河北省衡水中學高考模擬押題卷數(shù)學試題含答案

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬試題

文科數(shù)學(一)

考前須知：

1.本試卷分第I卷(選擇題)和第二卷(非選擇題)兩局部。答卷前，考生務(wù)必將自己的

姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.答復(fù)第I卷時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。寫在本試卷上無效。

3.答復(fù)第二卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

選擇題：本大題共12小題,每題5分，在每題給出的四個選項中。只有一項為哪一項

符合題目要求的。

(1)集合A=<%∈Z-∣<x<3∣,B={0,l,2,3,4}-那么集合A∩B的子集個數(shù)為

(A)16(B)8(C)7(D)4

⑵假設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足z(l+i)=2卜n'+icos?,其中i為虛數(shù)單位，那么Z=

(A)2(B)i

(C)1-i(D)l+i

(3)向量α=(m,2),)=(-!,〃)(〃>0),且α?0=0,點P(0在圓f+y2=5上,那

么∣2G+.=

(A)√34(B)6

(C)4√2(D)3√2

(4)甲，乙兩同學在高三上學期的6次聯(lián)考測試中的物理成績的莖葉圖如下所示，那么關(guān)

于甲，乙兩同學的成績分析正確的選項是

甲乙

86714

8744868

9I4

(A)甲，乙兩同學測試成績的中位數(shù)相同

(B)甲，乙兩同學測試成績的眾數(shù)相同

(C)甲，乙兩同學測試成績的平均數(shù)不相同

(D)甲同學測試成績的標準差比乙同學測試成績的標準差大

(5)等差數(shù)列｛q｝滿足4+α14=O7+4,那么IgS∣5=

(A)l+Ig6(B)6(C)I+lg3(D)Ig6

(6)一半徑為R的半球挖去一圓柱后的幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為

80√5Λ-

(A)------16乃

3

160√5^-iz

(B)16乃

3

80√5Λ-C

(C)--------3π

3

俯視圖

(7)將函數(shù)y=sinβx-∣j的圖象向右平移］個單位，再將所得的圖象所有點的橫坐標

縮短為原來的L倍(縱坐標不變)，那么所得圖象對應(yīng)的函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為

2

π13乃13725乃

(B)

12,-12^^^12^,12-

π13萬1π?9π

(C)(D)

^?2,~?2

(8)執(zhí)行如下圖的程序框圖，輸出的〃值是

(A)5(B)4(C)3(D)2

(9)在Z?ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且CCoSA+acosC=2c,假設(shè)a=b,那么

SinB=

√51√3√3

(A)—(B)-(C)—(D)—

4442

(10)函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，將/(x)的圖象向右平移一個單位后得到一個奇函數(shù)，假設(shè)

f(2)=T,那么/(1)+/(2)+…蟲2016)=

(A)I(B)O(C)-1003(D)1003

(11)在直角坐標系Xoy中，拋物線V=4x的焦點為F,準線為/,點P是準線上任一點,

直線PF交拋物線于A,B兩點，F(xiàn)P=4FA,那么S“OB=

5√2^r-3√29

(A)--(B)3√2(C)--(D)-

o22

(12)定義域為R的函數(shù)/(x)滿足/(x)=；/(%—6),當xe［0,6］時，

/(X)=λ∕3-∣x-3∣,假設(shè)關(guān)于Z的方程/(%)=m(x+6)在區(qū)間［-6,+oo)內(nèi)恰有三個不

等實根，那么實數(shù)機的值為

(B)逅

(A)?且(D)以上均不正確

12129

第二卷

本卷包括必考題和選考題兩局部。第13題?第21題為必考題，每個試題考生都必

須做答。第22題?第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。

二.填空題：本大題共4小題，每題5分。

-?1?,sιn<z-cosa,,..,

(13)Slna+cosα=-,αe(0,萬)，那么-----------■的值λ為

3v,.7π

sin——

12

(14)曲線f=4X在點處的切線與直線2x+y-l=0垂直，那么m=

x+y+4≥0

(15)實數(shù)%,y滿足約束條件?x+y—2≤0那么2'的最大值是.

y-2>0

3

(16)設(shè)函數(shù)/(x)=x+(l+α)χ2+αv有兩個不同的極值點χ1,χ2,且對不等式

/(玉)+/(W)Wo恒成立，那么實數(shù)4的取值范圍是

三.解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

(17)(本小題總分值12分)

數(shù)列｛α,,｝的前"項和為S,,且滿足2S“=1—2?！?

(I)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(∏)設(shè)數(shù)列也｝滿足b,l=n.an,求數(shù)列也｝的前"項和7；.

