新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸類與強(qiáng)化測(cè)試（新高考專用） 數(shù)列的綜合應(yīng)用2

專題40數(shù)列的綜合應(yīng)用

知考綱要求

識(shí)

梳

方法技巧

理

題題型一：數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

型題型二：等差、等比數(shù)列的綜合

歸題型三：數(shù)列與其他知識(shí)的交匯

類

訓(xùn)練一：

培

訓(xùn)練二：

優(yōu)

訓(xùn)練三：

訓(xùn)

練訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)單選題：共8題

化多選題：共4題

測(cè)填空題：共4題

試解答題：共6題

一、【知識(shí)梳理】

【考綱要求】

1.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，會(huì)解決等差、等比數(shù)列的綜合問題.

2.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.

【方法技巧】

1.數(shù)列應(yīng)用問題常見模型

（1）等差模型：后一個(gè)量比前一個(gè)量增加（或減少）的是同一個(gè)固定值.

（2）等比模型：后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是同一個(gè)固定的非零常數(shù).

（3）遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，那么應(yīng)考慮a“與斯

+1（或者相鄰三項(xiàng)）之間的遞推關(guān)系，或者S“與S”+1（或者相鄰三項(xiàng)）之間的遞推關(guān)系.

2.對(duì)等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系.數(shù)列的求和主要是等差、等比

數(shù)列的求和及裂項(xiàng)相消法求和與錯(cuò)位相減法求和，本題中利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，然后利用m=1,分0

證明不等式成立.另外本題在探求｛%｝與｛c,｝的通項(xiàng)公式時(shí)，考查累加、累乘兩種基本方法.

3.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)或前N項(xiàng)和，

再利用數(shù)列或數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進(jìn)行不等式的證明.

二、【題型歸類】

【題型一】數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

【典例1】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板（稱為天心

石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后

一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形

石板(不含天心石)()

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

【典例2】某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20

dmX12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX

6dm兩種規(guī)格的圖形,它們的面積之和Si=240dm2,對(duì)折2次共可以得到5dm義12dm,10dmX6dm,

20dmX3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和$2=180do?,以此類推，則對(duì)折4次共可以得到不同規(guī)格

圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折〃次，那么錯(cuò)誤"=dm，

【典例3】《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、

立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為尺，

最后三個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為尺，今年3月20日為春分時(shí)節(jié)，其日影長(zhǎng)為()

A.尺B.尺

C.尺D.尺

【題型二】等差、等比數(shù)列的綜合

【典例1］設(shè)｛為｝是等差數(shù)列，且“i=ln2,a2+a3=51n2.

(1)求他”｝的通項(xiàng)公式；

(2)求em+ea2H-----Fea,,.

【典例2】設(shè)S”為數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和,已知他=3,a?+i=2a?+l.

(1)證明：｛a,,+1｝為等比數(shù)列；

(2)求伍,｝的通項(xiàng)公式，并判斷〃，a?,S.是否成等差數(shù)列？說明理由.

【典例3】已知等差數(shù)列｛?！埃偷缺葦?shù)列出“｝滿足ai=2,初=4,贏=21og26“，”WN*.

(1)求數(shù)列｛“〃｝,｛兒｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝中不在數(shù)列｛兒｝中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列｛以｝,記數(shù)列｛c“｝的前“項(xiàng)和為S”，求Sioo.

【題型三】數(shù)列與其他知識(shí)的交匯

【典例1］已知數(shù)列｛a.｝是公比不等于1的正項(xiàng)等比數(shù)列，且lgai+lg02021=0)若函數(shù)Hx)=

7，"2，則火。1)+/(。2)"1-----MS021)=()

1十X，

A.2020B.4040

C.2021D.4042

【典例2］已知S,是數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和>ai=11且V〃GN*>2S”=(〃+1>?'h?=

［Cln冗ICln冗］

■cos------十sin------1

貝22J-貝數(shù)歹I」｛九｝的前2020項(xiàng)之和72020=.

