2023年考研數(shù)學(xué)三真題(含答案及解析)

2023)

一、選擇題(1?10小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是最符合

題目要求的.)

⑴已知函數(shù)f(x,y)=ln(y+lxsiny|),

Ml…襁m存在?(B)取葩ZL不存在?

(C)iL\//!均存在.(D)"|.叫均不存在.

ails”a工Jq9yIU.D

(2)函數(shù)/(“)??/rrz的一個(gè)原函數(shù)為

iin(/nv-*).x<0?

(A)F(x)

l(z+Deosl一sinx>0.

jln(/-x)+1?x<Oi

(B)F(z)?

1?x+1)co<sx-sin].M>0.

In(/J+x)?工(0.

(C)F(x)=-

(x+Dsinx+cosx?工〉0.

In(/I+T+X)+1?z<0i

(D)F(z)

(jr+Dsinx4-cosx>

(3)若微分方程y"+ay'+by=0的解在(-1?)上有界，則

(A)a<0,b>0.(B)a>0,b>0.

(C)a=0,b>0.(D)a=0,b<0.

(4)已知＜b4(n=l,2,...).若級(jí)數(shù)〉：a.與￡醐嫩rin娜r即以絕對

一-I-V??]-1

收

斂”的

(A)充分必要條件.(B)充分不必要條件.

(C)必要不充分條件.(D)既不充分也不必要條件.

⑸設(shè)A,B為n階可逆矩陣，E為n階單位矩陣，M*為矩陣M的伴隨矩陣，貝正、"

uOB

八、-B'A'1rl0IA*-A'B'1

(A)(B)

LO1BIA'JLOIAiB,J

(C)pBlA,TA[①葉川歹-ABM

LoIAI0'JLOIBIA,J

22

(6)二次型f(Xi,X2,X3)=(X1+X2)+(Xi+x3)-4(X2-X3/的規(guī)范形為

(A)yi+y2.(B)yl-y2.

(C)yi+y2-4y3.(D)y2+y2-y).

線性表示，也可由

3][-1

we⑻yo；uee

(8)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則E(|X-EX|)=

(A)4.⑻,(C)4.(D)L

⑼設(shè)Xi,X2,…,X。為來自總體N(u,02)的簡單隨機(jī)樣本，匕,丫2,…,Y為來自總體N(u2,

2。2)的簡單隨機(jī)樣本，且兩樣本相互獨(dú)立.記x=ijjx9p-工冬匕回--L|2(X.

S?-工(匕一？)，，M

(A)g?F(u.m).~~F(?-l<w-1)?

?督?F(ii.m).(D)魯?

(10)設(shè)X1'為來自總體N(M)的簡單隨機(jī)樣本，其中O(o>0)是未知參數(shù)記=取1

x2|,若E(G)=Q,則@=

(a)f(B)孽(c岫.(D)d2兀

二、填空題(11~16小懣，每小題5分，共30分.)

(11)lintz1(2—min}-cos§)=_______.

(12)已知函數(shù)Kxy)滿足(d/G,y)=%竽/(l.l)-f則f(V3,3)=

(13)y上二=

邑⑵”---------

(14)設(shè)某公司在t時(shí)刻的資產(chǎn)為f(t),從0時(shí)刻到t時(shí)刻的平均資產(chǎn)等于零一人假設(shè)f(i)連續(xù)

且f(o)=o,則Nt)=Q

OZ1+X|-It]

(15)已知線性方程組['++4-°'有解，其中a,b為常數(shù)若1

Xl+2xi+OT|=0?

則

?3

(16)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X?B(l,p),Y?B(2,p),pG(0,l),則X+Y與X-Y的

相關(guān)系數(shù)為

三、解答題(17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)

(17)(本題滿分10分)

已知可導(dǎo)函數(shù)y=y(x)滿足aei+y2+y-ln(l+x)cosy+b=0,且y(0)=0,y(0)=0.

(I)求a,b的值；

(1【)判斷*=0是否為y(x)的極值點(diǎn).

(18)(本題滿分12分)

巳知平面區(qū)域D=

1rvl4-z1I

(I)求D的面積：

(II)求D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

(19)(本題滿分12分)

已知平面區(qū)域D={(x,y)|(x-l)2+y2<l),計(jì)算二重積分J|/八9-1,dxdy.

(20)(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)在［-a,a］上具有2階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明：

(I)若f(0>0,則存在gW(-Aa),使得廣⑷—+/(-?>］

(II)若f(x)在(-a,a)內(nèi)取得極值，則存在ne(-a,a),使得，卬I?2I/(?)-/(-?)I

(21)(本題滿分12分)

設(shè)矩陣A滿足：對任意Xi,xz,X3均有A,：=it-J24-J,

1X11IXi-Xi

(I)求A;

(II)求可逆矩陣P與對角矩陣A,使得P」AP二A.

