高一數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義 函數(shù)模型的應(yīng)用（解析版）

函數(shù)模型的應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一、幾種常見的函數(shù)模型

1、一次函數(shù)模型：y=kx+b（k,〃為常數(shù)，k≠0'）

2、二次函數(shù)模型：y=ax1+bx+c（4,b,c為常數(shù)，a≠0）

3、指數(shù)函數(shù)模型：y=ba'+c（o,A,C為常數(shù)，b≠0,α>0且4κl）

4、對(duì)數(shù)函數(shù)模型：y="zk>gι,x+"（"z,","為常數(shù)，m≠O,a>0ELa≠↑）

5、幕函數(shù)模型：y=ax"+b（",Z?為常數(shù)，a≠0）

,八u∏pw,■皿[ax+b,x<m

6、分段函數(shù)模t型：y=<

[cx+a,x≥m

知識(shí)點(diǎn)二、解答應(yīng)用問題的基本思想和步驟

1、解應(yīng)用題的基本思想

2、解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟

求解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)一般按以下幾步進(jìn)行：

第一步：審題

弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型.

第二步：建模

在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將問題的非數(shù)學(xué)語言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然

后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型.這時(shí)，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題的要求.

第三步：求模

運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識(shí)進(jìn)行推理、運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果.

第四步：還原

把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題作出解答，對(duì)于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評(píng)判，使其符合實(shí)

際背景.

上述四步可概括為以下流程：

實(shí)際問題（文字語言）=數(shù)學(xué)問題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）=建模（數(shù)學(xué)語言）=求模（求解數(shù)學(xué)

問題）=反饋（還原成實(shí)際問題的解答）.

知識(shí)點(diǎn)三、解答函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)注意的問題

首先，要認(rèn)真閱讀理解材料.應(yīng)用題所用的數(shù)學(xué)語言多為“文字語言、符號(hào)語言、圖形語言”并用，往

往篇幅較長，立意有創(chuàng)新脫俗之感.閱讀理解材料要達(dá)到的目標(biāo)是讀懂題目所敘述的實(shí)際問題的意義，領(lǐng)

悟其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，接受題目所約定的臨時(shí)性定義，理解題目中的量與量的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，確立解

體思路和下一步的努力方向，對(duì)于有些數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜、較模糊的問題，可以借助畫圖和列表來理清它.

其次，建立函數(shù)關(guān)系.根據(jù)前面審題及分析，把實(shí)際問題“用字母符號(hào)、關(guān)系符號(hào)''表達(dá)出來，建立函

數(shù)關(guān)系.

其中，認(rèn)真閱讀理解材料是建立函數(shù)模型的關(guān)鍵.在閱讀這一過程中應(yīng)像解答語文和外語中的閱讀問

題一樣，有“泛讀"與''精讀”之分.這是因?yàn)橐话愕膽?yīng)用問題，一方面為了描述的問題與客觀實(shí)際盡可能地

相吻合，就必須用一定的篇幅描述其中的情境；另一方面有時(shí)為了思想教育方面的需要，也要用一些非數(shù)

量關(guān)系的語言來敘述，而我們解決問題所關(guān)心的東西是數(shù)量關(guān)系，因此對(duì)那些敘述的部分只需要“泛讀”即

可.反過來，對(duì)那些刻畫數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系等與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題的部分，則應(yīng)“精讀”，一遍

不行再來一遍，直到透徹地理解為止，此時(shí)切忌草率.

【題型歸納目錄】

題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用

題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用

題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題

題型五：根據(jù)實(shí)際問題的增長率選擇合適的函數(shù)模型

【典型例題】

題型一：一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的應(yīng)用

例L（2022?江蘇?宿遷中學(xué)高一期中）黨的十九大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，發(fā)展混合所有制

經(jīng)濟(jì)，培育具有全球競爭力的世界一流企業(yè)，這為我們深入推進(jìn)公司改革發(fā)展指明了方向，提供了根本遵

循.某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預(yù)測(cè)，A

產(chǎn)品的利潤與投資成正比，且當(dāng)投資2萬元時(shí)，利潤為1萬元；8產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，

且當(dāng)投資4萬元時(shí)，利潤為4萬元.

（1）分別求出A,8兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；

（2）該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入到A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才

能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？

【解析】（1）設(shè)投資為X萬元，

則A產(chǎn)品的利潤yλ=kx,8產(chǎn)品的利潤yβ=ty∕x,

由題意得，T=2k,4="r，解得A=g,1=2,

所以A產(chǎn)品的利潤以=g*（x2。），B產(chǎn)品的利潤為=24（x≥θ）.

（2）設(shè)企業(yè)利潤為W,分配給8產(chǎn)品的投資為X萬元，則分配給4產(chǎn)品的投資為°。一X）萬元，

所以卬=⑦+%=；（Io-X）+2?=-g（?-2）+7（θ≤x≤lθ）,

故當(dāng)石=2,即XE時(shí)，企業(yè)利潤W取得最大值7,

所以這10萬元資金中有6萬元投資給A產(chǎn)品，4萬元投資給5產(chǎn)品，可使企業(yè)獲得最大利潤，且最大利潤

為7萬元.

