全等三角形問題中常見的8種輔助線的作法(有答案)

第頁全等三角形問題中常見的協(xié)助線的作法(有答案)總論：全等三角形問題最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，構(gòu)造二個(gè)角之間的相等1.等腰三角形“三線合一〞法：遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一〞的性質(zhì)解題2.倍長中線：倍長中線，使延長線段及原中線長相等，構(gòu)造全等三角形3.角平分線在三種添協(xié)助線4.垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端5.用“截長法〞或“補(bǔ)短法〞：遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6.圖形補(bǔ)全法：有一個(gè)角為60度或120度的把該角添線后構(gòu)成等邊三角形7.角度數(shù)為30,60度的作垂線法：遇到三角形中的一個(gè)角為30度或60度，可以從角一邊上一點(diǎn)向角的另一邊作垂線，目的是構(gòu)成30-60-90的特別直角三角形，然后計(jì)算邊的長度及角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角。從而為證明全等三角形創(chuàng)建邊,角之間的相等條件。8.計(jì)算數(shù)值法：遇到等腰直角三角形，正方形時(shí)，或30-60-90的特別直角三角形，或40-60-80的特別直角三角形,常計(jì)算邊的長度及角的度數(shù)，這樣可以得到在數(shù)值上相等的二條邊或二個(gè)角，從而為證明全等三角形創(chuàng)建邊,角之間的相等條件。常見協(xié)助線的作法有以下幾種：最主要的是構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造二條邊之間的相等，二個(gè)角之間的相等。遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一〞的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折〞法構(gòu)造全等三角形．遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段及原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)〞法構(gòu)造全等三角形．遇到角平分線在三種添協(xié)助線的方法，〔1〕可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折〞，所考知識(shí)點(diǎn)經(jīng)常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．〔2〕可以在角平分線上的一點(diǎn)作該角平分線的垂線及角的兩邊相交，形成一對(duì)全等三角形。〔3〕可以在該角的兩邊上，距離角的頂點(diǎn)相等長度的位置上截取二點(diǎn)，然后從這兩點(diǎn)再向角平分線上的某點(diǎn)作邊線，構(gòu)造一對(duì)全等三角形。過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移〞或“翻轉(zhuǎn)折疊〞截長法及補(bǔ)短法，詳細(xì)做法是在某條線段上截取一條線段及特定線段相等，或是將某條線段延長，是之及特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和,差,倍,分等類的題目．某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點(diǎn)向該線段的兩個(gè)端點(diǎn)作連線，出一對(duì)全等三角形。特別方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答．一,倍長中線〔線段〕造全等例1,〔“盼望杯〞試題〕，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，那么中線AD的取值范圍是_________.例2,如圖，△ABC中，E,F分別在AB,AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比擬BE+CF及EF的大小.例3,如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.應(yīng)用：1,〔09崇文二模〕以的兩邊AB,AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M,N分別是BC,DE的中點(diǎn)．探究：AM及DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．〔1〕如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM及DE的位置關(guān)系是，線段AM及DE的數(shù)量關(guān)系是；〔2〕將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，〔1〕問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．二,截長補(bǔ)短1,如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC2,如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過點(diǎn)E，求證;AB＝AD+BC。3,如圖，在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP4,如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：5,如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上隨意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PC應(yīng)用：三,平移變換例1AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長記為，△EBC周長記為.求證＞.例2如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D,E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.四,借助角平分線造全等1,如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD2,如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕說明BE=CF的理由；〔2〕假如AB=，AC=，求AE,BE的長.