(22)(本題滿分12分)

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為八*)=萬餐p-BVw<+8.令y

(I)求x的分布函數(shù)；

(H)求Y的概率密度：

(III)Y的期望是否存在？

?4

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(三)

一、選擇題：1?10小題，每小題5分，共50分，下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)

卡指定位置.

⑴已知函數(shù)f(x,y)=In(y+|xsinyi,則()

(A)式和在口存在

(B)叫f存在

汪Ln,

?二N“均存在

(D)：1\均不存在

磯一禮“

【答案】(A)

【解析】f(0,D=0,由偏導(dǎo)數(shù)的定義

..m-*um■,fci.siniiitn

因?yàn)棰蹻=3覘生"，所以乳”不存在，

斗山，埠2-/吐="0=g曰=1,所以斗存在.

⑵函數(shù),a)-3T7,xs0的原函數(shù)為()

|(X4>l)COtX,JK>0

(A)F(x)-|M/KT—O

I(x?DCBJT-血x?JTA(J

⑻f(t)=|ln(Vi77-x>>Lx50

(x?-siaKXa0

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(C)F(x)-2疝7+—0

(jr4>l)sinx^c(?x.jr>0

(D)FU).|

|(x4*l)fiin"cm工

【答案】(D)

【解析】當(dāng)xSO時(shí),

j/(xMx=j[=ta(jr+Jl+P)+G

當(dāng)x>0時(shí)，

j/(x)dr-j(x*l)cmxdc-j(x*lWMi>X3(x+l)Mnx-jMaxdi

=(x+l)sinx+cosx+C2

原函數(shù)在(-O,+o)內(nèi)連續(xù)，則在x=0處

limInU+Vl+r^+G=C,I4(x+1)Hnx+co?*+G=1+6

所以C=l+C2,令C2=C,則C=l+C,故

J(jr+l)sinjr-coB"C?Jr>0

結(jié)合選項(xiàng)，令c=o,則f(x)的一個(gè)原函數(shù)為Fa)_]i"/T7+x)+

⑶已知微分方程式y(tǒng)"+ay'+by=O的解在(-0,o)上有界，則()

(A)a<0,b>0(B)a>0,b>0

(C)a=0,b>0(D)a=0,b<0

【答案】(C)

2

【解析】微分方程y'+ay'+by=O的特征方程為X+aX+b=O,

當(dāng)A=a2-4b>0時(shí)，特征方程有兩個(gè)不同的實(shí)根a,3,則a,A至少有一個(gè)

不等于零，

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若C,C2都不為零，則微分方程的解y=Ce+C2e*在(-o,+x)無界；

當(dāng)A=a2-4b=0時(shí)，特征方程有兩個(gè)相同的實(shí)根，<

F2

若QW0,則微分方程的解嚴(yán)Cg2<xe2在Fa,+x)無界；

當(dāng)A=a2-4b<0時(shí)，特征方程的根為，2土業(yè)」「

則通解為約而約

此時(shí)，要使微分方程的解在(T),+x)有界，則a=0,再由△=a2-4b<0,知

⑷已知a4Vb,(n=l,2,...),若級(jí)數(shù)與。均收斂，則“級(jí)數(shù)口絕對

收斂”是“級(jí)數(shù)力,絕對收斂”的()

(A)充分必要條件(B)充分不必要條件

(C)必要不充分條件(D)既不充分也不必要條件

【答案】(A)

?

【解析】山條件知E也-“」)為收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，進(jìn)而絕對收斂；

-■

設(shè)￡也絕對收斂，則由|b|=lb.-a2+a,兇h,-與比較判別法，得

MM*

a,+|a,絕對收斂；

、幾絕對收斂，則由|a,l=|a,-b2+b2|<|b2-與比較判別法，得法a.

a,|+|b,|

絕對收斂.

<5)設(shè)A,B為n階可逆矩陣，E為n階單位矩陣，歌為矩陣M的件限

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(三)

矩陣，則'()

0fl1

(B)僅乂T?"|

I。網(wǎng),

(O(同Qn]伊㈤f

101叱,I0網(wǎng)上J

【答案】(B)

【解析】結(jié)合伴隨矩陣的核心公式，代入(B)計(jì)算知

[oBJIOwrJ'[OI砸8，J

-(T4賈MT就卜wa.