例2.（2022.貴州貴陽.高一階段練習(xí)）某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬本，據(jù)市場調(diào)

查，雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能減少2000本，若提價(jià)后定價(jià)為X（單位：元），銷售總收入），

（單位：萬元）

（1）提價(jià)后如何定價(jià)才能使銷售總收入最大？銷售總收入最大值是多少？（精確到0.1）

（2）如何定價(jià)才能使提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬元？

【解析】（1）由題意可得

y=（8-^^^?0.2卜=-2X2+13X,（X≈≥2.5）

當(dāng)x===3?3（元）時(shí)，ynwι=萼=211（萬元）.

4o

即定價(jià)為每本3.3元可使銷售總收入最大，銷售總收入最大值約為21.1萬元.

（2）由題意可得

-2X2+13X>20=>2X2-13x+20<O

^>2.5≤x<4

所以，當(dāng)每本雜志的定價(jià)不低于2.5元且不超過4元時(shí)，提價(jià)后的銷售總收入不低于20萬元.

例3.（2022?湖北?孝感魯迅高級(jí)中學(xué)有限公司高一階段練習(xí)）某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)得到下

面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為2.8萬元，

并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）.銷售收入R（X）（萬元）滿足：

—O4γ~+42τC）VXV5XG^N

R（X）=,假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，

r

Il,x>5rxeN

請(qǐng)完成下列問題.

⑴寫出利潤函數(shù)），=f（x）的解析式（利潤=銷售收入-總成本）；

（2）工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使利潤最大，最大利潤為多少?

【解析】（1）由題意可得：G（X）=X+2.8,

~[-0.4Λ?2÷4.2X,0<?<5,XeN

R（X）=V,

ll,x>5rxeN

-OAx2+3.2X-2.8,0<x<5reN

.?.∕(x)=R(x)-G(x)=<r

8.2-xrr>5vreN

（2）當(dāng)x>5時(shí)，/（X）單調(diào)遞減,

.?.∕(x)<∕(5)=3.2(萬元)，

當(dāng)0≤x≤5時(shí)，函數(shù)/(x)=-0.4(x-4r+3.6,

當(dāng)x=4時(shí)，/(x)有最大值為3.6(萬元)，

綜上：當(dāng)工廠生產(chǎn)4百臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使贏利最大為3.6萬元.

變式1.(2022?寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí))某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量X件(XeN*)

與貨價(jià)P元/件之間的關(guān)系為P=160-2X,生產(chǎn)X件所需成本為C=500+30x元.

(1)若該廠某日的銷貨量是30件，求該廠當(dāng)日的獲利是多少元？

(2)若該廠日獲利不少于1300元，求該廠日產(chǎn)量的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)x=30時(shí)，〃和領(lǐng)以2?,C㈱Φ4<3O?,

所以該廠當(dāng)日的獲利是30()714∞=16(X)(元)；

(2)設(shè)該廠日獲利為九則由題意得

>,=(160-2x)x-(500+30X)=-2x1+130x-500,

由y21300,得-2√+I30X-50021300,

所以/_65X+900M0,即(x—20)(x-45)M0,

解得204x<45,

所以當(dāng)日產(chǎn)量在20到45件之間(含20件和45件)時(shí)，日獲利不少于1300元.

變式2.(2022?重慶?西南大學(xué)附中高一階段練習(xí))2022年8月9日，美國總統(tǒng)拜登簽署《2022年芯片與科

學(xué)法案》.對(duì)中國的半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)來說，短期內(nèi)可能會(huì)受到“芯片法案''負(fù)面影響，但它不是決定性的，因?yàn)樗?/p>

將激發(fā)中國自主創(chuàng)新的更強(qiáng)爆發(fā)力和持久動(dòng)力.某企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年人均投入。萬元(4>0),

現(xiàn)為加大對(duì)研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員X名(XeN

且100≤x≤275),調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加(4x)%,技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為“(〃Lll)萬

元.

(1)若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人

數(shù)最少為多少人？

(2)為了激勵(lì)研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時(shí)滿足以下兩個(gè)

條件：①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入；②技術(shù)人員的年人均投入始終不減少.請(qǐng)

問是否存在這樣的實(shí)數(shù)用，滿足以上兩個(gè)條件，若存在，求出加的范圍；若不存在，說明理由.

【解析】(1)依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入為口+(4x)%]“萬元，

則(400-x)[1+(4x)%]α>400?,(?>0),整理得0.04√-15x≤0.

解得OVXM375,

因?yàn)閄eN且100≤x4275,所以IooMX4275,故125≤400-x≤300,

所以要使這(400-x)名研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，調(diào)整后的研發(fā)人員

的人數(shù)最少為125人.

(400-x)[l+(4X)%1Λ≥Λ^m-----?a

(2)由條件①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入,得I25>

上式兩邊同除以利得(——4001V1+X—A≥A72Zx--,整理得加≤4竺00"+Y9+15；

?XJ?25J25X25

由條件②由技術(shù)人員年人均投入不減少，得“("2-∣∣)na,解得m≥∣∣+l;

假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)機(jī)，使得技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，滿足以上兩個(gè)條件，

即∣∣+l≤m≤也+點(diǎn)+15(100≤x≤275)恒成立,

..,.400

因?yàn)椤?

