高考函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(全面)

高考函數(shù)總結(jié)

—'函數(shù)的概念與表示

1、函數(shù)

(1)函數(shù)的定義

①原始定義：設(shè)在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量X、y，如果對(duì)于X在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y都有唯

一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù)，x叫作自變量。

②近代定義：設(shè)A、B都是非空的數(shù)的集合>f:x—y是從A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，那么從A到B的映射f:

A—B就叫做函數(shù)，記作y=f(x)，其中xeA,yeB，原象集合A叫做函數(shù)的定義域，象集合C叫做函

數(shù)的值域。C匚B

(2)構(gòu)成函數(shù)概念的三要素①定義域②對(duì)應(yīng)法則③值域

3、函數(shù)的表示方法①解析法②列表法③圖象法

注意：強(qiáng)調(diào)分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的表示形式。

二、函數(shù)的解析式與定義域

1、函數(shù)解析式：函數(shù)的解析式就是用數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)和括號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子叫解析式，

求函數(shù)解析式的方法：

(1)定義法(2)變量代換法(3)待定系數(shù)法

(4)函數(shù)方程法(5)參數(shù)法(6)實(shí)際問(wèn)題

2'函數(shù)的定義域：要使函數(shù)有意義的自變量x的取值的集合。求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：

(1)分式的分母不為零；

(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零，零取零次方?jīng)]有意義；

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1；

如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算而得到的，那么它的定義域是由各基本函數(shù)定義域的交集。

3。復(fù)合函數(shù)定義域：已知f(x)的定義域?yàn)閄e其復(fù)合函數(shù)/[g(x)]的定義域應(yīng)由不等式

a<g(x)V6解出。

三、函數(shù)的值域

1?函數(shù)的值域的定義

在函數(shù)y=f(x)中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。

2?確定函數(shù)的值域的原則

①當(dāng)函數(shù)y=f(x)用表格給出時(shí)，函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù)y的集合；

②當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合；

③當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；

④當(dāng)函數(shù)y=f(x)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問(wèn)題的實(shí)際意義確定。

3?求函數(shù)值域的方法

①直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍；

②二次函數(shù)法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域；

③反函數(shù)法：將求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求它的反函數(shù)的值域；

④判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；

⑤單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；

⑥不等式法：利用不等式的性質(zhì)求值域；

⑦圖象法：當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象可作時(shí)，通過(guò)圖象可求其值域；

⑧幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。

四?函數(shù)的奇偶性

1?定義：設(shè)y=f(x)，xCA，如果對(duì)于任意XGA嘟有/(-%)=f(x)，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。設(shè)y=f(x)，

xGA，如果對(duì)于任意XGA，都有/(-%)=-/(X)，則稱y=f(x)為奇函數(shù)。如果函數(shù)/(%)是奇函數(shù)或

偶函數(shù)，則稱函數(shù)y=/(x)具有奇偶性。

2.性質(zhì)：

①函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

②y=f(x)是偶函數(shù)Oy=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，y=f(x)是奇函數(shù)Oy=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱，

③偶函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相反，奇函數(shù)在定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間

上單調(diào)性相同，

④偶函數(shù)無(wú)反函數(shù)，奇函數(shù)的反函數(shù)還是奇函數(shù)，

⑤若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則它可表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和

于(x)=1[/(x)+/(-x)]+1[/(x)-/(-%)]

⑥奇±奇=奇偶土偶=偶奇乂奇=偶偶乂偶=偶奇X偶=奇[兩函數(shù)的定義域Di，D，DinD2要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱]

⑦對(duì)于F(x)=f[g(x)]:若g(x)是偶函數(shù),則F(x)是偶函數(shù)

若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是奇函數(shù),則F(x)是奇函數(shù)

若g(x)是奇函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)-則F(x)是偶函數(shù)

3?奇偶性的判斷

①看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱②看f(x)與f(-x)的關(guān)系

五、函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)單調(diào)性的定義

一般地，設(shè)一連續(xù)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)椋?，則

?如果對(duì)于屬于定義域。內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值Xi，X2dD且X〉X2，都有Z(X1)>/(xz)，

