高考復(fù)習(xí)A版數(shù)學(xué)考點(diǎn)考法（10年高考真題）：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念與幾何意義

1.（2021浙江,2,4分）已知?！曦埃?+0）1=3+式1為虛數(shù)單位），則4=（

A.-lB.lC.-3D.3

答案C解題指導(dǎo):先將等式左邊化成a+5i（〃*￡R）的形式，然后利用復(fù)數(shù)相等的充要條件得出結(jié)果.

解析由（l+〃i）i=3+i,得-〃+i=3+i,所以-。=3,即。=-3.故選C.

方法總結(jié)設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di（a,b,c,tZ￡R）,則zi=Z2的充要條件是常_

2.（2022浙江,2,4分）已知￡R,a+3i=0+i）i（i為虛數(shù)單位），貝U（

A.a=l,b=-3B.a=-1,b=3

C.a=-1,b=-3D.tz=l,b=3

答案B?:a+3i=歷+i2=-l+Z?i,b=3.故選B.

3.（2022北京,2,4分）若復(fù)數(shù)z滿足i-z=3-4i,貝lj|z|=（

A.lB.5C.7D.25

答案B由i-z=3-4i可知,z=^=--^---=-4-3i,故團(tuán)=,(-4)2+(-3/=5.故選B.

2.(2022新高考I,2,5分)若i(l-z)=l,貝ljz+z=

A.-2B.-lC.lD.2

答案D由題意知l-z￡=-i,所以z=l+i,貝吃=l-i,所以z+5=(l+i)+(l-i)=2,故選D.

4.（2022全國乙文,2,5分）設(shè)（l+2i）a+b=2if其中。，匕為實(shí)數(shù),則

A.a=l,b=-lB.a=l,b=l

C.a=-1,b-\D.a=-1,b=-l

答案A由題意知（〃+b）+2ai=2i,

a+b=0,

所以?解得故選A.

2a=2,

5.（2022全國乙理,2,5分）已知z=l-2i,且z+az+b=0,其中a,b為實(shí)數(shù),則

A.a=l,b=-2B.a=-1,b=2

C.a=l,b=2D.a=-lfb=-2

答案A由題意知5=l+2i,所以z+dz+b=l-2i+a(l+2i)+b=a+b+l+(2a-2)i,又z+dz+b=0,所以

既，解得｛:

a+b+l+(2Q-2)i=0,所以b=-Z故選A-

6.(2021全國乙理，1,5分)設(shè)2(z+刃+3(z-z)=4+6i,則z=

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A.l-2iB.l+2iC.l+iD.l-i

答案C設(shè)z=a+bi(a,b￡R),貝!代入2(z+z)+3(z-z)=4+6i,得4。+6例=4+6i,所以a-1,b=l,故z=l+i.

故選C.

7.(2019課標(biāo)II文,2,5分)設(shè)z=i(2+i),則，=()

A.l+2iB.-l+2i

C.l-2iD.-l-2i

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算;考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

養(yǎng).

?/z=i(2+i)=2i+i2=-l+2i,.\z=-l-2i,故選D.

解題關(guān)鍵正確理解共輾復(fù)數(shù)的概念是求解的關(guān)鍵.

8.(2017課標(biāo)ID文,2,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i(-2+i)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案Cz=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-l-l-2i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(T,-2),位于第三象限.故選

C.

9(2017課標(biāo)HI理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)2滿足(1+。2=2［貝(］反|二()

1V2/—

A.-B.C.y/2D.2

答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模.

、2i2i(l-i)2(1+0

.二(1+i)z=2i,”幣=(1+[)(-)=丁一+1-

Iz|=y/l2+12=V2.

一題多解,.■(l+i)z=2i,11+i|?|zk=|2iI,即，1?+/?|z|=2,二.|z|=6.

10.(2017課標(biāo)I文,3,5分)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()

A.i(l+i)2B.i2(l-i)C.(1+i)2D.i(1+i)

答案C本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和純虛數(shù)的定義.

A.i(l+i)2=ix2i=-2;

B.i2(l-i)=-(l-i)=-l+i;

C.(l+i)=2i;

D.i(l+i)=T+i,故選C.

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11.(2016課標(biāo)I理,2,5分)設(shè)(1+i)x=l+yi,其中x,y是實(shí)數(shù),則|x+yi|=()

A.1B.V2C.V3D.2

答案B-.-x,yGR,(l+i)x=l+yi,.,.x+xi=l+yi,

Y—［,

|x+yi|=|1+i|=>J12+12=V2.故選B.