(18)(本小題總分值12分)

如下圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為。的菱形，ZDAB=60°,側(cè)面PAD_L

底面ABCD,PA=PD.

(I)證明:AD±PB;

(H)假設(shè)PB=求三棱錐B—PCD的體積.

2

(19)(本小題總分值12分)

2023年春節(jié)期間全國流行在微信群里發(fā)、搶紅包，現(xiàn)假設(shè)某人將688元發(fā)成手氣紅

包50個，產(chǎn)生的手氣紅包頻數(shù)分布表如下：

金額分組C1.5)[5.9)[9.13)[13.17)[17,21)[21.25]

頻數(shù)39171182

⑴求產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率；

(H)估計手氣紅包金額的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(IlI)在這50個紅包組成的樣本中，將頻率視為概率.

⑴假設(shè)紅包金額在區(qū)間［21,25］內(nèi)為最正確運氣手，求搶得紅包的某人恰好是最正確運氣手

的概率；

(ii)隨機抽取手氣紅包金額在［1,5)U［-21,25］內(nèi)的兩名幸運者，設(shè)其手氣金額分別為根,〃，

求事件a?m-^>?6"的概率.

(20)(本小題總分值12分)

圓C一4χ+y2=0,過點PQi,0)作直線/與圓C相交于M,N兩點.

⑴當直線/的傾斜角為30°時，求IMNl的長；

(H)設(shè)直線/的斜率為上當NMCN為鈍角時，求攵的取值范圍.

(21)(本小題總分值12分)

函數(shù)=InX+--^^"j(α∈R).

⑴假設(shè)函數(shù)/(x)存在極大值，試求α的取值范圍；

(H)當α為何值時，對任意的x>0,且x≠l,均有也±———>0.

x-1x+1

請考生從第22、23、24題中任選一題做答，并用2B鉛筆將答題卡上所選題目對應(yīng)

的題號右側(cè)方框涂黑。按所涂題號進行評分；多涂、多答，按所涂的首題進行評分；不

涂，按本選考題的首題進行評分。

(22)(本小題總分值10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，AD是aABC的角平分線，以AD為直徑的圓

與BC相切于D點，與AB,AC交于點E,F.

(I)求證：BE?AD=ED?DC；

(∏)當點E為AB的中點時，假設(shè)圓的半徑為r,求EC

的長.

(23)(本小題總分值10分)選修4一4：坐標系與參數(shù)方程

X=2+cosOc

在直角坐標系Xoy中，曲線Gi'(α為參數(shù))，以坐標原點0為極點,

[y=3+sin1,

JT

X軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為：，=W(PeE)?

(I)求曲線Cl的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；

(H)設(shè)Cl與C2的交點為M,N,求同.

(24)體小題總分值10分)選修4—5：不等式選講

設(shè)函數(shù)/(x)=∣x-∕n∣.

⑴當〃2=1時，解不等式/(x)+∕(2x)>l;;

-

(11)證明：當時，,∕(x)+?fJ~^2'

文科數(shù)學(一)

一、選擇Ii移右個單位后所得圖象對應(yīng)的解析式為y=

1.B【解析】由題可知?A={z∈Z卜?∣V"V3}=

sin[?(x-f)-f]≈sin(?x^?),ffwttffl

(-1,0,1,2),所以AnB=<0,1,2),從而子集個數(shù)

為為=8,故選B.象所有點的橫坐標縮短為原來的4倍(縱坐標不變)

2.C【解析】由z(l+i)=2(sin辛+icos})?得Z=

對應(yīng)的解析式為Iy=Sin(X—y∣),令一^∣?+2*x≤

幣=向"1二不一1一1’故選c??

X-y^≤-j-+2tπ(4∈Z).即金+2AX≤H≤夠+

3.A【解析】由α=(m,2),b=(-l,n),與a?b=0

故選

得，m—2"=0=*m=2n.又點P(m,n)在圓?*+y=536Z),C.

8.D【解析】由程序框圖可知，n=0,S=l+l=2.m=

上，所以m?+/=5,即5"=5="=1或n=-l

(舍)，所以m=2,α=(2,2),b=(-1.1),故2β÷h=6-1=5,5<皿運行第二步,"=1,5=2+/=景.

(4.4)+(-1,1)=(3.5),因此.|2。+5|=√3r+5r

=A，故選A.

91

4.Ct解析】甲的中位數(shù)為丐空=84,乙的中位數(shù)為8.m=4—1=3,S>m,輸出n=2?故選D.