即在D上具有單調(diào)性且單調(diào)增加，那么就說(shuō)/(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)。

?相反地，如果對(duì)于屬于定義域D內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值xi，X2CD且xi>xz，都有f(xi)

<f(x2)，即在D上具有單調(diào)性且單調(diào)減少，那么就說(shuō)Ax)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。

則增函數(shù)和減函數(shù)統(tǒng)稱單調(diào)函數(shù)。

2、判斷函數(shù)單調(diào)性(求單調(diào)區(qū)間)的方法：

(1)從定義入手，(2)從圖象入手，(3)從函數(shù)運(yùn)算入手，(4)從熟悉的函數(shù)入手

(5)從復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律入手

注：函數(shù)的定義域優(yōu)先

3、函數(shù)單調(diào)性的證明：定義法“取值一作差一變形一定號(hào)一結(jié)論”。

4、一般規(guī)律

(1)若f(x),g(x)均為增函數(shù)，則f(x)+g(x)仍為增函數(shù)；

(2)若f(x)為增函數(shù)-則-f(x)為減函數(shù)；

(3)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)有相同的單調(diào)性；

(4)設(shè)y=/[g(x)]是定義在M上的函數(shù),若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反,則y=/'[g(x)]在M上是減

函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同,則y=在M上是增函數(shù)。

六、反函數(shù)

1、反函數(shù)的概念：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)镃，由y=f(x)求出X=。(丫)，若對(duì)于C中的

每一個(gè)值y，在A中都有唯一的一個(gè)值和它對(duì)應(yīng)，那么X=0(y)叫以y為自變量的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)

x=0(y)叫函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作x=/T(y)，通常情況下，一般用x表示自變量，所以記作

尸尸⑴。

注：在理解反函數(shù)的概念時(shí)應(yīng)注意下列問(wèn)題。

(1)只有從定義域到值域上一一映射所確定的函數(shù)才有反函數(shù)；

(2)反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域；

2'求反函數(shù)的步驟

(1)解關(guān)于x的方程y=f(x)，達(dá)到以y表示x的目的；

(2)把第一步得到的式子中的x換成y，y換成x；

(3)求出并說(shuō)明反函數(shù)的定義域(即函數(shù)y=f(x)的值域)。

3、關(guān)于反函數(shù)的性質(zhì)

(1)y=f(x)和y二「(X)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；

(2)y=f(xHuy=『(x)具有相同的單調(diào)性；

(3)y=f(x"ux=fT(y)互為反函數(shù)，但對(duì)同一坐標(biāo)系下它們的圖象相同；

(4)已知y=f(x)，求?可利用f(x)=a，從中求出x，即是f-1(a)；

⑸f-1[f(x)]=x;

(6)若點(diǎn)P(a,b)在y=f(x)的圖象上，又在y=F(x)的圖象上，則P(b,a)在y=f(x)的圖象上；

(7)證明y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，只需證得y=f(x)反函數(shù)和y=f(x)相同；

七?二次函數(shù)

1-二次函數(shù)的解析式的三種形式

b

(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a#=0)，其中a是開(kāi)口方向與大小，c是Y軸上的截距,而----是對(duì)稱軸。

2a

(2)頂點(diǎn)式(配方式)：f(x)=a(x-hT+k其中(h,k)是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

(3)兩根式(因式分解)：f(x)=a(x-xi)(x-X2),其中xi,X2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)。

求一個(gè)二次函數(shù)的解析式需三個(gè)獨(dú)立條件，如：已知拋物線過(guò)三點(diǎn)，已知對(duì)稱軸和兩點(diǎn)，已知頂點(diǎn)和對(duì)稱

2:

軸°又如?已知f(x)=ax+bx+c(a#0)，方程f(x)-x=O的兩根為,x2，則可設(shè)

f(x)-x=f(x)-x=a(x一項(xiàng)X%一%)，或/(x)="(%-x^x-+x°

2-二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(aW0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸％=一>，頂點(diǎn)坐標(biāo)(b,44c—b-)