(y=L

評析本題考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬容易題.

12.(2016課標(biāo)I文,2,5分)設(shè)(l+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等,其中a為實(shí)數(shù),則a=()

A.-3B.-2C.2D.3

答案A'/(l+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+l)i,

「.a-2=2a+l,解得a=-3,故選A.

解后反思將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,yeR)的形式,然后建立方程是解決問題的關(guān)鍵.

評析本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,將復(fù)數(shù)化為x+yi(x,yeR)的形式是解題關(guān)鍵.

13.(2016課標(biāo)II文,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則，二()

A.-l+2iB.l-2iC.3+2iD.3-2i

答案Cz=3-2i,所以，=3+2i,故選C.

z

14.(2016課標(biāo)ID文,2,5分)若z=4+3i,則［二()

|z|

4343

A.1B.-lC.-+-iD.---i

答案D由z=4+3i得|z|=^32+42=5,z=4~3i,則有二-,故選D.

\z\55

15.(2015安徽理,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)總在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()

1—1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B?.?裊=等垃=-1+二.1復(fù)數(shù)興在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)是㈠,1),它位于第二象限.

1—121—1

1+7

16.(2015課標(biāo)工理,1,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足三與，則［z|=()

1—Z

A.1B.V2C.V3D.2

答案A由已知詈=i,可得z=，=W=i,zI=IiI=1,故選A.

1—z1+1￡；)：1)、—2

17.(2015湖北理,1,5分)i為虛數(shù)單位,i'"的共朝復(fù)數(shù)為()

A.iB.-iC.1D.T

答案A-.■i607=i4xI5It3=(i4)ISI-i=-i,

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的共柜復(fù)數(shù)為i.

18.(2014課標(biāo)n理,2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)Zi,Z,在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱,Zi=2+i,則ziz2=()

A.-5B.5C.-4+iD.-4-i

答案A由題意得zz=-2+i,.,.ziZ2=(2+i)(-2+i)=-5,故選A.

19.(2014重慶理,1,5分)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)i(「2i)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案A1(1-2。=-2/=2+。對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)為(2,1),在第一象限.選A.

1

20.(2014課標(biāo)I文,3,5分)設(shè)z=—+i,則|z|=()

1+1

1V2V3

A-2B-TC-TD.2

答案BzG^+i=9+i[+：i,因此Iz1=Jg)2+Q)2=故選B.

l+i222\\2/\2/722

21.(2013課標(biāo)I理,2,5分)若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=|4+3i,則z的虛部為()

A.-4B.TC.4D.

答案D?.14+3寸=7?7^=5,."=裊=^^=|+3，虛部為:，故選1

3—4125555

22.(2013課標(biāo)H文,2,5分)|白卜()

A.2V2B.2C.V2D.1

答案c島H片斗me.選十

2

23.(2012課標(biāo)理,3,5分)下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z二1工的四個(gè)命題：

-1+1

2

Pi：Iz|=2,p2:z=2i,

P3：z的共軍厄復(fù)數(shù)為l+i,p4:z的虛部為-L

其中的真命題為()

A.p2,p3B.pi,p2C.p2,P4D,p3,p4

答案Cz=?7一1一二所以IzI=V2,Pi為假命題；z2=(-l-i)2=(l+i)2-2i,p2為真命

—1+1(^―H-ljQ—I-1)

題;，=T+i,P3為假命題;P4為真命題.故選C.

評析本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的性質(zhì),考查了運(yùn)算求解能力.

24.(2012課標(biāo)文,2,5分)復(fù)數(shù)2=寺的共扼復(fù)數(shù)是()

2+1

A.2+iB.2-iC.-l+iD.-1-i

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—3+i(-3+i)(2—i)—5+5i

答案Dz1-i,故選D.

-2+i-(2+i)(2-i)~~5-

評析本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,易忽略共粗復(fù)數(shù)而錯(cuò)選.

25.(2。11課標(biāo)理,1,5分)復(fù)數(shù)匚，勺共姬復(fù)數(shù)是()

33

A.-^iB.-iC.-iD.i

2+i(2+i)(l+2i)

答案Ci,其共輪復(fù)數(shù)為-i,故選C.

l-2i-(l-2i)(l+2i)-

評析本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共柜復(fù)數(shù)的概念，屬容易題.

26.(2016課標(biāo)口，1,5分)已知z=(m+3)+(m-l)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

)

A.(-3,1)B.(-1,3)

C.(1,+oo)D.(-oo,-3)

-W+3>0,(m>—3,

苔案A由已知可得｛故選A.