歿理=87,選項A錯誤；甲的眾數(shù)為84,乙的眾數(shù)9.A【解析】由CCOSA+acosC=2c及正弦定理得，

sinCcosA÷sinAcosC=2sinC,即sin(A+C)=

不是84,選項B錯誤I甲的平均數(shù)為2sinC,從而SinB=2sinC,因此6=2，?所以a≈2c,

76+78+84+84+87+88497_6λa,*h-fc?a2+/—1

----------------6--------------------丁'乙的平均數(shù)為由余弦定理得，cosB=~-≈9VL√7≈÷*

LaC/X4CXC4

----------------θ----------------=-g-,即這項C正確；從從而SinB=空.故選A.

4

莖葉圖可知甲的數(shù)據(jù)更集中.乙的數(shù)據(jù)更分散，因此

10.B【解析】將函數(shù)/(“)向右平移一個單位得到

甲同學測試成績的標準差比乙同學測試成績的標準

/(彳一】)，由于八*一1)為奇函數(shù),所以?(-?-l)

差小?選項D錯誤.故選C.

=一/(工一1),又/(公為偶函數(shù),所以/(-χ-l)≡

5.A【解析】由α∣÷α∣≈a+4,^#α∣÷α=a÷a?

41u7β/G+1),從而有∕Cr+l)=-∕a-D?即/Q+2)

,而C_(a+a,)×15^2××15

βffplsaβ-=一/(力且有函數(shù)/(”)為周期

所以G=4,而S15=---------2--------------------2------.∕Cr+4)=∕G),故

15析=60,從而IgSg=Ig60=Ig(10X6)=1+Ig6.函數(shù)且周期為4.在/Gr+D=—/(?一1)中?令??=

。得/(一即,從而

故選A.?/(D=-D=—/(1),/(D=O

/(3)=—/(1)=0,又在∕Q+D=-/(N-D中，

6.A【解析】由三視圖可知.半球的半徑R為2同,半

令Z=I得，/(0)=-/(2)=1,在∕G+4)=∕(G

球的體積為％=y×yxΛj=yx×(2√5)a=中，令工=0得，/(4)=/(0),因此，八D+f(2)+

故

典件,而圓柱的底面半徑1?為2,高為4,其體積為/(3)+/(4)=0-1+0+1=0,/(1)+/(2)+…

+/(2016)=504×[∕(l)+∕(2)+∕(3)÷∕(4)]=

%=*∕A=χX4X4=16”.故所求幾何體的體積為V0,故選B.

=%一匕=/棄一161.故選A.11.C【解析】不妨設(shè)點P在“軸的上方，過點A作準

線/的垂線,垂足為點M,z軸負半軸與準線交于點

7.C【解析】函數(shù)y=sin(?∣?H-?∣?)的圖象向右平K(如圖所示).

1

2sinαcosσ=—=>2sinacosa...------—?X(sina-

Q17

COSσ)t=1—2sinαcosa—1+§=§,因為αG(O,

x).且2sinβcosaVO,所以aS(今■,n)，即有sinα>

O.cosaV0?從而sina-cosa>0?因此sina—cosa

=W?,又sin?=sin(?÷?)=sin?eos-y-÷

3IZ'43,4o

x.X_72÷√6=Sina-CoSa_y/17

COS-τ-sιn-----------------?從ll而---------------Q-^

4347π3

sn

T=f從而％=J4X?∣?=氏則A(^?√∑),又'T2

4-√T7(√6-√2)

√2(√6÷√2)β?.

Fɑ.0),則kfp==-2√Z,則直線FP的方程為

T-114.1【解析】由x*=4y?得y=+x2,所以y,

y=-2成'(?r-l),即ZV?jr+y—2√Σ=0,聯(lián)立方程

因此Q號,由II意得號X(-2)=7=m=l.

(2√Lr+k2√Σ=0.整理得出;_5工+2=0,所以

∣√=4x‘工一y+420,

15.64【解析】作出滿足約束條件(工+y-2≤0?的平

?T"+HI)=?∣?.因JltIABl=?∣?+2=?∣?.又點O到直

2≥0

面區(qū)域,如圖所示：

線PF的距離d=-J竺!_=第，因此SAMe

√(2√2),+li

=∕∣ABlXd=?∣?X?∣?X挈=挈,故選C.

12.C【解析】根據(jù)題意，“"=竹'°≤x≤3,

IJ飛一工?3<x≤6,

/(H)=4/(工一6),在同一坐標系下,作出y=∕(x)

與y=m(z+6)的圖象如下所示：^ly~2?解得A(—2.2),又2,?(?)?=

ILy+4=0,`4)

2，-%設(shè)z=y-2z,得y=2I+z,由圖象得直線y=

2?r+z過點A(-2,2)時，z取到最大值，故Z的最大

值是6,所以2,?(?)?的最大值是2?=64.