⑹二次型f(Xi叢2附戶的+X戶＜X+X3MX2咒》的規(guī)范形為()

(A)y2+y2(B)y2-y2

(C)y2+y2-4y?(D)y2+y2-y3

【答案】(B)

222+

[解析]由已知f(Xi,x2,x3)=2x-3x-3x+2x,x22xx+8x2x,

則其對應(yīng)的矩陣A1J4

14-3,

4-2-1-1

"一小-143T，(八7Ml)=()4330

m-1TX+：

故選(B)

,1、②(2、(1、

⑺己知向腺2a.-1fi5網(wǎng)-0,若Y既可由a,a2線性

J1圖II

表示，也可由與B,B,線性表示，則丫=()

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,3、

(A)k3.*€?[B)45.*e/f

4JO,

f-f，r

(C)k1.keK⑼k5.keH

2

【答案】(D)

【解析】設(shè)曰的+xiQ2=y;p+y2P2

則xai+x2a2-y;p-y2①=0

rl2-2-f003、

又居卜21-5010-I

口1T70

故(XK2，Y1y2)Y=C(-3,1,-1,1Y,CGR

所以尸-邛+邛2=c(-1,-5,-8)'=-c(1,5,8)^(1,5,8)；keR

⑻設(shè)隨機(jī)變量x服從參數(shù)為1的泊松分布，則E(X-EX|)=())

(N):(B)：(C)1(D)1

【答案】(C)

[Of]法1：由顫矢舊,所以一、卜...，

故，國萬-口卜1片*=0|+￡&-1滔*=*1

--1b<01>'，選(C)

法2:隨機(jī)變量x服從參數(shù)為1泊松分布，即HX山，ijm

期望E(X)=1.

5

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*y(t-l)1-e-4eH-y-r"1三?"?之；」一e"-V-^r*,

09k\與JUKJfc!ftja-H!與*!

=e1+(e-1)e1-(e-1-1)e1=2e1選(C).

(9)設(shè)X-X2…,X,為來自總體N(u,d)的簡單隨機(jī)樣本，丫,丫2…,Ym為來自

總體N(上,2。2)的簡單隨機(jī)樣本，且兩樣本相互獨(dú)立，記亍/

n七

心泠，：==￡(乂-迎、「看工"口則()

(A)(B)-■—AtII-I./W-1)

25;X：

(C)F(H,M)(D)1.fin-l,iw—I)

【答案】(D)

【懶】或……甩的樣板差,必=加國

x,Y……Y,的樣本方差￡

則("心"”.1)力一呼/一2兩個(gè)樣本相互獨(dú)立

tT*2/T*

一(1'U、，

所以7~。、//--=出1-1)選D.

(10)漱自總怫(P,。2)白偷軸械羊本，其中0(。刀)女知

參數(shù)，記。=akx-Xi,若E(o>=o,則a=()

(A)g(B)(

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(CWTT(D)42n

【答案】(A)

【解析】由題可知Xi-X2~N(0,2o2).令Y=Xi%,則Y的概率密度為

fuV-X|)-I，【/二.由E(G)=O,亭故選(加

二、填空題：11?16小題，每小題5分，共30分.

(11)Inn?1?

?9?rr

【答案】|

:12

【解析】limi(2*Jiun-cmS=x2今J-N?WJ)A)?y1

—xx

(12)已知函數(shù)f(x,y)滿足"X,y)=戈9J(M>?J,則

f(43,3)=_______

【答案】g

【解析】由題意可得1.則

J7?V*

-araati-?<,(>)?-arcun-*cty),

yy9

乂因?yàn)?：?"=可得(。戶^由"“)二彳可得一彳

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)O

叩/<X.V)*-OfVUn1.\

v2

故/

n端=——

【答案】

【解析】今s-￡二=">=￡/一門“=￡上一=￡，-

即有s"(x)-s(x)=0,解得s(x)=Ce4-H3ge*.

又由sx(O)=l,s(O)=O有Ci+C2=1,G-C2=0,猴

故t(x)--r',?

(14)設(shè)某公司在r時(shí)刻的資產(chǎn)為f(r),從0時(shí)刻到t時(shí)刻的平均資產(chǎn)等

工犯一假設(shè)f(t)連續(xù)且f(0)=0,則f(t)=_______

于，

【答案】2e,-2r-2

【解析】由題意可得方程：?"J"」''，即i，,.兩邊同時(shí)

t對求導(dǎo)得

fu)=f；()-2t,即fXAf(Q)=21.由一階線性微分方程通解公式有：

fo=b(jzae}+c)

=e(12ne2di+c)

=e[-(2r+2)e*+c]

=Ce'-2t-2.

又由于f(O)=0,則C-2=O,即C=2.故f(I)=2ei-2r-2.

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(H)

(15)已知線性方程組-，-0有解，其中a,b為常數(shù)，若

不?與?嗎三。

叫?如-2

-4,

則kb0

【答案】8

【解析】由已知r(A)=r(A,b)W3<4,故|A,b|二0

IaI0l|Il4I

即|人川?01?l.(Tf4I20?2(-1廣Ial?-l2-24?0,

L：：口。bd\i24t*o

IlaI

故I2"8.

aba

(16)設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且x~B(l.p),Y?B(2.p),Pe

(0,1),則x+y與x-y的相關(guān)系數(shù)為

【答案】T

【解析】因?yàn)閄~B(l.p),所以DX=p(-p).

