2022-2023學年山東省濟南市長清第一中學高二數(shù)學文下學期摸底試題含解析

2022-2023學年山東省濟南市長清第一中學高二數(shù)學文下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知數(shù)列{an}前n項的和Sn=an2+bn(a≠0)是數(shù)列{an}成等差數(shù)列的（）

A，充分非必要條件，

B必要非充分條件

C，充要條件

D，既非充分又非必要條件參考答案：A略2.在等差數(shù)列{an}中，a1=2，a3+a5=10，則a7=（）A．5 B．8 C．10 D．14參考答案：B【考點】84：等差數(shù)列的通項公式．【分析】由題意可得a4=5，進而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值計算即可．【解答】解：∵在等差數(shù)列{an}中a1=2，a3+a5=10，∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，∴公差d==1，∴a7=a1+6d=2+6=8故選：B3.已知可導函數(shù)，則當時，大小關系為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.用數(shù)學歸納法證明不等式時的過程中，由到時，不等式的左邊 （）A．增加了一項

B．增加了兩項C．增加了兩項，又減少了一項D．增加了一項，又減少了一項參考答案：C略5.已知為不相等的正數(shù)，，則A、B的大小關系（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A6.若直線與直線垂直，則實數(shù)A.3

B.0

C.

D.參考答案：D7.設a∈R，則a＞1是＜1的（）A．必要但不充分條件 B．充分但不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】不等關系與不等式；充要條件．【分析】根據(jù)由a＞1，一定能得到＜1．但當＜1時，不能推出a＞1（如a=﹣1時），從而得到結論．【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但當＜1時，不能推出a＞1（如a=﹣1時），故a＞1是＜1的充分不必要條件，故選

B．【點評】本題考查充分條件、必要條件的定義，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．8.函數(shù)的遞減區(qū)間是

（A）（）（B）（）（C）（）

（D）（）參考答案：D9.已知橢圓的焦點為，，在長軸上任取一點，過作垂直于的直線交橢圓于點，則使得的點的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.若集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，則A∩B(

)A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（1，+∞）參考答案：C【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域；交集及其運算．【專題】計算題；函數(shù)的性質及應用；集合．【分析】求出A中不等式的解集確定出A，求出B中x的范圍確定出B，找出A與B的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），由B中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B=（1，+∞），則A∩B=（1，2），故選：C．【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在三棱錐P—ABC中,,,,則兩直線PC與AB所成角的大小是______.參考答案：略12.雙曲線的兩條準線間的距離為________.參考答案：13.若向量，則__________________。參考答案：

解析：，14.一船以每小時15km的速度向東航行,船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°，行駛４h后，船到達C處，看到這個燈塔在北偏東15°，這時船與燈塔的距離為__

__km.參考答案：15.已知為實數(shù)，直線，直線，若，則

；若，則

．參考答案：4，－916.某市有A、B、C三所學校共有高二學生1500人，且A、B、C三所學校的高二學生人數(shù)成等差數(shù)列，在進行全市聯(lián)考后，準備用分層抽樣的方法從所有高二學生中抽取容量為120的樣本進行成績分析，則應從B校學生中抽取________人.

參考答案：40略17.的展開式中項的系數(shù)是

.（用數(shù)字作答）參考答案：40三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一負根的充要條件．參考答案：若方程有一正根和一負根，等價于a＜0

若方程有兩負根，等價于0＜a≤1綜上可知，原方程至少有一負根的必要條件是a＜0或0＜a≤1由以上推理的可逆性，知當a＜0時方程有異號兩根；當0＜a≤1時，方程有兩負根.故a＜0或0＜a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一負根的充分條件.所以ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一負根的充要條件是a＜0或0＜a≤19.（本小題共12分）在平面直角坐標系中，點P到兩點，的距離之和等于4，設點P的軌跡為．（Ⅰ）寫出C的方程；（Ⅱ）設直線與C交于A，B兩點．k為何值時？此時的值是多少？參考答案：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸，故曲線C的方程為．4分（Ⅱ）設，其坐標滿足ks5u消去y并整理得，ks5u故． 6分，即．而，ks5u于是．所以時，，故． 9分當時，，．，而，所以．