X

當(dāng)且僅當(dāng)4"020=白X，即X=Ioo時(shí)等號(hào)成立，所以機(jī)≤23,

X25

9χ

又因?yàn)镮ooVX≤275,當(dāng)尤=275時(shí)，石+1取得最大值23,所以m≥23,

所以23≤w≤23,即加=23,

即存在這樣的m滿足條件，其范圍為帆G{23}.

【方法技巧與總結(jié)】

1、一次函數(shù)模型的應(yīng)用

利用一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式如+b≥o(或≤o)?解答時(shí)，注意系數(shù)”的正負(fù)，也可

以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值.

2、二次函數(shù)模型的應(yīng)用

構(gòu)建二次函數(shù)模型解決最優(yōu)問題時(shí)，可以利用配方法、判別式法、換元法、討論函數(shù)的單調(diào)性等方法

求最值，也可以根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與函數(shù)定義域的對(duì)應(yīng)區(qū)間之間的位置關(guān)系討論求解，但一定要注意

自變量的取值范圍.

題型二：分段函數(shù)模型的應(yīng)用

例4.(2022?江蘇省灌云高級(jí)中學(xué)高一期末)我國某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的平板電腦，

并從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測(cè)算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬元，每生產(chǎn)X(千臺(tái))電

ax2+100x+1000,0<x<40,

腦需要另投成本7(x)萬元，且T(X)="，IOOoO力“，八另外每臺(tái)平板電腦售價(jià)為0.6萬元，假設(shè)每

60Ix+--------745(U240,

X

年生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺(tái)平板電腦，企業(yè)獲得年利潤為1650萬元.

(1)求該企業(yè)獲得年利潤W(X)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量X(千臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤最大?并求最大年利潤.

【解析Xl)IoOOo臺(tái)=10千臺(tái),則7(1°)T00"+2000,根據(jù)題意得：0?6xl0000-IOoa-2000-1350=165°,

解得a=l°.

當(dāng)0<x<40時(shí)，W(x)=0.6X1000Λ-1350-10%2-100X-1000=-1Ox2+500%-2350,

當(dāng)x≥40時(shí),

W(x)=O.6×IO(X)x-135O-6Olx-^^+745O=-x-^^+61OO,

XX

-1Ox2+5OOx-2350,OaV40

綜上所述Wa）=IOOOO“、八一八

-X----------+61OOi340

X

(2)當(dāng)0<xv40時(shí)，W(X)=-IoR2+500x-2350=—10(戈一25產(chǎn)+3900

當(dāng)X=25時(shí)，W(X)取得最大值W(X)max=3900；

當(dāng)x≥4()時(shí),

IOOOO

W(X)=-X-+6100=900,

X

當(dāng)且僅當(dāng)X=IoO時(shí)，W（X）a=5900

因?yàn)?900>3900,

故當(dāng)年產(chǎn)量為100千臺(tái)時(shí),該企業(yè)所獲年利潤最大,最大年利潤為5900萬元.

例5.（2022.甘肅.高臺(tái)縣第一中學(xué)高一期中）某公司為使產(chǎn)品能在市場有更大的份額占比，制定了一個(gè)激

勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案，當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時(shí)按銷售利潤的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，當(dāng)銷售利潤超過10萬

元時(shí)，前10萬元按銷售利潤的15%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，若超出部分為A萬元，則超出部分按21og?A進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì).記

獎(jiǎng)金為》（單位：萬元），銷售利潤為X（單位：萬元）.

（1）寫出獎(jiǎng)金y關(guān)于銷售利潤X的關(guān)系式；

（2）如果某業(yè)務(wù)員要得到7.5萬元的獎(jiǎng)金，那么他的銷售利潤是多少萬元？

【解析】（1）由題意知當(dāng)°MχMio時(shí),y=o」5x,

當(dāng)x>10時(shí)，γ=1.5+21og2（x-10）,

所以Ijl.5+21og2（x7θ）,x>10:

⑵由題意Q1°,則L5+21og2（x-10）=7.5,

所以log?（x-10）=3,解得χ=18,

所以該業(yè)務(wù)員的銷售利潤為18萬元時(shí)，才可獲得7.5萬元獎(jiǎng)金.

例6.（2022?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）濟(jì)南市地鐵項(xiàng)目正在加火如荼的進(jìn)行中，通車后將給市民出

行帶來便利，已知某條線路通車后，列車的發(fā)車時(shí)間間隔r（單位：分鐘）滿足2≤r≤20,經(jīng)市場調(diào)研測(cè)

算，列車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔f相關(guān)，當(dāng)10≤f≤20時(shí)列車為滿載狀態(tài)，載客量為500人，當(dāng)2≤f<l（）時(shí)，

載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與（1。-。的平方成正比，且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人，記列

車載客量為PQ）.

（1）求PQ）的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí),列車的載客量；

（2）若該線路每分鐘的凈收益為Q（r）=8P（/）；26、6-60（元），問當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)?，該線路每分鐘

的凈收益最大，并求出最大值.

[解析](1)由題設(shè)，當(dāng)2≤f<10時(shí)，令pQ)=500T(10τ)?

又發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為372人,

2

Λjp(2)=500-?(10-2)=372,解得&=2.