方法總結(jié)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別是其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，所以研究復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對

應(yīng)點(diǎn)的位置時(shí),關(guān)鍵是確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.

27.(2016山東,1,5分)若復(fù)數(shù)z滿足2z+z=3-2i,其中i為虛數(shù)單位,則z=()

A.l+2iB.l-2i

C.-l+2iD.-l-2i

答案B設(shè)z=a+bi(a、bWR),則2z+5=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,b=-2,「.z=l-2i,故選B.

28.(2019江蘇,2,5分)已知復(fù)數(shù)(a+2i)(1+i)的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)a的值是.

答案2

解析本題考查了復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算.

???(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的實(shí)部為0,

「.a-2=0,解得a=2.

解題關(guān)鍵掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及代數(shù)形式的四則運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

29.(2017江蘇,2,5分)已知復(fù)數(shù)z二(1+i)(l+2i),其中i是虛數(shù)單位，則z的模是.

答案V10

解析本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

,/z=(l+i)(l+2i)=l+2i+i+2i=3i-l,

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IZ|=+(—1)2=710.

30.(2016江蘇,2,5分)復(fù)數(shù)z=(l+2i)(3-i),其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是.

答案5

解析(l+2i)(3-i)=3+5i-2/=5+5i,所以z的實(shí)部為5.

31.(2016北京理,9,5分)設(shè)aCR.若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,則a=.

答案T

解析(1+i)(a+i)=(a-l)+(a+l)i,'.'aGR,該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,；.a+l=0,.,=-1.

32.(2015天津,9,5分)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)(L2i)(a+i)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為.

答案-2

解析---(l-2i)(a+i)=2+a+(l-2a)i為純虛數(shù)，

fl一2a豐0,

-?)?斛得a=-2.

129+a=0,

33.(2015重慶理,11,5分)設(shè)復(fù)數(shù)a+bi(a,beR)的模為舊,貝!J(a+bi)(a-bi)=.

答案3

解析復(fù)數(shù)a+bi(a,bGR)的模為A/CI?+b?=正,貝?。輆2+b2=3,jjllj(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2?i2=a2+b2=3.

考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的運(yùn)算

1.(2021新高考I,2,5分)已知z=2-i,貝I」z(z+i)=(

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

答案C??,z=2-i,.-.z=2+i,

，z(2+i)=(2-i)(2+i+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i.故選C.

2.(2022新高考II,2,5分)(2+2i)(l-2i)=(

A,-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i

答案D(2+2i)(l-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故選D.

3.(2022全國甲文,3,5分)若z=l+i,貝U|iz+32|=(

A.4V5B.4V2C.2V5D.2V2

答案DVz=l+i,35=3(l-i)=3-3i,

.?.iz+3z=2-2i,：.\iz+3z\=2VI故選D.

4.(2021全國甲理,3,5分)已知(l-i)2z=3+2i,則z=(

A.-l-|iB.-l+|i

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C.-|+iD.-j-i

答案B解法一：由題意得2=券=號=饋^=言@=一1+|1

解法二：設(shè)z=a+bi（a,Z?￡R）.

由（1-i）?z=3+2i得（1-i）2（a+bi）=3+2i,

：.-2i（a+bi）=2b-2ai=3+2i,

.,.Q=-l,b=|,...zu-l+li?故選B.

5.（2022全國甲理，1,5分）若z=-l+V3i,則-7=

zz-l

A.-1+V3iB.-l-V3iC.--+—iD.---—i

3333

答案c因?yàn)閦=-l+遮,所z以z—1等（―14-7亮31）（-學(xué)1-V同31J、—；1=三1+3當(dāng)-1=一3+當(dāng)3故選C.

6.（2021全國乙文,2,5分）設(shè)iz=4+3i,則z=

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

答案C解題指導(dǎo):解法一:直接用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求解；

解法二（待定系數(shù)法）：利用方程思想求解.

解析解法一：由題意得z=—==干=34,故選C.

1iz-1

解法二：由題意，設(shè)z=a+bi（a,b《R）,貝（jiz二i（a+歷）=-6+ai,又iz=4+3i,所以a=3,Z?=-4,貝!jz=3-4i,故選C.

易錯(cuò)警示學(xué)生不熟悉復(fù)數(shù)的除法法則，在運(yùn)算中出錯(cuò).

