R＝3.3，由圖象知：當(dāng)I≤10A時(shí)，R≥3.6Ω，∴D正確，符合題意；故選：D．10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)，以下結(jié)論：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③當(dāng)y＞0時(shí)；④a+b+c＜0．正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)知：b2﹣4ac＞6，故①正確；②由拋物線的對稱軸位于y軸的右側(cè)知：ab異號，即ab＜0．由拋物線與y軸交于負(fù)半軸，則c＜0．故abc＞4．故②正確；③由圖示知：當(dāng)y＞0時(shí)，x＜﹣2或x＞6；④由圖示知：當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0．故④正確；綜上所述，正確的說法有5個(gè)．故選：B．二、填空題（本大題共8個(gè)小題，每小題3分，共24分；請將答案填在答題卡的答案欄內(nèi)）11．（3分）因式分解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．【解答】解：x2﹣4＝（x+8）（x﹣2）．故答案為：（x+2）（x﹣4）．12．（3分）函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是x≥．【解答】解：由題意得：2x﹣1≥3，解得：x≥，故答案為：x≥．13．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（5，﹣3）關(guān)于x軸對稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)是（5，3）．【解答】解：點(diǎn)P（5，﹣3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)點(diǎn)P8坐標(biāo)為：（5，3），故答案為：（4，3）．14．（3分）分式方程的解為x＝﹣1．【解答】解：，x﹣5＝2（7x﹣1），解得：x＝﹣1，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝﹣7時(shí)，2x﹣1≠5，∴x＝﹣1是原方程的根，故答案為：x＝﹣1．15．（3分）某校開展征文活動(dòng)，學(xué)生只能從“愛國教育”、“科技創(chuàng)新”、“傳統(tǒng)文化”三個(gè)主題中選擇一個(gè)主題上交征文，那么兩名學(xué)生恰好選中同一主題征文的概率是．【解答】解：將“愛國教育”、“科技創(chuàng)新”，B，C，畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中兩名學(xué)生恰好選中同一主題征文的結(jié)果有3種，∴兩名學(xué)生恰好選中同一主題征文的概率為＝．故答案為：．16．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，將△ABC繞邊AC所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積是20π．【解答】解：由已知得，母線長l＝5，∴圓錐的側(cè)面積是s＝πl(wèi)r＝5×8×π＝20π．故答案為20π．17．（3分）如圖，△ABC的邊AC與⊙O相交于C，D兩點(diǎn)，邊AB與⊙O相切，切點(diǎn)為B．如果∠A＝38°26°．【解答】解：∵AB與⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣38°＝52°，∴∠C＝∠AOB＝26°，故答案為：26°．18．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，以點(diǎn)A為圓心，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，分別以點(diǎn)E，大于的長為半徑作弧，作射線AG，交BC于點(diǎn)D．【解答】解：作DM⊥AB于M，由題意知AD平分∠BAC，∵DC⊥AC，∴CD＝DM，∵∠C＝90°，AB＝10，∴AC＝＝7，∵△ABC的面積＝△ACD的面積+△ABD的面積，∴8×6＝7CD+10CD，∴CD＝，∴BD＝BC﹣CD＝6﹣＝．故答案為：．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共66分，解答題要求寫出證明步驟或解答過程）19．（6分）計(jì)算：．【解答】解：＝3+4×﹣2＝3+2﹣2＝2．20．（6分）先化簡，再求值：（x+1）2﹣2（x+1），其中x＝．【解答】解：原式＝x2+2x+4﹣2x﹣2＝x5﹣1，當(dāng)x＝時(shí)，原式＝6﹣1＝1．21．（8分）某校利用課后延時(shí)服務(wù)時(shí)間，開設(shè)“陽光球類系列課程”，有足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球五大球類課程，隨機(jī)調(diào)查了m名學(xué)生（每名學(xué)生必選且只選其中一門課程）．