300+40f-2∕2,2<r<10

：.P(t)=

500,10<r<20

故，=5時(shí)，P⑸=500-2x(10-5)2=450,

所以當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，列車的載客量為450人.

260-16r-竿,2<∕<10

QQ)=

1344

-——60,10</<20

(2)由(1)知:

：2<r<10時(shí)，Q(t)≤260-2,16:?學(xué)=132當(dāng)且僅當(dāng)f=4等號(hào)成立,

Λ2≤r<10±β(0max=Q(4)=132,

而10≤Y20上，。⑺單調(diào)遞減，則。Q)nm=Q(Io)=74.4,

綜上，時(shí)間間隔為4分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為132元.

變式3.(2022.山東.淄博職業(yè)學(xué)院高一階段練習(xí))某市為鼓勵(lì)居民節(jié)約用電，采用階梯電價(jià)的收費(fèi)方式，

當(dāng)月用電量不超過100度的部分，按0.4元/度收費(fèi)；超過100度的部分，按0.8元/度收費(fèi).

(1)若某戶居民用電量為120度，則該月電費(fèi)為多少元？

(2)若某戶居民某月電費(fèi)為60元，則其用電量為多少度？

【解析】(1)設(shè)用電量為X度，對(duì)應(yīng)電費(fèi)為>元，

由題意得：當(dāng)x≤100時(shí)，y=0.4%;

當(dāng)x>100時(shí)，y=l∞×0.4+(x-l∞)×0.8=0.8x-40,

[0.4XX4100

即y=↑,

[0.8x-40,x>100

當(dāng)x=120時(shí)，y=0.8×120-40=56,

所以該月電費(fèi)為56元；

(2)因?yàn)閤≤100時(shí)，y=0.4x≤°.4χl0°=4°<6°,

所以該戶用電量超過了100度，

令0.8x-40=60,解得:X=I25,

故其用電量為125度.

變式4.(2022?福建省寧德第一中學(xué)高一階段練習(xí))為響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬眾創(chuàng)新”的號(hào)召，小王

大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品

需投入年固定成本2萬元，每生產(chǎn)X萬件，需另投入波動(dòng)成本W(wǎng)(X)萬元，已知在年產(chǎn)量不足4萬件時(shí)，

1C64

W(X)=3χ2+4χ,在年產(chǎn)量不小于4萬件時(shí)，W(X)=7x+；-27,每件產(chǎn)品售價(jià)6元，通過市場分析，

小王生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.

(1)寫出年利潤P(X)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量X(萬件)的函數(shù)解析式(年利潤=年銷售收入-固定成本-波動(dòng)

成本.)

(2)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大？最大年利潤是多少？

P(X)=6Λ-2-(-X2+4x)=—X2+Ix-I

【解析】⑴當(dāng)0<x<4時(shí)，33,

6464

當(dāng)x≥4時(shí)，P(X)=6x-2-(7x+—-27)=25-x——，

——X2+2X-2,0<X<4

3

故年利潤P(X)關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為尸(χ)=<

64

25-x--Λ>4

--√÷2x-2,0<x<4

25-%-----rr>4

(2)由(1)知,

當(dāng)0<x<4時(shí)，P(X)=-#+2x-2=T(X-3)2+1,

故P(X)在(0,3)上單調(diào)遞增,在(3,4)上單調(diào)遞減,

所以P(x)mα=尸⑶=1,

當(dāng)x44時(shí)，P(X)=25-

當(dāng)且僅當(dāng)x=匕,即X=8時(shí)?，等號(hào)成立，

X

故當(dāng)年產(chǎn)量為8萬件時(shí)，所獲利潤最大，最大利潤為9萬元.

變式5.(2022.浙江?高一階段練習(xí))麗水市某工廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，若甲產(chǎn)品的年產(chǎn)

量為X萬件，則需另投入成本[x)(萬元).已知甲產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過100萬件時(shí)，r(x)=；/+14x；甲產(chǎn)

1Λβββ

品年產(chǎn)量大于100萬件時(shí)，/(x)=51x+-=-l450.因設(shè)備限制，甲產(chǎn)品年產(chǎn)量不超過200萬件.現(xiàn)已

X—60

知甲產(chǎn)品的售價(jià)為50元/件，且年內(nèi)生產(chǎn)的甲產(chǎn)品能全部銷售完.設(shè)該廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品的年利潤為乙(萬元).

(1)寫出L關(guān)于X的函數(shù)解析式Mx);

(2)當(dāng)年產(chǎn)量X為多少時(shí)，該廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品所獲的利潤L最大？

?(^)=50x-∣?X2+14X∣-200=-^X2+36X-200

【解析】⑴當(dāng)O<x≤lθθ時(shí)，UJ4,

當(dāng)10()<x≤2(X)時(shí)，UX)=50x-(5IX+^^-145θ]-2θO=-X-1^+1250,

—x~÷36X—200,0<X≤100

4

故L(X)=V

-x-lθθθθ+1250,100<Λ≤200

X-60

L(X)=-?l(x-72)2+1096

⑵①當(dāng)0<x≤100時(shí)，I，4

當(dāng)X=72時(shí),L(x)max=Λ(72)=1096.

