動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律第3章

動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律第3章動(dòng)量守恒定律與能量守恒定律第三章1.理解動(dòng)量、沖量概念，掌握動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律．2.掌握功的概念,能計(jì)算變力的功，理解保守力作功的特點(diǎn)及勢(shì)能的概念，會(huì)計(jì)算重力和彈性力的勢(shì)能．3.掌握動(dòng)能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律，掌握運(yùn)用動(dòng)量和能量守恒定律分析力學(xué)問題的思想和方法．力的累積效應(yīng)對(duì)時(shí)間的積累對(duì)空間的積累一沖量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理§3.1質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1.動(dòng)量2.沖量（矢量）

動(dòng)量與位矢及速度同樣是描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量—沖量（矢量）（質(zhì)點(diǎn)的）動(dòng)量定理—在給定的時(shí)間間隔內(nèi)，外力作用在質(zhì)點(diǎn)上的沖量，等于質(zhì)點(diǎn)在此時(shí)間內(nèi)動(dòng)量的增量．3.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理是描述力的時(shí)間累積效應(yīng)的物理量.

分量表示1.某方向受到?jīng)_量，該方向上動(dòng)量會(huì)改變；說明2.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理對(duì)兩質(zhì)點(diǎn)分別應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理：因內(nèi)力，故將兩式相加后得：質(zhì)點(diǎn)系上述結(jié)論可以推廣到由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)：上式表明：作用于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成的系統(tǒng)的合外力的沖量，等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，內(nèi)力的矢量和，合外力為，則有上式表明：作用于系統(tǒng)的合外力的沖量，等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量?！|(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理注意1）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理同樣有分量形式2）上式也可寫為4）只有外力才能改變系統(tǒng)的動(dòng)量3）質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理有微分形式：推開前：則推開后：v1與v2方向相反，且推開前后系統(tǒng)動(dòng)量不變注意內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量動(dòng)量定理常應(yīng)用于碰撞問題式中為平均沖力當(dāng)一定時(shí)，越小，則越大

例如，人從高處跳下、飛機(jī)與鳥相撞、打樁等碰撞事件中，作用時(shí)間很短，沖力很大.（1）

F為恒力（2）F

為變力討論Ftt1t2OFt1t2tFO通常只計(jì)算平均沖量，平均沖力。沖量是F-t曲線下的面積；沖力是F-t曲線上的點(diǎn).

問：為什么迅速地把蓋在杯上的薄板從側(cè)面打去，雞蛋就掉在杯中；慢慢地將薄板拉開，雞蛋就會(huì)和薄板一起移動(dòng)？

答：因?yàn)殡u蛋和薄板間的摩擦力很小，若棒打擊時(shí)間很短，,因此雞蛋掉在杯中.

例（P83習(xí)題3-8）.的合外力作用在質(zhì)量

的物體上，試求：1）在開始2s內(nèi)此力的沖量；2）若沖量此力作用的時(shí)間；3)若物體的初速度v1=10m·s-1，方向與Fx相同，在t=6.86s時(shí)物體的速度v2．分析：1）由沖量的定義求出變力的沖量；3）根據(jù)動(dòng)量定理求物體的速度.解：1）力的沖量I力的方向不變，質(zhì)點(diǎn)做一維運(yùn)動(dòng)2）可得（舍去不合題意的解）3)t=6.86

s時(shí)物體的速度力的方向不變，質(zhì)點(diǎn)做一維運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)量定理有

例1(P51).一質(zhì)量為0.05kg、速率為10m·s-1的鋼球，以與鋼板法線呈45o角的方向撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度彈回來．設(shè)碰撞時(shí)間為0.05s．求在此時(shí)間內(nèi)鋼板所受到的平均沖力．O解：動(dòng)量定理的分量式為：

方向與軸正向相同．O例.習(xí)題3－9（P83）一質(zhì)量為51.0kg的人，不慎從高空豎直跌落，由于安全帶的保護(hù)，人被懸掛起來，此時(shí)人離原處為2.0m，安全帶緩沖作用時(shí)間為0.50s.求安全帶對(duì)人的平均沖力.