]

【典例3]設(shè)數(shù)列｛劣｝的通項(xiàng)公式為服=2〃一1，記數(shù)列的前〃項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意的

“dN*，不等式4T“Va2-q恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

【訓(xùn)練一】已知數(shù)列｛斯｝滿足。"+即=即+”(隕,〃WN*)且ai=l，若因表示不超過x的最大整

ir^2n+3^l

數(shù)，則數(shù)列1丁j的前10項(xiàng)和為()

.?113

A.12B.

5

C.24D.40

【訓(xùn)練二】(多選)已知在△Z8C中，4，囪分別是邊胡，圓的中點(diǎn)，/2,&分別是線段NM，

B\B的中點(diǎn)，…，4，&分別是線段4一/，8一i8(〃eN*，”>1)的中點(diǎn)，設(shè)數(shù)列｛為｝，｛為｝滿

足而區(qū)=斯昂+6,局(〃CN*)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()

A.數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，數(shù)列》“｝是遞減數(shù)列

B.數(shù)列｛為+兒｝是等比數(shù)列

C.數(shù)歹!J浮｝("GN*，”>1)既有最小值,又有最大值

bn

D.若在厶/臺(tái)。中，C=90。，CA=CB，則瓦褊最小時(shí)，斯+兒=g

【訓(xùn)練三】某地區(qū)2018年人口總數(shù)為45萬.實(shí)施“二孩”政策后，專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：

從2019年開始到2028年，每年人口總數(shù)比上一年增加萬人，從2029年開始到2038年，每年人口總數(shù)為

上一年的99%.

(1)求實(shí)施“二孩”政策后第“年的人口總數(shù)飆(單位：萬人)的表達(dá)式(注：2019年為第一年)；

(2)若“二孩”政策實(shí)施后的2019年到2038年人口平均值超過49萬，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實(shí)施，問到

2038年結(jié)束后是否需要調(diào)整政策？(參考數(shù)據(jù)：|。心)

【訓(xùn)練四】己知在等差數(shù)列｛斯｝中，。2=5,。4+期=22,在數(shù)列｛b｝中，6尸3,瓦=2%_1+1(〃22).

(1)分別求數(shù)列｛&｝,｛兒｝的通項(xiàng)公式；

(2)定義x=[x]+(x),[幻是x的整數(shù)部分，(x)是x的小數(shù)部分，且0<(x)<l.記數(shù)列匕,｝滿足0,=島力，求

數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和.

【訓(xùn)練五】由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列｛?,,｝滿足。3=5,0敗=2磯

(1)求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列》“｝的通項(xiàng)公式為兒=2",將數(shù)列｛?！埃?｛?。乃许?xiàng)按照“當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，兒放在前面；當(dāng)〃為

偶數(shù)時(shí)，放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個(gè)新數(shù)列｛c0｝,bl,m，6,岳，b3,G，。4,ba,…,

求數(shù)列｛以｝的前(4〃+3)項(xiàng)和T4n+3.

【訓(xùn)練六】已知等差數(shù)列｛飆｝的公差為2,前〃項(xiàng)和為S”且S，S2,S4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式；

(2)令瓦=(—求數(shù)列｛兒｝的前n項(xiàng)和T,,.

四、【強(qiáng)化測(cè)試】

【單選題】

1.等比數(shù)列｛”“｝中，a5,田是函數(shù)/(x)=N—4x+3的兩個(gè)零點(diǎn)，則?砂等于()

A.-3B.3C.-4D.4

2.已知等差數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S,”公差為一2,且“7是43與“9的等比中項(xiàng)，則So的值為()

A.-110B.-90C.90D.110

3.若等差數(shù)列｛?,｝的公差1W0且G，43,a7成等比數(shù)列，則絲等于()

a\

321

A.-B.-C.~D.2

232

4.某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)

和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室

比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室

改建費(fèi)用不能超過1700萬元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要()