應(yīng)用：1,如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答以下問題：〔1〕如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD,CE分別是∠BAC,∠BCA的平分線，AD,CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你推斷并寫出FE及FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEB(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③五,旋轉(zhuǎn)例1正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).例2D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。假設(shè)AB=2，求四邊形DECF的面積。例3如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，那么的周長為；應(yīng)用：1,四邊形中，，，，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交〔或它們的延長線〕于．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)〔如圖1〕，易證．當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種狀況下，上述結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，請(qǐng)賜予證明；假設(shè)不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的揣測，不需證明．〔圖〔圖1〕〔圖2〕〔圖3〕2,〔西城09年一?！?PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P,D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長;(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.3,在等邊的兩邊AB,AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M,N，D為外一點(diǎn)，且,,BD=DC.探究：當(dāng)M,N分別在直線AB,AC上移動(dòng)時(shí)，BM,NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長Q及等邊的周長L的關(guān)系．圖1圖2圖3〔=1\*ROMANI〕如圖1，當(dāng)點(diǎn)M,N邊AB,AC上，且DM=DN時(shí)，BM,NC,MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)；〔=2\*ROMANII〕如圖2，點(diǎn)M,N邊AB,AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，揣測〔=1\*ROMANI〕問的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的揣測并加以證明；〔=3\*ROMANIII〕如圖3，當(dāng)M,N分別在邊AB,CA的延長線上時(shí)，假設(shè)AN=，那么Q=〔用,L表示〕．參考答案及提示一,倍長中線〔線段〕造全等例1,〔“盼望杯〞試題〕，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，那么中線AD的取值范圍是_________.解：延長AD至E使AE＝2AD，連BE，由三角形性質(zhì)知AB-BE<2AD<AB+BE故AD的取值范圍是1<AD<4例2,如圖，△ABC中，E,F分別在AB,AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比擬BE+CF及EF的大小.解：(倍長中線,等腰三角形“三線合一〞法)延長FD至G使FG＝2EF，連BG，EG,明顯BG＝FC，在△EFG中，留意到DE⊥DF，由等腰三角形的三線合一知EG＝EF在△BEG中，由三角形性質(zhì)知EG<BG+BE故：EF<BE+FC例3,如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.解：延長AE至G使AG＝2AE，連BG，DG,明顯DG＝AC，∠GDC=∠ACD由于DC=AC，故∠ADC=∠DAC在△ADB及△ADG中，BD＝AC=DG，AD＝AD，∠ADB=∠ADC+∠ACD=∠ADC+∠GDC＝∠ADG故△ADB≌△ADG，故有∠BAD=∠DAG，即AD平分∠BAE應(yīng)用：1,〔09崇文二?！骋缘膬蛇匒B,AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M,N分別是BC,DE的中點(diǎn)．探究：AM及DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．〔1〕如圖①當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM及DE的位置關(guān)系是，線段AM及DE的數(shù)量關(guān)系是；〔2〕將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，〔1〕問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由．二,截長補(bǔ)短1,如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC解：〔截長法〕在AB上取中點(diǎn)F，連FD△ADB是等腰三角形，F(xiàn)是底AB中點(diǎn)，由三線合一知DF⊥AB，故∠AFD＝90°△ADF≌△ADC〔SAS〕∠ACD＝∠AFD＝90°即：CD⊥AC2,如圖，AD∥BC，EA,EB分別平分∠DAB,∠CBA，CD過點(diǎn)E，求證;AB＝AD+BC解：〔截長法〕在AB上取點(diǎn)F，使AF＝AD，連FE△ADE≌△AFE〔SAS〕∠ADE＝∠AFE，∠ADE+∠BCE＝180°∠AFE+∠BFE＝180°故∠ECB＝∠EFB△FBE≌△CBE〔AAS〕故有BF＝BC從而;AB＝AD+BC3,如圖，在△ABC內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP解：〔補(bǔ)短法,計(jì)算數(shù)值法〕延長AB至D，使BD＝BP，連DP在等腰△BPD中，可得∠BDP＝40°從而∠BDP＝40°＝∠ACP△ADP≌△ACP〔ASA〕故AD＝AC又∠QBC＝40°＝∠QCB故BQ＝QCBD＝BP從而BQ+AQ=AB+BP4,如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：解：〔補(bǔ)短法〕延長BA至F，使BF＝BC，連FD△BDF≌△BDC〔SAS〕故∠DFB＝∠DCB，F(xiàn)D＝DC又AD＝CD故在等腰△BFD中∠DFB＝∠DAF故有∠BAD+∠BCD＝180°5,如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上隨意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PC解：〔補(bǔ)短法〕延長AC至F，使AF＝AB，連PD△ABP≌△AFP〔SAS〕故BP＝PF由三角形性質(zhì)知PB－PC＝PF－PC<CF＝AF－AC＝AB－AC應(yīng)用：三,平移變換例1AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長記為，△EBC周長記為.