安全帶對(duì)人向上的拉力與重力之和為沖力，其平均沖量為：解：取向上為y軸正向平均沖力根據(jù)動(dòng)量定理有作業(yè):習(xí)題

3-6,3-7由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理可知，當(dāng)時(shí)§3-2動(dòng)量守恒定律當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量保持不變上式表明：—?jiǎng)恿渴睾愣伞獎(jiǎng)恿渴睾愣?1)系統(tǒng)的總動(dòng)量不變，但系統(tǒng)內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量是可變的．(2)守恒條件：合外力為零．當(dāng)時(shí)，可近似地認(rèn)為系統(tǒng)總動(dòng)量守恒．如碰撞、打擊、爆炸等。討論(3)若，但滿足有(4)動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)最普遍、最基本的定律之一．即若某一方向合外力為零,則此方向動(dòng)量守恒.yiyiiyyCmpF===?v,0exziziizzCmpF===?v,0ex例問題3－6(P81).人從大船易跳上岸，從小舟不易跳上岸，為什么。解：人與船為一個(gè)系統(tǒng)，則此系統(tǒng)水平方向沒有外力作用，因此動(dòng)量守恒，即例1(P54)設(shè)有一靜止的原子核，衰變輻射出一個(gè)電子和一個(gè)中微子后成為一個(gè)新的原子核．已知電子和中微子的運(yùn)動(dòng)方向互相垂直，且電子動(dòng)量為1.2

10-22

kg·m·s-1，中微子的動(dòng)量為6.4

10-23

kg·m·s-1．問新的原子核的動(dòng)量的值和方向如何？

(中微子)(電子)解：圖中或

(中微子)(電子)一功

1恒力作用下的功§3-4動(dòng)能定理W功是力對(duì)空間的累積F

v功是標(biāo)量、過程量，因此與路徑有關(guān)

力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量與位移大小的乘積.B**A2變力作功質(zhì)點(diǎn)在由A到B的路徑上受到變力F的作用將整個(gè)路徑分成無窮多個(gè)位移元，則力F在任意位移元上作的元功為令則有質(zhì)點(diǎn)在由A到B的路徑上變力F所作的功為—變力作功的表達(dá)式作功的圖示：(2)功是標(biāo)量，但有正、負(fù)討論(1)功是力作用于物體的空間積累效應(yīng)的物理量,是過程量；正功表示作用力對(duì)物體做功；負(fù)功表示物體克服作用力做功.（3）功的單位：J（焦耳）（4）合力的功，等于各分力的功的代數(shù)和即1）平均功率2）（瞬時(shí)）功率功率的單位：W（瓦特）3功率例.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在恒力作用下的位移為,求此力在該位移過程中所作的功。解：注:解:例.

一質(zhì)點(diǎn)在如圖所示的坐標(biāo)平面內(nèi)作圓運(yùn)動(dòng)，力作用在質(zhì)點(diǎn)上，求質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（0，2R）位置過程中，力所作的功.或

例1（P59）質(zhì)量為2kg的物體由靜止出發(fā)沿直線運(yùn)動(dòng),作用在物體上的力為F=6t(N).試求在頭2秒內(nèi),此力對(duì)物體做的功.分析:已知的是F=6t，而不是F（x）,因此不能直接利用公式計(jì)算變力作功，只有找到變量

x與t的關(guān)系，統(tǒng)一變量后才可積分計(jì)算功.解：根據(jù)牛頓第二定律，可有可得3-16.人從10.0m深的井中提水，起始桶中有10.0kg的水，水桶漏水，每升高1m會(huì)漏去0.20Kg的水.水桶被勻速的提到井口，求人所作的功.分析：水桶是勻速上提，則人的拉力始終與重力平衡，但水桶漏水，因此為變力作功.提示：水桶勻速上提，則a=0,由牛頓定律可有設(shè)水的漏水率為，則人作的功為作業(yè)：3-16二質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理對(duì)空間的累積動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m，在合外力作用下，由合外力在任意位移元上作的元功為式中為位移元的大小ABθ根據(jù)牛頓第二定律，有則由A到B，合外力作的總功為ABθ合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量.—質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理—質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理表明了外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功的結(jié)果，式中為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，是與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)的物理量.注意2）功和動(dòng)能依賴于慣性系的選取，但對(duì)不同慣性系動(dòng)能定理形式相同．1）只有合外力作功，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能才能發(fā)生變化，功是能量變化的量度，功是過程量；動(dòng)能是狀態(tài)量；

