2024年初中升學(xué)考試專題復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（按知識(shí)點(diǎn)分類）命題與定理

命題與定理47．（2023?重慶）在學(xué)習(xí)了平行四邊形的相關(guān)知識(shí)后，小虹進(jìn)行了拓展性研究，她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對(duì)角線的垂直平分線，那么這條垂直平分線在該四邊形內(nèi)部的線段被這條對(duì)角線平分．其解決問題的思路為通過證明對(duì)應(yīng)線段所在兩個(gè)三角形全等即可得出結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖和填空：用直尺和圓規(guī)作平行四邊形ABCD對(duì)角線AC的垂直平分線，交DC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，垂足為O．（只保留作圖痕跡）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對(duì)角線，EF垂直平分AC，垂足為O．求證：EO＝FO．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴EO＝FO．再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的所有與該四邊形一組對(duì)邊相交所得的線段均具備此特征，請(qǐng)你依照題目中的相關(guān)表述完成下面命題的填空：過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分．【考點(diǎn)】命題與定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；作圖—復(fù)雜作圖．【分析】根據(jù)要求畫出圖形，證明△COE≌△AOF（ASA），可得結(jié)論．【解答】解：圖形如圖所示：理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO，∵EF垂直平分AC，∴AO＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴EO＝FO．再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的所有與該四邊形一組對(duì)邊相交所得的線段均具備此特征，所以過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分，故答案為：∠FAO，OA＝OC，∠FOA，過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題與定理，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題．48．（2023?重慶）學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究．她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對(duì)角線的垂直平分線，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分．她的解決思路是通過證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論．請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：用直尺和圓規(guī)，作AC的垂直平分線交DC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，垂足為點(diǎn)O．（只保留作圖痕跡）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對(duì)角線，EF垂直平分AC，垂足為點(diǎn)O．求證：OE＝OF．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，過平行四邊形對(duì)角線AC中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對(duì)邊相交形成的線段均有此特征．請(qǐng)你依照題意完成下面命題：過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被一組對(duì)邊截得的線段被對(duì)角線的中點(diǎn)平分．【考點(diǎn)】命題與定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；作圖—復(fù)雜作圖．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF；過平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被一組對(duì)邊截得的線段被對(duì)角線的中點(diǎn)平分，故答案為：∠FAO；OA＝OC；∠FOA；被一組對(duì)邊截得的線段被對(duì)角線的中點(diǎn)平分．【點(diǎn)評(píng)】此題考查命題與定理，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．命題與定理46．（2023?岳陽）下列命題是真命題的是（）A．同位角相等 B．菱形的四條邊相等 C．正五邊形是中心對(duì)稱圖形 D．單項(xiàng)式5ab2的次數(shù)是4【答案】B【分析】利用平行線的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、正多邊形的對(duì)稱性及單項(xiàng)式的有關(guān)定義分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：A、兩直線平行，同位角相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；B、菱形的四條邊相等，正確，是真命題，符合題意；C、正五邊形不是中心對(duì)稱圖形，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；D、單項(xiàng)式5ab2的次數(shù)是3，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解有關(guān)的定義及定理，難度不大．命題與定理45．（2023?常德）下列命題正確的是（）A．正方形的對(duì)角線相等且互相平分 B．對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形 C．矩形的對(duì)角線互相垂直 D．一組鄰邊相等的四邊形是菱形【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)、菱形的判定定理判斷即可．【解答】解：A、正方形的對(duì)角線相等且互相平分，命題正確，符合題意；B、對(duì)角互補(bǔ)的四邊形不一定是平行四邊形，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；C、矩形的對(duì)角線相等，不一定互相垂直，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；D、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．46．（2023?綏化）下列命題中敘述正確的是（）A．若方差s甲2＞s乙2，則甲組數(shù)據(jù)的波動(dòng)較小 B．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離 C．三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心 D．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上【答案】D【分析】直接利用方差的意義以及點(diǎn)到直線的距離、重心、角平分線的性質(zhì)分別分析得出答案．【解答】解：A．若方差s甲2＞s乙2，則乙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)較小，故此選項(xiàng)不合題意；B．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，故此選項(xiàng)不合題意；C．三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，故此選項(xiàng)不合題意；D．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了方差的意義以及點(diǎn)到直線的距離、重心、角平分線的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．命題與定理42．（2023?達(dá)州）下列命題中，是真命題的是（）A．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則△ABC是直角三角形【考點(diǎn)】命題與定理；軸對(duì)稱圖形；線段垂直平分線的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)；菱形的判定．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念、菱形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、直角三角形的概念判斷即可．【解答】解：A、平行四邊形不一定是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；B、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)說法是假命題，不符合題意；C、到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距