②當(dāng)100<x≤200時(shí)，

41190-2J(X-60)?^^=990.

L(X)=I19O-(x-60)÷≡

當(dāng)且僅當(dāng)x-60=3縹,即x=160時(shí)等號(hào)成立,

X-60

因?yàn)?096>990,所以L(X)max=1096.

答：當(dāng)年產(chǎn)量為72萬件時(shí)，該廠所獲利潤最大，最大利潤為1096

變式6.(2022.湖南師大附中高一階段練習(xí))黨的十八大以來，精準(zhǔn)扶貧取得了歷史性成就，其中產(chǎn)業(yè)扶

貧是扶貧工作的一項(xiàng)重要舉措，長沙某駐村扶貧小組在湘西某貧困村實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧，計(jì)劃幫助該村進(jìn)行舜

猴桃的種植與銷售，為了迎合大眾需求，提高銷售量，將以裝盒售賣的方式銷售.經(jīng)市場調(diào)研，若要提高

銷售量，則掰猴桃的售價(jià)需要相應(yīng)的降低，已知狒猴桃的種植與包裝成本為24元/盒，且每萬盒搟猴桃的

56-2x,0<x≤10

銷售收入/(x)(單位：萬元)與售價(jià)量X(單位：萬盒)之間滿足關(guān)系式/(x)=]76I3281440^?θ.

.XX2'

(1)寫出利潤F(X)(單位：萬元)關(guān)于銷售量X(單位：萬盒)的關(guān)系式；(利潤=銷售收入一成本)

(2)當(dāng)銷售量為多少萬盒時(shí)，該村能夠獲得最大利潤？此時(shí)最大利潤是多少？

【解析】⑴當(dāng)°<x41°時(shí)，'(x)=x∕(x)-24X=56X—2/—24x=—2∕+32X,

(3281440A1440

當(dāng)x>10時(shí)，F(xiàn)(x)=x∕(x)-24x=xl17.6+—一一I-24x=-6.4x------+328,

-2x1+32x,0<x≤10

故尸(X)=I1440.

7-6.4X-------+328,x>10

、X

(2)當(dāng)0<x≤10時(shí)，尸(X)=-2Y+32x=-2(x-8f+128

故當(dāng)x=8時(shí)，F(xiàn)(X)取得最大值，且最大值為128,

當(dāng)x>10時(shí)，

1440(1440、1440

F(X)=-6.4X———+328=-16.4X+l+328≤-2.6.4x.——+328=136,

1440

、“山僅當(dāng)64r=T.即.E5，倒小上去)時(shí)，等號(hào)成".：!K/")以得最大俏.IL最大但為136.

X

由于136?128，

所以銷售量為15萬盒時(shí)，該村的獲利最大，此時(shí)的最大利潤為136萬元.

【方法技巧與總結(jié)】

1、分段函數(shù)的“段''一定要分得合理，不重不漏.

2、分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.

3、分段函數(shù)的值域求法：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.

題型三：指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

例7.（2022?山東?德州市陵城區(qū)翔龍高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）水葫蘆原產(chǎn)于巴西能凈化水質(zhì)蔓延速度極快，

在巴西由于受生物天敵的鉗制，僅以一種觀賞性的植物分布于水體.某市2018年底，為了凈化某水庫的水

質(zhì)引入了水葫蘆，這些水葫蘆在水中蔓延速度越來越快2019年一月底，水葫蘆覆蓋面積為16π√,到了四

月底測(cè)得水葫蘆覆蓋面積為54π?,水葫蘆覆蓋面積）（單位：H?）,與時(shí)間X（單位：月）的關(guān)系有兩個(gè)

函數(shù)模型y=A4*（A>0且。>1）與y=mx2+n{m〉0）可供選擇.

（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)模型的解析式

（2）今測(cè)得2019年5月底水葫蘆的覆蓋面積約為80π√,從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型求水

2

葫蘆覆蓋面積達(dá)到640m的最小月份.（參考數(shù)據(jù)：Ig2≈0.30,lg3≈0.48）

【解析】⑴依題意函數(shù)過點(diǎn)（1/6）和（4,54）,

若選擇模型y=kax,

如=163,32

則而=54'解得"萬，F(xiàn)

故函數(shù)模型為專3

y=(x>0).

若選擇模型y=rnx2+n,

"2+〃=163?202

則⑹〃〃解得時(shí)話一

+=54'^15^

故函數(shù)模型為y=j∣x2+ηy(x>0).

當(dāng)x=5時(shí)，號(hào)用

=81

（2）若選擇模型V=履",

若選擇模型y=如2+〃，BPγ=X2,?x=5∏`tj=-×52+—=76.8,

1?ID

因?yàn)閨81-80∣<∣76.8-80∣,所以y=絲(|)更合適,

令,CJ≥640,則［?）≥60,兩邊取對(duì)數(shù)可得對(duì)2愴60,

、lg60_lg2+lg3+l

≈-?9.89

則1?Ig3-∣g20.18

62

所以水葫蘆覆蓋面積達(dá)到640n√的最小月份是10月份.