例2（P61）一質(zhì)量為1.0kg的小球系在長(zhǎng)為1.0m細(xì)繩下端，繩的上端固定在天花板上．起初把繩子放在與豎直線成角處，然后放手使小球沿圓弧下落．試求繩與豎直線成角時(shí)小球的速率．解：受力分析0由動(dòng)能定理得3-17.一質(zhì)量為0.2kg的小球系在長(zhǎng)2.00m的細(xì)繩上，繩的另一端系在天花板上。將小球移至與豎直方向成300角的位置后從靜止釋放。求：1）繩從300角到00角的過程中，重力和張力所作的功；2）物體在最低位置時(shí)的速率；3）在最底位置時(shí)的張力.提示：1）張力的方向與運(yùn)動(dòng)方向垂直.l重力作功：作業(yè)：3=173）在最低位置時(shí)，由牛頓定律可有l(wèi)2）根據(jù)動(dòng)能定理，小球動(dòng)能的增量是重力作功的結(jié)果1萬有引力作功一萬有引力和彈性力作功的特點(diǎn)對(duì)的萬有引力為移動(dòng)時(shí)，作元功為§3-5保守力與非保守力勢(shì)能·式中為位矢的單位矢量m從A到B的過程中作功為

式中所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)．·2重力作功ABDC所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始、末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)．若回到初始位置，即環(huán)繞一周，則所作的功為ABDC3彈性力作功彈性力坐標(biāo)系如圖，彈簧原長(zhǎng)o點(diǎn)處為原點(diǎn)-平衡位置xFdxdWx2x1O彈性力作功的圖示：W=梯形面積彈性力作功只與彈簧的始末位置有關(guān)，和彈性變形的過程無關(guān)。顯然，與萬有引力和重力作功的特點(diǎn)相同。若回到初始位置，所作的功為保守力：力所作的功與路徑無關(guān)，僅決定于質(zhì)點(diǎn)的始、末位置．二保守力與非保守力彈力的功引力的功重力的功質(zhì)點(diǎn)沿任意閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，保守力對(duì)它所作的功為零．與保守力作功與路徑無關(guān)等價(jià).設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在保守力的作用下由—保守力作功特點(diǎn)的數(shù)學(xué)表達(dá)式系統(tǒng)所受合力=外力+內(nèi)力=外力+保守內(nèi)力+非保守內(nèi)力非保守力：力所作的功與路徑有關(guān)．（例如摩擦力）三勢(shì)能勢(shì)能曲線

1.勢(shì)能：與質(zhì)點(diǎn)位置有關(guān)的能量稱為質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能，用表示.彈性勢(shì)能引力勢(shì)能重力勢(shì)能彈力的功引力的功重力的功重力，萬有引力和彈力均為保守力.保守力的功可統(tǒng)一寫成即保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功等于質(zhì)點(diǎn)勢(shì)能增量的負(fù)值．顯然保守力作正功，勢(shì)能減少，即：，則2）勢(shì)能具有相對(duì)性，勢(shì)能大小與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)(原則上可任意選取)；

1）勢(shì)能是狀態(tài)的函數(shù)；3）勢(shì)能是屬于系統(tǒng)的；討論4）勢(shì)能差與勢(shì)能零點(diǎn)選取無關(guān)。

2.勢(shì)能曲線—?jiǎng)菽茈S坐標(biāo)變化的曲線彈性勢(shì)能曲線重力勢(shì)能曲線引力勢(shì)能曲線一質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

§3-6功能原理機(jī)械能守恒定律一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)會(huì)受到系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力，還會(huì)受到系統(tǒng)外質(zhì)點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)作用的外力。因此對(duì)一個(gè)系統(tǒng)來說，既會(huì)受到外力的作用，也會(huì)受到內(nèi)力作用，即合力=外力+內(nèi)力=外力+保守內(nèi)力+非保守內(nèi)力一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成,每一質(zhì)點(diǎn)都受到外力和內(nèi)力的作用.設(shè)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受外力作的功為，所受內(nèi)力作的功為；第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能增量為,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理有內(nèi)力可以改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能注意對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，則有外力功內(nèi)力功上式表明，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系所有外力與內(nèi)力所作功之和.—質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理—質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理非保守力的功二質(zhì)點(diǎn)系的功能原理可得—質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理—?jiǎng)菽茉隽康呢?fù)值機(jī)械能