因?yàn)閅~B(2,p),所以DY=2pd-p).

Cov(X+Y,X-Y)=Cov(X+Y,X)-Cov(X+Y,Y)

=Cov(X,X)+Cov(Y,X)-Cov(X,Y)-Cov(Y,Y)=DX-DY=p(l-p)-2p(l-p)=-p(l-p)

因?yàn)閤與r相互獨(dú)立，所以

D(X+Y)=DX+DY=3p(l-p),D(X-Y)=DX+DY=3p(l-p)

()

故04Covx-?r,x-yi

9

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(三)

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

(17)(本題滿分10分)

已知可導(dǎo)函數(shù)y=y(x)滿足ae4+y2+y-In(l+x)cosy+b=0,且y(0)=

O,y'(O)=O

(I)求a,b的值.

(II)判斷x=0是否為y(x)的極值點(diǎn).

【解析】(1)在題設(shè)方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)得，

or'+,>>-/=0①

14?

將x=0,y=0代入題設(shè)方程得，a+b=0;

將x=0,y=0,y(0)=0代入①式得，a-1=0

綜上：a=l,b=l.

(2)在等式①兩邊再對x求導(dǎo)得，

00

*+2(/)>+2"+八~皿27；，；；尸<7+(“1+*)由“)'-0②

將x=0,y=0,y(0)=0代入②式得，y"(0)=-aT=-2.

由于y(0)=0,y”(O尸-2,故x=0是y(a)的極大值點(diǎn).

(18)(本題滿分12分)

已知平面區(qū)域

IJTVRX2I

(I)求D的面積.

(II)求D繞x軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積.

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(三)

【解析】(1)面積

S■

(2)旋轉(zhuǎn)體體積為

京?產(chǎn)4?(卜占卜4—211TM力5

(19)(本題滿分12分)

已知平面區(qū)域D={(x,y)|(x-1)?+^^1},計(jì)算二重積分

{A/x2+y2-l|dxdy.

【解析】本題目先利用奇偶對稱性化簡，再切割積分區(qū)域，把積分區(qū)

域分為三塊，分別采用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算:

。附+/-啊=2[[附+八啊

=201-“田加+201-“ryMoCjJ/?尸-So

a八以

分別采用極坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算：

jjI-J/?，dor(l-r^r2cos，用"?-一＞"—?；6

ffJ，?y2-Id”=￡d?f"”r("=ggco?，0-2c(?，e.1.=?看

■ii

2023年全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(三)

所以：

jjpjr1+201-Jx，+y1"+2“l(fā)-〃+yZc+20"+y，-

/A4A

=_一

Q

(20)(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)在［-qa］上具有2階連續(xù)倒數(shù)，證明：

(I)奇(x)=0,則#￡(工a)使得/(。=m/((1)+〃7力

(II)若f(x)在(-a,a)內(nèi)取得極值，則存在ne(-a,a),使得

I/⑺I2±l/(a)7(一喇,

【制】(1)證明：/(x)H/(0)+/,(0)x+冬/?770)1+空/.吩f0與迂間,

期/(4)?八以+^^，'.0<%<a①

/H八0)(-。)+^^。1<小<0②

①?②得?八7)+/'(%)］③

又f(a)在［及小上連續(xù)，則必有最大值M與最小值m,即

,,

m<f(n)<M;m<f(n2)WM;從而所w，("')*"("3M

2

由介值定理得：存在8e［zn］指(工a),有W；〃％?)=門？,代入③

得：

n

⑵證明：設(shè)f(a)在X%W(-aa)取極值，且f(x)在x=x可導(dǎo)，貝!J僅o尸0.

202昨全國碩士研究生招生考試數(shù)學(xué)(三)

/(*—+八4)("4)+=〃3與^(*-4。價(jià)i徜此間，

則/(-<0?〃4)?與&p-A)'.r<h<0

/(a)=〃3-%)二。＜“

從而"⑷?"7|=的?4)*/?仇)?扣+%?！?

又|f(x)連續(xù),設(shè)M=max曲x)l｝「(x2)，則

|/(?)-/(-?)(.“(/?%")

又治6(工a),則仃(a)-f(-a)!^M(a2+片)^2Ma2,則

“Ji"八,.i|,即存在n=y;或f/-照),有

|/'(獻(xiàn)z1^rU⑷?/(~0?

Zu

(21)(本題滿分12分)

設(shè)矩陣A滿足對任意均有A,-2一.1

XlK263II.>IJL

(I)求A.

(II)求可逆轉(zhuǎn)矩陣P與對角矩陣A使得p-AP=A