16.(-∞,-l]∪[y,2]【解析]由∕G)=Y+(1+

a)jj+aar,得∕*(Jr)=3f+2(l+a)jr+a,令/?(?)

=O,得33+2(1+。)工+。=(^1),因為4=4(1+。)2

(12mf)f44M=0.解得/=吉.將/=去—12a=4(l-a÷a2)=4(a—γ)+3>0,故方程

代人①，解得JΓ=6G[0,3].若y=m(x+6)與y=①有兩個不相等的實根與，I2,不妨設(shè)4Vq,因此

∕z(jτ)=3(jr-JΓι)(Jr-Λ?),易知當JrVJrI或JT>Z2

√7相切，則其不滿足題意.故y=m(l+6)過點(3,

時，/(z)>0?當?VZVJ?時，/(Z)Vo，即4是

畬)時滿足題意，此時m=號.故選C.

極大值點,“2是極小值點，而/(x∣)+∕(x2)≤0等

二、填空國價于??+J?+(1+Q)(R+H)+a(JTi+Λ?)≤0,即

(?i+?t)?(?i÷xt),~3x∣xt]÷(l÷a)t(xj+??)t

13.々"一⑶【解析】由sin。+Coa=T?,得1+

S—2“iJ?]+a(JrI+J?)≤O,又因為x∣+Xz—

2

一生手”.?r5=^f■'代人上式?當a+〉。時，2/因為PA=PD.所以PE±AD.

乂因為底面ABeD為菱形，且NDAB=60°,

一5α+2≤0?解得?∣?≤α≤2.當α+l≤0時。鑄-5α所以AABD為等邊三角形?因此BE±AD.

從而AfLL平面PEB.因此ADJ_P8.（5分）

+220?解得α≤-l?因此α的取值范圍是（一8.

（∏）因為側(cè)面PAD_L底面ABCD.

-I］U［y*2］.

且由（I）知，PE_LAD.從而PEJ_平面ABCD,

三、解答題即PE為以ABCD為底面的三棱錐P-BCD的福.

17.解：（I）由2S??l-20..所以V"-N?"=VrP-Hr/）=~^~SA.BT”?PE?

知29二1-2ɑ∣=4??（1分）

由底面邊長為α可知.S=SΔABD=^√.BE=

4

當”22時.由2S.=l-2α..1?2S.l=l-2u,-l.

分）

兩式相減?得2α.=s-2α.+2ɑ.ι=2”.=α.7.g4,（7

（3分）

又PB=亨α?且PE±BE.

因此數(shù)列｛%｝是以十為首項.十為公比的等比

數(shù)列.所以PE=J（￡-（判=√P=1‰

故數(shù)列｛”.）的通項公式α.=mq?τ=T?x（?∣?）''

（9分）

（）＞分）

=y".（5所以VPιrι,??-?-s?ttn?PE==；Xga

334Z

＜∏＞由（I＞可知也="?α,=j??.（6分）=和.⑴分）

192

所以τ.=8+8+仇+…+6=w+可+廣+…故所求的體積為夠α’.（12分）

①（分）。徂。_

+j?T?719.3解：（，IT）由題得，P=-1--7--+--1?1ɑ-+--8--+---2-=21j9.

因此/7?=∕+/+∕H----^氏=+/?②故產(chǎn)生的手氣紅包的金額不小于9元的頻率為

（8分）（2分）

①一②得??∣?T.=/+/+/+/H------f^2^τ~（∏）手氣紅包在［1?5）內(nèi)的頻率為4=0.06,

武7?（10分）手氣紅包在［5.9）內(nèi)的頻率為4=0.18；

手氣紅包在［9?13）內(nèi)的頻率為界=0.34,

HnIT1"`2/M

即2廠=了乂丁】——尹，

1^τ手氣紅包在口3,17）內(nèi)的頻率為痣=0.221

化簡得丁?=1一卷一聲，

手氣紅包在口7,2D內(nèi)的頻率為擊=0.16；

即睚=1一崗.（12分）手氣紅包在［21.25］內(nèi)的頻率為系=0.04.（4分）

】8.解：（I）取AD的中點E?連接PE?BE.則手氣紅包金額的平均數(shù)為

i=3X0.06÷7×0.18÷11X0.34÷15X0.22+19

×0.16+23×0.04≡12.44.（6分）

（∏I）（i）由題可知.紅包金額在區(qū)間［21,25］內(nèi)有

兩人.

