河南省頂尖名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

頂尖名校聯(lián)盟2022~2023學(xué)年下學(xué)期5月聯(lián)考高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回.4.本卷主要考查內(nèi)容：高考范圍.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由特稱命題的否定是全稱命題即可得到結(jié)果.【詳解】原命題的否定為.故選:A2.已知復(fù)數(shù)z滿足:，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先設(shè)復(fù)數(shù)，根據(jù)條件，列式求復(fù)數(shù)，再求模.【詳解】設(shè)則，得，所以.故選：B3.集合，，則中的元素個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】直接進(jìn)行交集運(yùn)算即可求解.【詳解】集合，，，所以中的元素個(gè)數(shù)為，故選：A.4.若，則的值為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)倍角公式，三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化齊次，弦化切即可求解.【詳解】，故選：D5.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性得到時(shí)的解析式，分別求解，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí),，由得，即，解得，當(dāng)時(shí)，，則，則，由得，即，解得，又，所以的解集為.故選：D.6.已知在過去的六年中，某市燃油私家車保有量(萬輛)與新能源私家車保有量(萬輛)隨著年數(shù)()變化的線性回歸方程分別為則從今年開始，預(yù)計(jì)新能源私家車保有量超過燃油私家車保有量需要經(jīng)歷的年數(shù)約為（）A.11 B.12 C.17 D.18【答案】B【解析】【分析】令，解之即可得解.【詳解】令，解得，又，所以，則，所以預(yù)計(jì)新能源私家車保有量超過燃油私家車保有量需要經(jīng)歷的年數(shù)約為年.故選：B.7.在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由條件結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系可得點(diǎn)到直線的距離小于等于2，列不等式求的取值范圍.【詳解】圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，設(shè)直線上的點(diǎn)滿足條件，則以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，即兩圓相交或相切，所以，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于等于，所以點(diǎn)到直線的距離小于等于2，所以解得所以k的取值范圍為，故選：A.8.如圖所示，將一個(gè)矩形紙片ABCD切去四個(gè)角處的陰影部分，其中四個(gè)陰影部分為相互全等的直角梯形，且此直角梯形較長的底邊長為，是直角梯形的一個(gè)內(nèi)角．將剩下的部分沿著虛線折起，恰好拼接成一個(gè)無蓋直四棱柱，且直四棱柱的底面PQEH為等腰梯形．已知，，．則此直四棱柱的體積為（）A28 B.32 C.36 D.40【答案】A【解析】【分析】由題意可求得底面梯形的兩底邊長和高進(jìn)而求得其面積，再求得直四棱柱的高，即可求得體積.【詳解】由圖可知，，，所以，梯形PQEH的高，所以其面積，直四棱柱的高，則直四棱柱體積,故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù):4，1，6，4，6，6，8，下列說法中正確的是（）A.這組數(shù)據(jù)的極差為7 B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5 D.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6【答案】ACD【解析】【分析】分別求出這組數(shù)據(jù)的極差，眾數(shù)，平均數(shù)，中位數(shù)，即可判斷每個(gè)選項(xiàng)．【詳解】對于A：這組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對于B：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6，故B錯(cuò)誤；對于C：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，故C正確；對于D：這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，4，6，6，6，8，可得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6，故D正確；故選：ACD．10.如圖，在正方體ABCDA?B?C?D?中，E為A?D?的中點(diǎn)，F(xiàn)為C?D?的中點(diǎn)，則下列說法中正確的是（）A.EF∥ACB.直線EF與平面BCC?B?所成的角為45°C.異面直線EF和AD?所成的角為45°D.BD?⊥EF【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線線平行傳遞性可判斷A選項(xiàng)，根據(jù)線面角得出B選項(xiàng)，根據(jù)異面直線所成角判斷C選項(xiàng)，根據(jù)線面垂直判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，由EF//A?C?，AC//A?C?，可得EF//AC，可得A選項(xiàng)正確;對于B選項(xiàng)，由平面ADD?A?//平面BCC?B?，D?F⊥平面ADD?A?，直線EF與平面所成的角為∠FED?，，可得B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由EF//A?C?，AD?//BC?，△A?C?B是等邊三角形，可得異面直線EF

和AD?所成的角為60°,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;對于D選項(xiàng)，由平面BDD?,平面BDD?，,AC⊥平面BDD?，EF//AC，EF⊥平面BDD?,可知D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.已知點(diǎn)P是焦點(diǎn)為F的拋物線上的動點(diǎn)，拋物線C的準(zhǔn)線l的方程為.則（）A.B.過點(diǎn)P作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為H，直線與準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)D，若為等腰直角三角形，點(diǎn)P位于第一象限，直線PF的傾斜角為銳角，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為8C.直線與拋物線C交于另一點(diǎn)E，若，則點(diǎn)P與點(diǎn)E的橫坐標(biāo)之差為D.過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】由求出可判斷A；由為等腰直角三角形，可得直線PF的方程，與拋物線方程聯(lián)立，解得可判斷B；設(shè)點(diǎn)P、點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為、，直線PF的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，，由，可得，可求出可得可判斷C；設(shè)，可求出的最小值，設(shè)，根據(jù)的范圍可判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，由可得，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，如圖，由為等腰直角三角形，可得，可知直線PF斜率為1，直線PF的方程為，聯(lián)立方程，解得，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，如圖，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)E的坐標(biāo)為，直線PF的方程為，聯(lián)立方程，有，可得，有，又由，有，可得，聯(lián)立方程，解得，可得，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，如圖，設(shè)，則12，即的最小值為，設(shè)，則，即，所以，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.若ω=3，則函數(shù)f(x)的最小正周期為B.若，則函數(shù)為偶函數(shù)C.若，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍為D.