A.3233萬元B.4706萬元

C.4709萬元D.4808萬元

5.某食品加工廠2019年獲利20萬元，經(jīng)調(diào)整食品結(jié)構(gòu)，開發(fā)新產(chǎn)品，計(jì)劃從2020年開始每年比上一年

獲利增加20%,則從()年開始這家加工廠年獲利超過60萬元，已知坨2g0,lg3?=1()

A.2024年B.2025年

C.2026年D.2027年

6.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入''兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

即尸(1)=F(2)=1,F(〃)=尸(〃-1)+尸(〃-2)(〃》3,"GN*).此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)

用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛&｝,則數(shù)列｛斯｝的前2019項(xiàng)的和為()

A.672B.673

C.1346D.2019

7.已知等差數(shù)列｛斯｝的公差為一2,前〃項(xiàng)和為若及，四為某三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形有一個(gè)

內(nèi)角為120。，則S,的最大值為()

A.5B.11

C.20D.25

8.定義：若數(shù)列｛%｝對(duì)任意的正整數(shù)〃,都有|?！?1|+同=的為常數(shù)）,則稱|叫為“絕對(duì)和數(shù)列”，d叫做

“絕對(duì)公和".已知''絕對(duì)和數(shù)列”｛斯｝中，ai=2,絕對(duì)公和為3,則其前2019項(xiàng)的和S2019的最小值為

（）

A.-2019B.-3010

C.-3025D.-3027

【多選題】

9.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.“三角

垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛&｝,則（）

A.44=12

B.〃"+1=4"+〃+1

C.<7IOO=5050

D.2a”+i1—

10.已知數(shù)列｛斯｝是公差不為0的等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為滿足〃1+5俏=58,下列選項(xiàng)正確的有（）

A.aio—0B.Sio最小

C.Si=Si2D.&o=O

11.若數(shù)列｛?！埃凉M足：對(duì)任意的“6N*且〃23,總存在i,JGN*,使得%=出+次,壬/,Y”，尸〃），則稱

數(shù)列｛斯｝是“7數(shù)列”.則下列數(shù)列是“7數(shù)歹『’的為（）

A.｛2〃｝B.｛n2｝

c.｛3”D.Il2JJ

12.一個(gè)彈性小球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回原來的高度的2再落下.設(shè)它第〃次著地時(shí)，

3

經(jīng)過的總路程記為S”則當(dāng)“22時(shí)，下面說法正確的是（）

A.5n<500B.S“W500

C.S“的最小值為等D.S.的最大值為400

【填空題】

13.若數(shù)列｛說滿足」一一-=0，則稱｛嚴(yán)｝為“夢(mèng)想數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)歹取：｝為“夢(mèng)想數(shù)列”，

斯+1Unbn

且61+62+63=1，則兒+6+兒=.

14.已知在數(shù)列｛%中，斯+產(chǎn)2斯一1"=2，設(shè)其前〃項(xiàng)和為S,，若對(duì)任意的〃￡N*，⑸+1

一〃）42〃一3恒成立，則k的最小值為

15.若數(shù)列｛呢｝滿足42—卜1<的一32V…<4〃一，則稱數(shù)列｛?！ǎ秊椤安畎脒f增”數(shù)列.若

數(shù)列｛斯｝為“差半遞增”數(shù)列，且其通項(xiàng)z與前〃項(xiàng)和S7滿足S7=2z+2，-l（〃￡N*）,則實(shí)

數(shù)/的取值范圍是.

16.已知等差數(shù)列｛a.｝的首項(xiàng)m及公差d都是實(shí)數(shù)，且滿足學(xué)+g+2=0,則d的取值范圍是.

【解答題】

17.已知S〃為等差數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，且〃3=3,S7=14.

⑴求?！ê汀辏?/p>

(2)若bn=2%,求｛瓦｝的前n項(xiàng)和Tn.

18.已知如=a〃+a"2爐_|----\~abn