例8.（2022.福建.莆田第五中學(xué)高一階段練習(xí)）美國對(duì)中國芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某

公司研發(fā)的A,B兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)

行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)A芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1千萬元，公司獲得

毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)B芯片的毛收入千萬元）與投入的資金*（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為y=履"（x>0）,

其圖象如圖所示.

（1）試分別求出生產(chǎn)48兩種芯片的毛收入V（千萬元）與投入的資金X（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入4億元資金同時(shí)生產(chǎn)AB兩種芯片，求分別對(duì)A,B兩種芯片投入多少資金時(shí)，該公司

可以獲得最大凈利潤，并求出最大凈利潤.（凈利潤=A芯片的毛收入+B芯片的毛收入一研發(fā)耗費(fèi)資金）

【解析】（1）生產(chǎn)A芯片的毛收入與投入的資金成正比，.?.可設(shè)y=w（">°,χ>°）,

每投入1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元，.?.“7=0.25=L,

???生產(chǎn)A芯片的毛收入N（千萬元）與投入的資金X（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式為：y=；X（X>0）；

（,1[k=?

由圖象可知：,7,,解得：1,

K?4=2a=—

II2

???生產(chǎn)B芯片的毛收入y（千萬元）與投入的資金X（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式為：y=4（x>0）.

（2）設(shè)對(duì)B芯片投入的資金為X千萬元，則對(duì)A芯片投入的資金為（40一X）千萬元，

設(shè)凈利潤為W千萬元，則W=?+；（40-X）-2（0<X<40）,

令f=6∈（θ,2√iU）,則W=-；/+r+8,

則當(dāng)f=2,即x=4時(shí)，叱仔=-1+2+8=9,

???當(dāng)對(duì)A芯片投入3.6億元，對(duì)8芯片投入0.4億元時(shí)，該公司可以獲得最大的凈利潤，最大凈利潤為9千

萬元.

例9.（2022.全國?高一課時(shí)練習(xí)）中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉的類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)

表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，

在25℃室溫下，設(shè)茶水溫度從85℃開始,經(jīng)過X分鐘后的溫度為,則滿足y=M+25（&∈R,0<α<l,

x≥0）.

（1）求實(shí)數(shù)k的值；

（2）經(jīng)過測(cè)試知α=0.9227,求在25°C室溫下，剛泡好的85°C的茶水大約需要放置多長時(shí)間才能產(chǎn)生最佳飲

用口感（結(jié)果精確到1分鐘）.（參考數(shù)據(jù)：Ig7≈0.8451,lgl2≈1.0792,Ig0.9227≈-0.0349）

【解析】（1）依題意，當(dāng)X=O時(shí)，'=85,所以85=ha°+25,解得2=60,

所以實(shí)數(shù)上的值是60.

（2）由（1）知,當(dāng)α=0?9227時(shí),y=60x0.9227*+25,

7

當(dāng)y=60時(shí),60X0.9227'+25=60,即0.9227'=透

兩邊取對(duì)數(shù)，得HgO.9227=lg7-lgl2,

,Ig7-lgl20.8451-1.0792U

所以X=上---5一≈--------------≈7

Ig0.9227-0.0349

所以剛泡好的85℃的茶水大約需要放置7分鐘才能產(chǎn)生最佳飲用口感.

變式7.（2022.全國?高一單元測(cè)試）某同學(xué)對(duì)航天知識(shí)有著濃厚的興趣，通過查閱資料，他發(fā)現(xiàn)在不考慮

氣動(dòng)阻力和地球引力等造成的影響時(shí)，火箭是目前唯一能使物體達(dá)到宇宙速度，克服或擺脫地球引力，進(jìn)

入宇宙空間的運(yùn)載工具.早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導(dǎo)出火箭的最大理想速度公式：v=oln%,被

mk

稱為齊奧爾科夫斯基公式，其中。為噴流相對(duì)火箭的速度，人和恤分別是火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動(dòng)機(jī)熄火

（推進(jìn)劑用完）時(shí)的質(zhì)量，叫被稱為火箭的質(zhì)量比.

（1）某火箭的初始質(zhì)量為160噸，噴流相對(duì)火箭的速度為2千米/秒，發(fā)動(dòng)機(jī)熄火時(shí)的火箭質(zhì)量為40噸，求

該火箭的最大理想速度（保留2位有效數(shù)字）；

（2）根據(jù)現(xiàn)在的科學(xué)水平，通?；鸺馁|(zhì)量比不超過10.如果噴流相對(duì)火箭的速度為2千米/秒，請(qǐng)判斷該

火箭的最大理想速度能否超過第一宇宙速度7.9千米/秒，并說明理由.

（參考數(shù)據(jù):In2≈0.69）

【解析】⑴由題意，0=2,%>=160,S=40,

,V=<υln-=2×ln?^?=21n4=41n2≈2.8,

mk40

.?.該火箭的最大理想速度為2.8千米/秒.

也≤10v=<υln^≤21nlθ

（2）??mκ,2,.?.mk.

Ve7?9>27?9>27=128,7.9=Ine7-9>In128>In100=21n10.

即%ax=21nl0<7.9.

??.該火箭的最大理想速度不能超過第一宇宙速度7.9千米/秒.