求證＞.解：〔鏡面反射法〕延長BA至F，使AF＝AC，連FEAD為△ABC的角平分線,MN⊥AD知∠FAE＝∠CAE故有△FAE≌△CAE〔SAS〕故EF＝CE在△BEF中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC從而PB=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=PA例2如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D,E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.證明：取BC中點(diǎn)M,連AM并延長至N,使MN=AM,連BN,DN.∵BD=CE,∴DM=EM,∴△DMN≌△EMA(SAS),∴DN=AE,同理BN=CA.延長ND交AB于P,那么BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去DP,得BN+AB>DN+AD,∴AB+AC>AD+AE。四,借助角平分線造全等1,如圖，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD，DC+AE=AC證明(角平分線在三種添協(xié)助線,計(jì)算數(shù)值法)∠B=60度,那么∠BAC+∠BCA=120度;AD,CE均為角平分線,那么∠OAC+∠OCA=60度=∠AOE=∠COD;∠AOC=120度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又AO=AO;∠OAE=∠OAF.那么⊿OAE≌ΔOAF(SAS),OE=OF;AE=AF;∠AOF=∠AOE=60度.那么∠COF=∠AOC-∠AOF=60度=∠COD;又CO=CO;∠OCD=∠OCF.故⊿OCD≌ΔOCF(SAS),OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2,如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.〔1〕說明BE=CF的理由；〔2〕假如AB=，AC=，求AE,BE的長.解：(垂直平分線聯(lián)結(jié)線段兩端)連接BD，DCDG垂直平分BC，故BD＝DC由于AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，故有ED＝DF故RT△DBE≌RT△DFC〔HL〕故有BE＝CF。AB+AC＝2AEAE＝〔a+b〕/2BE=(a-b)/2應(yīng)用：1,如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答以下問題：〔1〕如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD,CE分別是∠BAC,∠BCA的平分線，AD,CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你推斷并寫出FE及FD之間的數(shù)量關(guān)系；(第23題圖)OPAMNEB(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖①圖②圖③五,旋轉(zhuǎn)例1正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).證明：將三角形ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形ABG那么GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90所以∠EAF=45度例2D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。(1)當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。(2)假設(shè)AB=2，求四邊形DECF的面積。解：(計(jì)算數(shù)值法)〔1〕連接DC，D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，故有CD⊥AB，CD＝DACD平分∠BCA＝90°，∠ECD＝∠DCA＝45°由于DM⊥DN，有∠EDN＝90°由于CD⊥AB，有∠CDA＝90°從而∠CDE＝∠FDA＝故有△CDE≌△ADF〔ASA〕故有DE=DF〔2〕S△ABC=2,S四DECF=S△ACD=1例3如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，那么的周長為；解：(圖形補(bǔ)全法,“截長法〞或“補(bǔ)短法〞,計(jì)算數(shù)值法)AC的延長線及BD的延長線交于點(diǎn)F，在線段CF上取點(diǎn)E，使CE＝BM∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，

∠DCE=180°-∠ACD=180°-∠ABD=90°，

又∵BM=CE，BD=CD，

∴△CDE≌△BDM，

∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，

∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，

∵在△DMN和△DEN中，

DM=DE

∠MDN=∠EDN=60°

DN=DN∴△DMN≌△DEN，

∴MN=NE∵在△DMA和△DEF中，

DM=DE

∠MDA=60°-

∠MDB=60°-

∠CDE=∠EDF(∠CDE=∠BDM)

∠DAM=∠DFE=30°∴△DMN≌△DEN(AAS)，

∴MA=FE的周長為AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6應(yīng)用：1,四邊形中，，，，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