2a2a4-a

,,—b

(1)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(_8,絲]上單調(diào)遞減，在]__也,+8)上單調(diào)遞增，%=——

‘2a2a’2。

日寸，石、Aac—b^

(2)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在(_8,__上單調(diào)遞增，在］__2,+8)上單調(diào)遞減，％=二幺

2a2a2a

4ac—Z?2

4a

3?二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a#=0)當(dāng)△=/??—4ac>0時(shí)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)Mi(xi,0),M2(X2,0)

121==|%]—"21==(<i~+%2)2~—4X]%2==~i—i~

4?二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系

方程ax?++c=0(。w0)的根為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a00)y=0的x的取值。二次函數(shù)與一

元二次不等式的關(guān)系一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)的解集為二次函數(shù)f(x)=ax?+bx+c(aW

0)y>O(<0)的x的取值范圍。

二次函數(shù)△情況一元二次方程一元二次不等式解集

ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0

Y=ax2+bx+c(a>0)△=b2-4acax2+bx+c=0(a>0)

(a>0)(a>0)

—/?—VA

%】一

2a

[xv々｝玉<x<x2]

△>0-/7+VA

XQ-

4~"X2a

圖￡

b

象X]——---

△=0-2a

與

｛小W/｝①

解

y

1■△<0方程無(wú)解R①

八?指數(shù)式與對(duì)數(shù)式

1?森的有關(guān)概念

吩

(1)正整數(shù)指數(shù)第a"=a-a-a..a(nGN*)，(2)零指數(shù)幕=1(〃w0)

(3)負(fù)整數(shù)指數(shù)第。一"=4(。WO,〃￡N*)(4)正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

m___

an=">O,m,neN*,n>l

tn

(5)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕。一〃

(6)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)賽等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒(méi)有意義.

2?有理數(shù)指數(shù)系的性質(zhì)

(1)aras=ar+s(6Z>0,r,51e2)⑵(a〉O',seQ)

(3)(aZ?)〃=arbr(a>0,6>0/￡Q)

3?根式

(1)根式的定義：一般地，如果％〃=a，那么x叫做a的n次方根，其中(〃>1,〃￡N*)，y[a叫做

根式，n叫做根指數(shù)，a叫被開(kāi)方數(shù)。

aa>0

⑵根式的性質(zhì)：①當(dāng)n是奇數(shù)?則=a；當(dāng)〃是偶數(shù)?則\l~a^=同=<

-aa<0

②負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根，③零的任何次方根都是零

4?對(duì)數(shù)

(1)對(duì)數(shù)的概念

如果a"=N(a>0,。w1),那么b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記〃=log”N(a>0,aw1)

(2)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①零與負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)②log。1=0③logq4=l

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)⑦。

(3)logMN=logqM+logflN

?！渲?/p>

②log=logqM-]ogaN③logq〃〃="log"Ma>0,a^0,M>0,N>0

logN

(4)對(duì)數(shù)換底公式：logqN=-—(N>Q,a>O^al,m>OMm1)

n

(5)對(duì)數(shù)的降第公式：logNn=—logN(N>0,。>0且4/1)

°mfl

九?指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1'指數(shù)函數(shù)y=a"與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,aWl)互為反函數(shù)，從概念、圖象、性質(zhì)去理解它們的區(qū)別

和聯(lián)系

名稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)

一般形式Y(jié)=ax(a>0且aWl)y=logax(a>0,aWl)

定義域(-8,+OO)(0,+*

值域(0,+8)(-8,+oo)

過(guò)定點(diǎn)(0>1)(1'0)

圖象指數(shù)函數(shù)y=a"與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,aWl)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱

y

L^y=ax(a>l)

X(0<a<l\'

y=aJ^loga*(a>l)

jJ1

x

y=loga(0<a<l)

a>1,在（-8,+8）上為增函數(shù)a>l,在（0,+8）上為增函數(shù)

單調(diào)性

0<a<l,在（-8,+8）上為減函數(shù)0<a<l,在（0,+8）上為減函數(shù)

值分布y>l?y<l?y>0?y<0?