變式8.（2022.云南玉溪.高一期末）某集團(tuán)公司為鼓勵(lì)下屬企業(yè)創(chuàng)業(yè)，擬對(duì)年產(chǎn)值在50萬元到500萬元的

新增小微企業(yè)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案遵循以下原則：獎(jiǎng)金）（單位：萬元）隨年產(chǎn)值X（單位：萬元）的增

加而增加，但獎(jiǎng)金不低于7萬元，且不超過年產(chǎn)值的15%.

（1）若某下屬企業(yè)年產(chǎn)值100萬元，核定可得9萬元獎(jiǎng)金.試分析函數(shù)模型），=/（"=1女+依+5（々為常數(shù)）

是否為符合集團(tuán)的獎(jiǎng)勵(lì)原則，并說明原因；

(2)設(shè)4>0,若函數(shù)模型g(x)="中符合獎(jiǎng)勵(lì)原則，試求。的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：lg2aθ.3.

【解析】⑴對(duì)于函數(shù)模型yτgχ+"+5(Z為常數(shù))，

當(dāng)X=Ioo時(shí)，產(chǎn)9,代入模型解得A=',

所以/(x)=lgx+《X+5,

獎(jiǎng)勵(lì)原則為：①/3在區(qū)間［50.500］上遞增；②7M∕(x)V0.15x恒成立，

當(dāng)x∈［50,500］時(shí)，模型是增函數(shù)，符合獎(jiǎng)勵(lì)原則①；

當(dāng)X=50時(shí)，/(50)=lg50+6=8-lg2≈7.7≥7ζ

0.15x=0.15×50=7.5<∕(50),所以，模型不符合獎(jiǎng)勵(lì)原則②，

故該函數(shù)模型不符合獎(jiǎng)勵(lì)原則.

(2)對(duì)于函數(shù)模型g(x)="Y,可得g(x)=15-衛(wèi)華，

x+8x+8

因?yàn)?>0,故函數(shù)g(x)在(-8,+8)遞增，則在［50,500］遞增，符合獎(jiǎng)勵(lì)原則①；

由獎(jiǎng)勵(lì)原則②得g(x)e=g(50)27,即15-烏普≥7,解得α≤344:

又由獎(jiǎng)勵(lì)原則②得g(x)≤0?∣5x,即旦一≤0.15x在150,500］恒成立,

x+8

即3X2—276X+20α≥0,20a≥-3x2+276X,

設(shè)MX)=-3∕+276X,則拋物線y=∕l(x)開口向下，對(duì)稱軸為X=學(xué)=46,

O

所以當(dāng)x∈［50,500］時(shí)，A(x)max=A(50)=6300,由20α≥6300得0≥315,

綜上，315≤α≤344.

所以。的取值范圍是［315,344］.

【方法技巧與總結(jié)】

1、涉及平均增長率的問題，求解可用指數(shù)型函數(shù)模型表示，通?？梢员硎緸?,=N?(l+p)?r(其中N

為原來的基礎(chǔ)數(shù)，P為增長率，X為時(shí)間)的形式.

2、在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題，都常用到指數(shù)型函數(shù)模型.

題型四：擬合函數(shù)模型的應(yīng)用問題

例10.(2022?全國?高一專題練習(xí))自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點(diǎn)對(duì)中國游客(含港、澳、臺(tái)

同胞、海外僑胞)施行門票免費(fèi)，去三峽大壩旅游的游客人數(shù)增長越來越快，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)2017年三峽大

壩游客總量約為200萬人，2018年約為240萬人，2019年約為288萬人，三峽大壩的年游客人數(shù)y與年份

代碼X(記2017年的年份代碼為x=l,2018年年份代碼為X=2,依此類推)有兩個(gè)函數(shù)模型

y=kax(k>0,a>1)與y=p4+q(p>0)可供選擇.

(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適(不需計(jì)算，簡述理由即可)，并求出該模型的函數(shù)解析式；

(2)問大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍.(參考數(shù)據(jù)：√2≈1.41,√3≈1.73,

Ig2≈0.30,Ig3≈0.48)

【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)y=far'(k>°M>l)中，)'隨X的增長而增長的速度越來越快,

而函數(shù)y=p4+q(p>0),V隨X的增長而增長的速度越來越慢，

故由題意應(yīng)選y=%,(%>0,a>D;

Q=I.2

ka'=200

則有《解得，500.

ka2=240K=-----

3

…嗎1-

3

(2)設(shè)經(jīng)過X年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍,

則率X1.2*=2X^X1.22,即1.2==2,

ΛX-2=Iog^=?g2

2IB=-湍",

X≈6,

故大約在2022年三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍.

例11.(2022.廣東珠海?高一期末)果園4占地約3000畝，擬選用果樹B進(jìn)行種植，在相同種植條件下,

果樹B每畝最多可種植40棵，種植成本V(萬元)與果樹數(shù)量X(百棵)之間的關(guān)系如下表所示.

X14916

y14.47.811.2

(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：V=以+人與y=c4+d哪一個(gè)更適合作為V與X的函數(shù)模型；

(2)已知該果園的年利潤Z(萬元)與x,y的關(guān)系為z=2y-0L,則果樹數(shù)量X為多少時(shí)年利潤最大？

【解析】⑴①若選擇y=αr+'作為y與X的函數(shù)模型，將(1'1)'(44?4)的坐標(biāo)分別帶入，得

17

a=一

l=a+b15

44=4〃+產(chǎn)得

b一

15

172

.*.y=—X-----

1515

此時(shí)，當(dāng)x=9時(shí),y=-≈10.07,

15

當(dāng)X=I6時(shí)，y=18,

與表格中的7.8和11.2相差較大，

所以y=必+人不適合作為>與X的函數(shù)模型.