上式表明，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能的增量等于外力與非保守內(nèi)力作功之和．—質(zhì)點(diǎn)系的功能原理—質(zhì)點(diǎn)系的功能原理1.為作用于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)上的外力所作功的和，即合外力所作的功；為作用于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)上的內(nèi)力所作功的和；注意：2.功與能量的關(guān)系.功與能量既有聯(lián)系又有區(qū)別，功與能量的變化和轉(zhuǎn)換關(guān)系的過程相聯(lián)系，是能量的變化和轉(zhuǎn)換的量度；能量反映質(zhì)點(diǎn)系在一定狀態(tài)下所具有的作功本領(lǐng)，與質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，而機(jī)械能是與質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（即位置與速度）有關(guān)。三機(jī)械能守恒定律當(dāng)時(shí)，有上式表明，只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變．—機(jī)械能守恒定律—機(jī)械能守恒定律由功能原理可知即守恒定律的意義：討論：在的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化，但動(dòng)勢(shì)能之和不變，即機(jī)械能守恒定律中機(jī)械能是守恒量.質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的動(dòng)勢(shì)能間的相互轉(zhuǎn)化實(shí)際上是通過質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的保守力作功（）實(shí)現(xiàn)的。注意：的幾種可能1）不存在外力和非保守內(nèi)力如自由落體、平拋、與彈簧碰撞運(yùn)動(dòng)等；2）外力和非保守內(nèi)力都不做功如物體在光滑曲面下滑，單擺等；3）外力和非保守內(nèi)力雖然都做功,但它們所作功的代數(shù)和為零。不用討論過程細(xì)節(jié)而對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，是各個(gè)守恒定律的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)。例.一小球在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則小球在運(yùn)動(dòng)過程中：A）機(jī)械能不守恒、動(dòng)量不守恒；B）機(jī)械能守恒、動(dòng)量不守恒；C）機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒；

解：小球在豎直平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)能不變，勢(shì)能改變，所以機(jī)械能不守恒；

小球在運(yùn)動(dòng)過程中，速度方向在改變，所以動(dòng)量不守恒；

例.對(duì)機(jī)械能守恒和動(dòng)量守恒的條件，正確的是：

(1)系統(tǒng)不受外力作用，則動(dòng)量和機(jī)械能必定同時(shí)守恒；

(2)對(duì)一系統(tǒng),若外力作功為零,而內(nèi)力都是保守力,則其機(jī)械能守恒；

(3)對(duì)一系統(tǒng),若外力作功為零,則動(dòng)量和機(jī)械能必定同時(shí)守恒。機(jī)械能守恒動(dòng)量守恒例.一輕彈簧,其一端系在鉛直放置的圓環(huán)的頂點(diǎn)P，另一端系一質(zhì)量為m

的小球,小球穿過圓環(huán)并在環(huán)上運(yùn)動(dòng)(μ=0)．開始球靜止于點(diǎn)A,彈簧處于自然狀態(tài)，其長(zhǎng)為環(huán)半徑R;當(dāng)球運(yùn)動(dòng)到環(huán)的底端點(diǎn)B時(shí)，球?qū)Νh(huán)沒有壓力．求彈簧的勁度系數(shù)k．解：以彈簧、小球和地球?yàn)橐幌到y(tǒng).只有保守內(nèi)力做功系統(tǒng)分析：小球在光滑的圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)，且對(duì)圓環(huán)沒有壓力，只受彈簧彈性力的作用，因此小球由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)B點(diǎn)時(shí)，只有保守內(nèi)力作功。所以系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，B點(diǎn)：取點(diǎn)A為彈性勢(shì)能零點(diǎn)取B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)A點(diǎn)：可得系統(tǒng)機(jī)械能守恒，則有小球在B點(diǎn)的牛頓第二定律的法向方程為由（1）（2）解得取向上為正，則有作業(yè):3-25,3-263-25.質(zhì)量為m，速度為的鋼球，射向質(zhì)量為m，的靶，靶中心孔內(nèi)有一勁度系數(shù)為k的彈簧，靶可在水平面作無摩擦滑動(dòng)。靶最初為靜止?fàn)顟B(tài)，求小球射入靶內(nèi)彈簧后，彈簧的最大壓縮距離.分析：小球射入靶內(nèi)彈簧的過程，是小球剛與彈簧接觸至彈簧被壓縮到最大距離，此時(shí)小球與彈簧為同一速度.小球與靶為一個(gè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)水平方向不受外力，則此方向動(dòng)量守恒.此外系統(tǒng)能量也守恒.作業(yè)3-253-26.質(zhì)量為m的彈丸穿過擺錘后，速率由v減少到v/2.擺錘的質(zhì)量為m