7.（2021北京,2,4分）若復(fù)數(shù)z滿足（1-i）-z=2,則z=（

A.-l-iB.-l+i

C.l-iD.l+i

答案D解法一:設(shè)z=a+歷（a,Z?￡R）,因?yàn)椋╨-i）?z=2,即a+b+（b-a）i=2,所以-小解得a=b=l,所以

z=l+i.故選D.

解法二：因?yàn)椋?-i）-z=2,所以z片=因+i，故選D.

1-1（i-i）（i+i）

8.（2020新高考/,2,5分）總：=（

A.lB.-lC.iD.-i

2-i

答案D，瑞=故選D.

l+2i

9.（2019課標(biāo)I文,1,5分）設(shè)片益加,=（）

A.2B.V3C.V2D.1

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答案C本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算;考查了運(yùn)算求解能力;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算.

..二3一i二(3—i)(l—2i)

,Z-l+2i-(l+2i)(l-2i)

_3-7i+2i2_l-7i_l7.

二1—(2i)2二虧二鼠3

????=*￥+(-『8,故選。

易錯(cuò)警示易將『誤算為1,導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò).

10.(2019北京,理1,文2,5分)已知復(fù)數(shù)2=2+二貝!]2?2=()

A.V3B.V5C.3D.5

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共花復(fù)數(shù)的概念，考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)

算.

'.'z=2+i,.,.z=2~i,.,.z,z=(2+i),(2-i)=4+1=5,故選D.

11.(2018課標(biāo)H文,1,5分)i(2+3i)=()

A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故選D.

12.(2018課標(biāo)IH,理2,文2,5分)(1+i)(2-i)=()

A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i

答案D本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

(1+i)(2-i)=2-i+2i-i=3+i,故選D.

13.(2018北京理,2,5分)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)上的共柜復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于()

1—1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D本題主要考查復(fù)數(shù)的概念、運(yùn)算和幾何意義.

1-1(1—，1)(二1+1)巖232,?.其共輾復(fù)數(shù)2為2"二又22*i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)\G22/在第四象限,故選D.

14.(2017課標(biāo)n文,2,5分)(1+i)(2+i)=()

A.1-iB.l+3iC.3+iD.3+3i

答案B本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算.

(1+i)(2+i)=2+i+2i+i=l+3i.故選B.

15.(2017山東文,2,5分)已知i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z滿足zi=l+i,則z2=()

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A.-2iB.2iC.-2D.2

答案A本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

由zi=l+i得z=—

所以z2=(l-i)2=-2i,故選A.

4i

16.(2016課標(biāo)HI理,2,5分)若z=l+2i,則=~；二()

zz—1

A.1B.-lC.iD.-i

4i4i

答案C,.,z：=(l+2i)(l-2i)=5,「._廣;二i，故選C.

zz—14

17.(2016北京文,2,5分)復(fù)數(shù)詈)

A.iB.1+iC.-iD.1-i

2

l+2i(l+2i)(2+i)2+i+4i+2i號二i,故選A.

A

答案2^r-(2-i)(2+i)--W

18.(2015課標(biāo)H理,2,5分)若a為實(shí)數(shù)，且(2+ai)(a-2i)=-4i,則a=()

A.-lB.0C.1D.2

答案B-/(2+ai)(a-2i)=-4i=^4a+(a2-4)i=-4i,

(4a=0,j,

24解得a=0.

la-A4=-4,

19.(2015課標(biāo)I文,3,5分)已知復(fù)數(shù)z滿足(z-l)i=l+i,則z=()

A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i

答案C由已知得z=——+l=2-i,故選C.

i

20.(2015課標(biāo)n文,2,5分)若a為實(shí)數(shù)且警=3+i,則a=()

A.-4B.-3C.3D.4

答案D由已知得2+ai=(l+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故選D.

21.(2015安徽文,1,5分)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1-i)(l+2i)=()

A.3+3iB.-l+3iC.3+iD.-l+i

答案C(1-i)(l+2i)=l+2i-i-2i=3+i.

22.(2015湖南文,1,5分)已知Stl+i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z=()

z

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-l-i

,,.,.(1—i)2—2i—2i(l—i),,.,,

答案Dz=——^=—7=——――i(l-i)=-l-i.D.

l+il+i(l+i)(l-i)

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23.(2014課標(biāo)I理,2,5分)出2=()

(1-D

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

322

%答~案D尋(1+i)號(1+》i).(/1+、1)l=+i/方+2i.(/1+1、)=-1“故選3口

24.(2。14課標(biāo)11文