比較兩個(gè)賽值的大小，是一類(lèi)易錯(cuò)題，解決這類(lèi)問(wèn)題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同，如果底數(shù)相同，

可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關(guān)系（對(duì)數(shù)式比較大小同理）

記住下列特殊值為底數(shù)的函數(shù)圖象：

3、研究指數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題，盡量化為同底，并注意對(duì)數(shù)問(wèn)題中的定義域限制

4>指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的絕大部分問(wèn)題是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問(wèn)題，討論復(fù)合函數(shù)

的單調(diào)性是解決問(wèn)題的重要途徑。

十-函數(shù)的圖象

1、作函數(shù)圖象的基本方法有兩種：

（1）描點(diǎn)法：1'先確定函數(shù)定義域，討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性，單調(diào)性，周期性）2、列表（注意特

1

殊點(diǎn)，如：零點(diǎn)，最大最小，與軸的交點(diǎn)）3、描點(diǎn)，連線如：作出函數(shù)y=—的圖象，

X

（2）圖象變換法：利用基本初等函數(shù)變換作圖

①平移變換：（左正右負(fù)，上正下負(fù)）即A="V。?右移;?左移>y=y（x+無(wú)）

y=/O）——卜'收&>6」；移>y=+左

②對(duì)稱變換：（對(duì)稱誰(shuí)，誰(shuí)不變，對(duì)稱原點(diǎn)都要變）

y=/(x)—遜ry=—

券=/O)—=/(—x)

y=/O)—”=—/(—x)

'=f(x)——―>>=尸1(X)

泊由右邊不變，左邊為右邊部分的對(duì)稱圖

、=/■（%）=/（國(guó)）

保留X軸上方圖，璃fev軸下方圖上翻

、=/（x）>、=|/8|

仍一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的悔

③伸縮變換：y=/(x)—>y=f?)

仍一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍

y=f(x)f，=Af(x)

導(dǎo)致與積分

1?導(dǎo)數(shù)的概念

函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x°處有增量x>那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=f(x°+Ax)—f(x0)，

AyAy/(x。+A%)一-(x。)

比值A(chǔ)x叫做函數(shù)y=f(x)在x°到X°+Ax之間的平均變化率，即Ax=Ax。如果

當(dāng)△*一°時(shí)，Ax有極限，我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X°處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f(X)在點(diǎn)X°處

的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x°)或y'|E°。

Ayf(x+Ax)-f(x)

hm-lim----0----;--------0-

即f(X0)=&-0Ax=Ar->0Axo

2-導(dǎo)致的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x°分的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn)p(x°?f(x°))處的切線的斜率。也就

是說(shuō)，曲線y=f(x)在點(diǎn)p(x°，f(x°))處的切線的斜率是f(x0)°相應(yīng)地，切線方程為y—y0=f4

(x°)(x—x°)°

3?幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

①C'=0;②③(sinx)'=cosx；④(cosx)'=-sinx；

xxlnx=

(a}'-alna()7(logfl^=|logfle

⑤e，⑥u—aina；⑦］；⑧%

4?兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則

|u'v-uV

2(尸。

(u±v)'=u±v'.(MV),^uv+uv.，=V0)

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)致：

定理2設(shè)函數(shù)片f(u),片夕(￥)均可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)/=f((p(力)

也可導(dǎo).

且或PL/?."⑴，

單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù)/(X)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo),

如果/(X)>°，則"％)為增函數(shù)；如果/(X)<0,則/(X)為減函數(shù)；

如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f(X)=°，則/(X)為常數(shù)；

2,極點(diǎn)與極值：

曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；

曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；

3,最值：

一般地,在區(qū)間［a‘b］上連續(xù)的函數(shù)f(%)在［a‘b］上必有最大值與最小值。

①求函數(shù)/(X)在(a,b)內(nèi)的極值；

②求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值及a)、/(b)；

③將函數(shù)/(X)的各極值與f(a)'_f(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4?定積分

(1)概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a，b］上連續(xù)，用分點(diǎn)a=xO<xl<---<xi—l<xi<---