所以搶得紅包的某人恰好是最佳運氣手的概率P=

52δ≡1?（8分）

?3

(ii)由頻率分布表可知?紅包金額在口65)內(nèi)有3人、方法二：若NMCN為鈍角?

設(shè)紅包金額分別為a?6八在［21.25］內(nèi)有2人.設(shè)紅則NMCQ>45°,圓心C到直線/的距離dV√Σ.

包金Si分別為(8分)

若m?〃均在［∣,5)內(nèi),有3種情況：(a,力，(ɑ?c).(6?

即留音V√Σ?解得7必<2=>一空<上〈空，

c)；若m.〃均癥［21,25］內(nèi)只有一種情況：(工0);若

√Γ÷?r77

m?〃分別在口?5)和［21,25］內(nèi)時?有6種情況,即且6≠0,

(4,/),(α?y),(6,工)?(6,y),(c,?r)?(c,y).因此基本

故A的取值范圍為(一"算,0)U(O,空).

事件的總數(shù)為10種?而事件“|，〃一”|>16”所包含

的基本事件個數(shù)有6種,(12分)

所以P(∣m-n∣>16)=^=y.(12分)21.解：(I)定義域為(0?+8).

為一公

1_/+2(11+1(0∈R).

?2

20.解：(I)圓Cx√-4α?+y=0的圓心坐標為C(2.jc(J÷1)?(?+1)

03半徑為2.設(shè)g(?)=J2÷2(1—α)?r+l,

當直線/的傾斜角為300時?過圓心C作直線/的垂則A=4(l-a)?—4=4α(α-2).

線，垂足為Q?①當αV0時,對稱軸x≈a-l<0t

故小工)在區(qū)間()內(nèi)單調(diào)遞增.

在RtZXPQC中，sin30°=髭=CQ=?∣V2.(3分)0,+8

則g(x)>g(0)≡U

從而IMNI=2-4-(［)，≡√7.(5分)所以∕Z(J?)>0在區(qū)間《0?+8)內(nèi)恒成立，

所以/(/)在區(qū)間(0.+8)內(nèi)單調(diào)遞增，不存在

(口)根據(jù)題意,直線/的斜率存在且不為0?極大值；(2分)

故可設(shè)直線/的方程為V=鼠?r+D.“聲0)(6分)②當0≤α≤2時?A≤0,

(y=A(jr+1)?則2恒成立.

方法一，聯(lián)立方程：，g(?)=X+2(1—α)x÷l≥0

2,2C

∣X-4J÷√=0.故，(z)》0在區(qū)間(0.+8)內(nèi)恒成立?

整理并化簡得.《】+嚴)/+工+必=

(2^—4)0?所以/(/)在區(qū)間(0?+8)內(nèi)單調(diào)遞增,不存在

(7分)

極大值；(4分)

設(shè)M(Nl,y),N(?Γ2，?2)，③當a>2時.令g(ι)=0?

lt,

W?≡(2?-4)-4(l÷F)?*>0,-z-2

得J1=al-y∕a—2a.?z=a^1+y∕a—2a?

即OV^V春.(8分)其中OVjrIVJr2，

令/J得OVJrVjj或NJ

?-2kik2(?)>0,>?,

由韋達定理得+々=了不后?工,=

,?r∣1?:?+^2?所以八外在區(qū)間(0.不)內(nèi)單調(diào)遞增?在區(qū)間(M.

當NMCN為鈍角時,即說?CN<O,(9分)12)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(工2，+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

而.西=(不一

5G=(q—2?*)2,χ)?所以/(彳)在?τ=a-1-，>一2a時取得極大值?在

CM?CN=(JrI—2,yι)?(4—2,3)z=a-l+—2a處取得極小值.

=x∣x2-2(x1+J?)+4+Myt綜上所述,若函數(shù)人工)存在極大值?則a的取值范

22圍為分)

=(l÷^)x∣x2+(*-2)(xj÷jr2)+Λ+4(2?+8).(6

2

=(l+*)τ‰+(*≈-2)?^+*≈+1(∏)-^-?vτ>θ可化為(∣nJ÷?T-a)

?-1?+1?-1'a"十1,

>0(*),(8分)

設(shè)A(j?)=∕")-a,由(D知，

由6G?否5vo,得】4公V4=/V??=-4^VA①當a≤2時濟(-在區(qū)間(0?+8)內(nèi)為增函數(shù)，

141

當“€(0?1)時∕G)VA(1)=O?

且滿足告.

VHa?A≠0,OVAY所以占MI)>0:

故A的取值范圍為(一享.θ)u(θ,左?).當“￡(1,+8)時,人(i)>*1)=0.