矩陣論矩陣的分解

關(guān)于矩陣論矩陣的分解矩陣分解的概述矩陣的分解：A=A1+A2+…+Ak矩陣的和A=A1A2

…Am矩陣的乘積矩陣分解的原則與意義：實(shí)際應(yīng)用的需要理論上的需要計(jì)算上的需要顯示原矩陣的某些特性矩陣化簡的方法與矩陣技術(shù)主要技巧：各種標(biāo)準(zhǔn)形的理論和計(jì)算方法矩陣的分塊第2頁,共15頁，2024年2月25日，星期天§3.1常見的矩陣標(biāo)準(zhǔn)形與分解常見的標(biāo)準(zhǔn)形等價標(biāo)準(zhǔn)形相似標(biāo)準(zhǔn)形合同標(biāo)準(zhǔn)形本節(jié)分解：三角分解滿秩分解可對角化矩陣的譜分解AT=A相似標(biāo)準(zhǔn)形等價標(biāo)準(zhǔn)形第3頁,共15頁，2024年2月25日，星期天一、矩陣的三角分解（triangulardecomposition)方陣的LU和LDV分解（P.61）

LU分解：AFnn，有下三角形矩陣L，上三角形矩陣U

，使得A=LU。LDV分解：AFnn，L、V分別是主對角線元素為1的下三角形和上三角形矩陣，D為對角矩陣，使得A=LDV。已知的方法：Gauss-消元法例題1（P.61eg1）設(shè)

求A的LU和LDV分解。結(jié)論：如果矩陣A能用兩行互換以外的初等行變換化為階梯形，則A有LU分解。第4頁,共15頁，2024年2月25日，星期天三角分解的存在性和惟一性定理3.1

（P.62）

：矩陣的k階主子式：取矩陣的前k行、前k列得到的行列式，k=1，2，…，n。定理:AFnn有惟一LDV分解的充要條件是A的順序主子式Ak非零，k=1，2，…，n-1。

討論（1）LDV分解的存在

LU分解存在（2）矩陣可逆與順序主子式非零的關(guān)系定理3.2（P.64）設(shè)矩陣AFnn

，rank（A）=k（

n），如果A的k階順序主子式大于0，則

A有LU分解。討論：LDV分解與LU分解的關(guān)系例題2

（P.65

eg2）

LU分解的應(yīng)用舉例：求解線性方程組AX=b第5頁,共15頁，2024年2月25日，星期天二、矩陣的滿秩分解定義3.2

（P.66

）對秩為r的矩陣A

Fm

n，如果存在秩為r的矩陣B

Fm

r，C

Fr

n，則A=BC為A的滿秩分解。例題2（P.69，eg5）列滿秩行滿秩定理3.2：任何非零矩陣A

Fm

n都有滿秩分解。滿秩分解的求法：方法1：方法2例題1（P.68，eg4）方法3例題3（P.70，eg6）?方法建立的思想?方法實(shí)現(xiàn)的途徑第6頁,共15頁，2024年2月25日，星期天三、可對角化矩陣的譜分解將方陣分解成用譜加權(quán)的矩陣和譜：設(shè)A

Fn

n，則A的譜={

1，2，，s}。，P具性質(zhì)：1.可對角矩陣的譜分解分解分析：分解結(jié)果：冪等矩陣意義：可對角化矩陣可以分解成以譜加權(quán)的冪等矩陣的加權(quán)和第7頁,共15頁，2024年2月25日，星期天2、矩陣可以對角化的一個充要條件

定理3.5（P.73

）矩陣A可以相似對角化當(dāng)且僅當(dāng)矩陣A有譜分解，滿足條件：充分性的證明：在A有譜分解時Cn=V1

V2

Vn第8頁,共15頁，2024年2月25日，星期天3.冪等矩陣的性質(zhì)

定理3.4（P.72）P

Fn

n，P2=P，則矩陣PH和矩陣（I–P）仍然是冪等矩陣。P的譜{0，1}，P可相似于對角形。

Fn=N（P）

R（P）N（P）=V=0，R（P）=V

=1

P和（I–P）的關(guān)系N（I–P）=R（P），R（I–P）=N（P）Hermite矩陣的譜分解定理3.6（P.73）設(shè)A是秩為k的半正定的Hermite

矩陣，則A可以分解為下列半正定矩陣的和。A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH第9頁,共15頁，2024年2月25日，星期天§3.2Schur分解和正規(guī)矩陣

已知：歐氏空間中的對稱矩陣A可以正交相似于對角形。討論：一般方陣A，在什么條件下可以酉相似于對角矩陣？在內(nèi)積空間中討論問題，涉及：空間Cn、Cn

n，酉矩陣U，UHU=I，U–1=UH酉相似：UHAU=J

U–1AU=J相似關(guān)系重點(diǎn)：理論結(jié)果列向量是空間Cn中的標(biāo)準(zhǔn)正交基第10頁,共15頁，2024年2月25日，星期天一、Schur分解1、可逆矩陣的UR分解

定理3.7（P.74）A

Cn

n為可逆矩陣，則存在酉矩陣U和主對角線上元素皆正的上三角矩陣R，使得A=UR。（稱A=UR為矩陣A的酉分解）證明：源于Schmidt正交化方法（P.18）例題1求矩陣A的UR分解，其中定理3.8（P.76）：設(shè)矩陣A

Cm

n是列滿秩的矩陣，則矩陣A可以分解為A=QR，其中Q

Cm

n的列向量是標(biāo)準(zhǔn)正交的向量組，R

Cn

n是主對角線上元素為正數(shù)的上三角形矩陣。QR分解第11頁,共15頁，2024年2月25日，星期天2、Schur分解定理3.7（P.74

）對矩陣A

Cn

n，存在酉矩陣U和上三角矩陣T，使得

UHAU=T=證明要點(diǎn)：A=PJAP–1，P=URA=PJAP–1=U（RJR–1）UH

=UTUH。第12頁,共15頁，2024年2月25日，星期天二、正規(guī)矩陣（NormalMatrices）1、定義3.3（P.77

）A是正規(guī)矩陣

AHA=AAH。常見的正規(guī)矩陣：對角矩陣對稱和反對稱矩陣：AT=A，AT=–A。Hermite矩陣和反Hermite矩陣：AH=A，AH=–A正交矩陣和酉矩陣：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。例題1（P.78，eg10）設(shè)A為正規(guī)矩陣，B酉相似于A，證明B也是正規(guī)矩陣。正規(guī)是酉相似的不變性質(zhì)例題2、

A

Fm

n，矩陣AHA和矩陣AAH是正規(guī)矩陣。第13頁,共15頁，2024年2月25日，星期天2、正規(guī)矩陣的基本特性定理3.10

（P.78

）

：A

Cn

n正規(guī)

A酉相似于對角形。推論：正規(guī)A