若存在，使得，則ω的值為2【答案】BD【解析】【分析】對于A，根據(jù)周期函數(shù)公式，即可計(jì)算，對于B，根據(jù)函數(shù)奇偶性即可判斷，對于C，根據(jù)，得到，即可求解.對于D，根據(jù)范圍，求得，即可得ω的值.【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則故A選項(xiàng)不正確；對于B選項(xiàng)，若，則，可知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，若，若，則，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得：.故C錯(cuò)誤.對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以最小正周期所以所以解得，故D選項(xiàng)正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，滿足，，且，則___________【答案】【解析】【分析】由向量的模的坐標(biāo)表示求，再由數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律求.【詳解】因?yàn)?，所以又，，所以故答案為?14.的展開式中，的系數(shù)為________【答案】【解析】【分析】已知式變形為，根據(jù)二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式可得答案.【詳解】，展開式通項(xiàng)，展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，則，故答案為：.15.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，直線與雙曲線的漸近線在第一象限交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為__________【答案】【解析】【分析】利用條件求出直線的方程，再聯(lián)立漸近線方程，得出，再由，得到，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以直線的方程為，又雙曲線的漸近線方程為，由，解得，所以，又因?yàn)椋?，整理得，所以，即，解得離心率或（舍去），故答案為：.16.已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，經(jīng)研究：“在平面直角坐標(biāo)系中，軸是函數(shù)的圖象的漸近線”．若方程有六個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出的大致圖象，設(shè)，則，設(shè)的兩根為，可知，且，列式求解即可.【詳解】，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取極小值；當(dāng)時(shí)，取極大值，當(dāng)或時(shí)，.作出的大致圖象，如圖，設(shè)，則，設(shè)的兩根為，可知，且，有得，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，．（1）證明：；（2）若，求的面積．【答案】（1）證明見解析（2）6【解析】【分析】小問1：證法一：運(yùn)用余弦定理可證，證法二：利用正弦定理可證；小問2：由余弦定理求得，結(jié)合三角形面積公式可求結(jié)果．【小問1詳解】（1）證法一：∵，∴，由余弦定理可得．則，，∴．證法二：∵，由正弦定理得，∴，可得，所以由正弦定理可得．【小問2詳解】（2）由余弦定理可得．∴，∴，∵，A為三角形內(nèi)角，∴，∴．18.如圖，在長方體中，，是的中點(diǎn)，且.（1）求的長;（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先證明，結(jié)合條件，根據(jù)線面垂直判定定理和性質(zhì)定理證明，再證明，由相似性質(zhì)求；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求直線的方向向量與平面的方向向量，結(jié)合向量夾角公式求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】連接，在長方體中，平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，所以，又，所以，又，所以，所以，又，，解得所以；【小問2詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，則為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等差數(shù)列的公差為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用當(dāng)時(shí)，，可求得，進(jìn)而求得數(shù)列公差為，再由，解得，從而求得數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即得所求【小問1詳解】由可得，當(dāng)時(shí)，則所以即數(shù)列的公差為，又所以，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通頂公式為；【小問2詳解】由（1）可知，，所以.20.有甲、乙兩個(gè)袋子，甲袋中有2個(gè)白球2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球2個(gè)紅球，從甲袋中隨機(jī)取出一球與乙袋中隨機(jī)取出一球進(jìn)行交換．（1）一次交換后，求乙袋中紅球與白球個(gè)數(shù)不變的概率；（2）二次交換后，記X為“乙袋中紅球的個(gè)數(shù)”，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）分甲乙交換的均是紅球，甲乙交換的均是白球，兩種情況討論即可得解；（2）寫出隨機(jī)變量X的所有可能取值，先分別求出一次交換后，乙袋中有2個(gè)白球2個(gè)紅球，乙袋中有1個(gè)白球3個(gè)紅球，乙袋中有3個(gè)白球1個(gè)紅球的概率，從而可求得對于隨機(jī)變量的概率，寫出分布列，根據(jù)期望公式即可求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）甲乙交換的均是紅球，則概率為，甲乙交換的均是白球，則概率為，所以乙袋中紅球與白球個(gè)數(shù)不變的概率為；（2）X可取0，1，2，3，4，由（1）得，一次交換后，乙袋中有2個(gè)白球2個(gè)紅球的概率為，乙袋中有1個(gè)白球3個(gè)紅球的概率為，乙袋中有3個(gè)白球1個(gè)紅球的概率為，則，，，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為X01234P所以數(shù)學(xué)期望.21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，短軸長為2.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)D為橢圓C的下頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的動點(diǎn)，直線AP與直線BD相交于點(diǎn)M，直線BP與直線AD相交于點(diǎn)N.證明：直線MN與x軸垂直.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)短軸長和離心率得到，，，得到橢圓方程.（2）確定各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，計(jì)算各直線的方程，得到的橫坐標(biāo)，作差為0得到證明.【小問1詳解】設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意有：，解得，，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.小問2詳解】點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，有，可得，直線BD的方程為，整理為；直線AD的方程為，整理為；直線AP的方程為；聯(lián)立方程，解得，M的橫坐標(biāo)為，直線BP的方程為，聯(lián)立方程，解得：，N的橫坐標(biāo)為，，故點(diǎn)M和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)相等，可得直線MN與x軸垂直.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程，橢圓中的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中將直線與的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)相等是解題的關(guān)鍵.22.設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)底數(shù)，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：