根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息（1）m＝100，n＝5；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）“足球”課程在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占扇形區(qū)域的圓心角度數(shù)為126°．（4）若全校共有3000名學(xué)生，請估計(jì)該校約有多少名學(xué)生喜愛打乒乓球．【解答】解：（1）由題意m＝30÷30%＝100，排球占，∴n＝5，故答案為：100，5；（2）足球＝100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35（人），條形圖如圖所示，（3）“足球”課程在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占扇形區(qū)域的圓心角度數(shù)為360°×35%＝126°，故答案為：126°；（4）3000×＝600（名），答：估計(jì)該校約有600名學(xué)生喜愛打乒乓球．22．（8分）如圖，小明用測角儀（測角儀高度忽略不計(jì)）測量樓棟的高度．先在A處測得樓頂C的仰角∠CAD＝30°，測得樓頂C的仰角∠CBD＝45°，求樓棟的高度．（參考數(shù)據(jù)：，，結(jié)果保留整數(shù)）【解答】解：由題意得：CD⊥AD，設(shè)CD＝x米，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝＝＝x（米），在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，∴BD＝＝x（米），∵AD﹣BD＝AB，∴x﹣x＝20，解得：x＝10+10，∴CD＝10+10≈27（米），∴樓棟的高度約為27米．23．（9分）如圖，在矩形ABCD中，O為對角線AC的中點(diǎn)，連接AE，CF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若AB＝6，BC＝8，求菱形AECF的邊長．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，EF⊥AC，∴EF是AC的垂直平分線，∴FA＝FC，EA＝EC，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FAO＝∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴FA＝EC，∴AE＝EC＝CF＝FA，∴四邊形AECF為菱形；（2）解：設(shè)AE＝CE＝x，則BE＝5﹣x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°．在Rt△ABE中，由勾股定理得2+BE4＝AE2，即67+（8﹣x）2＝x3，解得，x＝，即AE＝．∴菱形的邊長為．24．（9分）3月12日，某校開展植樹活動(dòng)，準(zhǔn)備購買桂花樹和香樟樹，購買2棵香樟樹和3棵桂花樹共需390元．（1）求香樟樹和桂花樹的單價(jià)；（2）現(xiàn)需一次性購買香樟樹和桂花樹共40棵，要求總費(fèi)用不超過3300元，學(xué)校最多可以購買多少棵桂花樹？【解答】解：（1）設(shè)桂花樹每棵x元，香樟樹每棵y元．由題意可得：，解得：，答：桂花樹每棵90元，香樟樹每棵60元；（2）設(shè)桂花樹a棵，則香樟樹（40﹣a）棵．由題意可得：90a+60（40﹣a）≤3300，解得：a≤30，∴a的最大值為30，答：學(xué)校最多可以購買30棵桂花樹．25．（10分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)H在AB上，連接BD，OH．（1）求證：△AHC∽△DHB；（2）若BH2＝CH?DH，求證：OH⊥AB；（3）在（2）條件下，若∠BAC+∠BHD＝90°，且r＝4OH，求的值．【解答】（1）證明：∵，∴BC＝BC．∴CAH＝∠BDH，∵∠AHC＝∠DHB．∴△AHC∽△DHB；（2）證明：∵△AHC∽△DHB，∴，即AH?BH＝DH?CH，∵BH2＝CH?DH，∴AH?BH＝BH2，∴AH＝BH，∴OH⊥AB；（3）解：如圖，連接AD，∵∠BHD＝∠AHC，∠BAC+∠BHD＝90°，∴∠BAC+∠CHA＝90°，∴∠ACD＝90°，∴AD是直徑，∴∠ABD＝90°，∵r＝6OH，設(shè)OH＝m，則OA＝4m，∵O，H分別是AD，∴OH是△ABD的中位線，∴BD＝2OH＝6m，在Rt△AOH中，AH＝＝m，在Rt△BHD中，DH＝＝m，∵BH2＝CH?DH，∴（m）7＝CH?m，∴CH＝，∴＝．26．（10分）以x為自變量的兩個(gè)函數(shù)y與g，令h＝y(tǒng)﹣g，我們把函數(shù)h稱為y與g的“相關(guān)函數(shù)”例如：以x為自變量的函數(shù)y＝x2與g＝2x﹣1它們的“相關(guān)函數(shù)”為h＝y(tǒng)﹣g＝x2﹣2x+1．h＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0恒成立，所以借助該“相關(guān)函數(shù)”可以證明：不論自變量x取何值，