…………12分20.如圖，已知直線l1：kx+y=0和直線l2：kx+y+b=0（b＞0），射線OC的一個法向量為=（﹣k，1），點O為坐標原點，且k≥0，直線l1和l2之間的距離為2，點A、B分別是直線l1、l2上的動點，P（4，2），PM⊥l1于點M，PN⊥OC于點N；（1）若k=1，求|OM|+|ON|的值；（2）若|+|=8，求?的最大值；（3）若k=0，AB⊥l2，且Q（﹣4，﹣4），試求|PA|+|AB|+|BQ|的最小值．參考答案：【考點】向量在幾何中的應用．【分析】（1）若k=1，則可得|OM|=．|ON|=3，進而得到|OM|+|ON|的值；（2）若|+|=8，利用柯西不等式可得≤32；（3）若k=0，AB⊥l2，且Q（﹣4，﹣4），|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2，當且僅當B取點（0，﹣2）時，|BM|+|QB|取得最小值．【解答】解：（1）∵k=1．∴射線OC的一個法向量為=（﹣1，1），∴射線OC的斜率為1，射線OC的方程為：y=x（x≥0）．∴|PN|==，|OP|==2，∴|ON|==3．直線l1：x+y=0，|PM|==3，∴|OM|==．∴|OM|+|ON|=4．（2）k≥0，b＞0，直線l1和l2之間的距離為2，∴=2，化為：b2=4（k2+1）．設A（m，﹣km），B（n，﹣kn﹣b）．∵P（4，2），|+|=8，∴=（m+n﹣8，﹣km﹣kn﹣b﹣4），則（m+n﹣8）2+（km+kn+b+4）2=64≥2（m﹣4）（n﹣4）+2（km+2）（kn+b+2），=（m﹣4）（n﹣4）+（﹣km﹣2）（﹣kn﹣b﹣2）=（m﹣4）（n﹣4）+（km+2）（kn+b+2）≤32，故?的最大值為32；（3）k=0，直線l1：y=0，直線l2：y+2=0，如圖所示．作出點P關于直線y=﹣1的對稱點M（4，﹣4），則|PA|=|BM|．設B（x，﹣2）．∴|PA|+|AB|+|BQ|=|BM|+|QB|+2=++2，同理由對稱性可得：當且僅當B取點（0，﹣2）時，|BM|+|QB|取得最小值2=4．∴|PA|+|AB|+|BQ|的最小值為4+2．21.已知數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=3an﹣2（n∈N+）（1）求證：數(shù)列{an﹣1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1），求數(shù)列{}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等比數(shù)列的通項公式．【分析】（I）由an+1=3an﹣2（n∈N+），變形為an+1﹣1=3（an﹣1），即可證明．（II）由（I）可得log3（an﹣1）=n．可得bn=1+2+…+n=．可得==2．利用“裂項求和”即可得出．【解答】（I）證明：∵an+1=3an﹣2（n∈N+），∴an+1﹣1=3（an﹣1），∴數(shù)列{an﹣1}為等比數(shù)列，a1﹣1=3．∴an﹣1=3n，∴．（II）解：由（I）可得log3（an﹣1）=n．∴bn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1）=1+2+…+n=．∴==2．∴數(shù)列{}的前n項和Tn=+…+==．22.已知函數(shù)f（x）=ax﹣lnx（a∈R）．（1）當a=1時，求f（x）的最小值；（2）已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，存在x∈[，e]，使得f（x）=1成立，求a的取值范圍；（3）若對任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；（2）得到a=+，設g（x）=+，x∈[，e]，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可；（3）問題轉化為a（x﹣）﹣2lnx≥0，令h（x）=a（x﹣）﹣2lnx，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出a的范圍即可．【解答】解：（1）a=1時，f（x）=x﹣lnx，則f'（x）=1﹣=，令f'（x）=0，則x=1．

…當0＜x＜1時，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上單調遞減；當x＞1時，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上單調遞增，…所以當x=1時，f（x）取到最小值，最小值為1．

…（2）因為f（x）=1，所以ax﹣lnx=1，即a=+，…設g（x）=+，x∈[，e]，則g'（x）=，令g'（x）=0，得x=1．當＜x＜1時，g'（x）＞0，所以g（x）在（，1）上單調遞增；當1＜x＜e時，g'（x）＜0，所以g（x）在（1，e）上單調遞減；

…因為g（1）=1，g（）=0，g（e）=，所以函數(shù)g（x）的值域是[0，1]，所以a的取值范圍是[0，1]．

…（3）對任意的x∈[1，+∞），有f（x）≥f（）成立，則ax﹣lnx≥+lnx，即a（x﹣）﹣2lnx≥0．令h（x）=a（x﹣）﹣2lnx，則h'（x）=a（1+）﹣=，①當a≥1時，ax2﹣2x+a=a（x﹣）2+≥0，所以h'（x）≥0，因此h（x）在[1，+∞）上單調遞增，所以x∈[1，+∞）時，恒有h（x）≥h（1）