②若選擇y=C五+d作為y與X的函數(shù)模型，將(U),(4,4.4)的坐標(biāo)分別帶入，得

17

1=c÷rf^5^

4,4=2c+^≡

止匕時(shí)，當(dāng)x=9時(shí)，y=W=7?8,

當(dāng)X=I6時(shí)，y==11.2,

剛好H表格中的7.8和11.2相符合，

所以y=c√I+d更適合作為V與X的函數(shù)模型.

(2)由題可知，該果園最多120000棵該呂種果樹，所以確定X的取值范圍為[(),12(X)],

當(dāng)y=U>∕7-*?時(shí)/=2丫-0.5=膽&-絲---X=--—(X-68A/X+48)

5555IO10^>

令?=f(0≤/≤20√3),貝IJZ=-?(r-e?r+48)

經(jīng)計(jì)算，當(dāng)”34時(shí)，z=—產(chǎn)-68f+48)取最大值110.8(萬元)，

即，X=II56時(shí)(每畝約38棵)，利潤最大.

例12.(2022.全國?高一課時(shí)練習(xí))為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠

水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，決定近期投放市場，根據(jù)市場調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚該紀(jì)念章的

市場價(jià)y(單位：元)與上市時(shí)間X(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：

上市時(shí)間X(天)2620

市場價(jià)y(元)10278120

(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述每枚該紀(jì)念章的市場價(jià)y與上市時(shí)間X的變化關(guān)

系并說明理由：①y=0r+A(a≠0),②y=a?+bx+c(a*0),@y?a?oghx(α≠0,?>0,?≠1),④

γ=-+b(a≠0)；

X

(2)利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低市場價(jià)；

(3)利用你選取的函數(shù)，若存在Xe(IO,e)，使得不等式犯-斤≤0成立，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

X-IO

【解析】(1)由題表知,隨著時(shí)間X的增大,y的值隨X的增大,先減小后?增大,而所給的函數(shù)y=◎+仇”≠°),

)，=41OgZ.XgWo,b>0,b≠1)和y-[+"mχ°)在(0,+8)卜.顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿足題意，故選擇

y=ax2+bx+c{a≠0)

4<ι+2?÷c=102,

<36。+6/?+c=78,

(2)把(2/02),(6,78)(20,120)分別代入,=辦2+云+(：,,得4004+20b+c=120,

解得α=g,力=—10，c=120

'y=^x2-10x+120=∣(x-10)2+70,x∈(0,-κo).

.?.當(dāng)X=IO時(shí),y有最小值,且為in=70.

故當(dāng)該紀(jì)念章上市10天時(shí)，市場價(jià)最低，最低市場價(jià)為每枚70元.

g(x)=?L/T0)+-?.1f..

(3)令3',X-IO2',X-IOXe(Io,+8),

因?yàn)榇嬖赬W(IO,+∞),使得不等式g(力-%≤0成立，

則々≥g(x)min?

又g(x)=g(xT0)+[a在(10,10+2莊)上單調(diào)遞減，在(10+2后,+∞)上單調(diào)遞增，

.?.當(dāng)X=Io+2后時(shí)，g(x)取得最小值，且最小值為g(10+2莊)=2岳，

k≥2庖.

變式9.(2022?湖南?株洲二中高一階段練習(xí))2021年新冠肺炎疫情仍在世界好多國家肆虐，并且出現(xiàn)了傳

染性更強(qiáng)的“德爾塔”、“拉姆達(dá)”、“奧密克戎”變異毒株，盡管我國抗疫取得了很大的成績，疫情也得到了

很好的遏制，但由于整個(gè)國際環(huán)境的影響，時(shí)而也會(huì)出現(xiàn)一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢(shì)依然艱巨，日常防

護(hù)依然不能有絲毫放松.某科研機(jī)構(gòu)對(duì)變異毒株在一特定環(huán)境下進(jìn)行觀測(cè),每隔單位時(shí)間T進(jìn)行一次記錄，

用X表示經(jīng)過單位時(shí)間的個(gè)數(shù)，用y表示此變異毒株的數(shù)量，單位為萬個(gè)，得到如下觀測(cè)數(shù)據(jù)：

X(T)123456

M萬個(gè))1050150

若該變異毒株的數(shù)量M單位：萬個(gè))與經(jīng)過X(XeN*)個(gè)單位時(shí)間T的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型y=pF+?與

y=ka?k>0√z>1)可供選擇.

(1)判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；

⑵求至少經(jīng)過多少個(gè)單位時(shí)間該病毒的數(shù)量不少于1億個(gè).(參考數(shù)據(jù)：√5≈2.236,√6≈2.449,

lg2≈0.301,lg6≈0.778)

10

P=一

3

∫4p+q=1010

【解析】(i)若選y=P*+虱P>°),將χ=2,y=ι0