2022年湖南省長沙市中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022年湖南省長沙市中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知橢圓，長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】先把橢圓方程轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)焦距求得m．【解答】解：將橢圓的方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，顯然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故選D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．要求學(xué)生對(duì)橢圓中對(duì)長軸和短軸即及焦距的關(guān)系要明了．2.若，為實(shí)數(shù)，且，則的最小值為

（

）A.18

B.6

C.

D.參考答案：A3.直線過點(diǎn)，則直線的斜率等于()A．B．

C.

D．參考答案：D略4.“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線”的(

)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】證明題．【分析】根據(jù)充分必要條件的定義進(jìn)行判斷：若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；若p?q，則p是q的充分必要條件．【解答】解：（1）mn＜0?m＞0，n＜0或m＜0，n＞0．若m＞0，n＜0，則方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；若m＜0，n＞0，則方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；所以由mn＜0不能推出方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，即不充分．（2）若方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則m＜0，n＞0，所以mn＜0，即必要．綜上，“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線”的必要不充分條件．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程形式與充分必要條件的判斷，關(guān)鍵在于掌握二元二次方程mx2+ny2=1表示雙曲線條件．5.函數(shù)的圖象上關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)共有

A.1對(duì) B.2對(duì)

C.3對(duì)

D.4對(duì)參考答案：C6.對(duì)于大于1的自然數(shù)的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：，，，…，仿此，若的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是61，則的值是（

）

A.6

B.7

C.8

D.9參考答案：C7.定積分(2x＋ex)dx的值為()A．e＋2

B．e＋1

C．e

D．e－1參考答案：C8.已知等比數(shù)列中，，則等于()A．7

B．8

C．9

D．10參考答案：C9.一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了ξ次球，則P（ξ=12）等于（）A．C1210（）10?（）2 B．C119（）9（）2?C．C119（）9?（）2 D．C119（）9?（）2參考答案：B【考點(diǎn)】CA：n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率．【分析】根據(jù)題意，P（ξ=12）表示第12次為紅球，則前11次中有9次為紅球，由n次獨(dú)立重復(fù)事件恰好發(fā)生k次的概率，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，P（ξ=12）表示第12次為紅球，則前11次中有9次為紅球，從而P（ξ=12）=C119?（）9（）2×，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查n次獨(dú)立重復(fù)事件恰好發(fā)生k次的概率，解本題須認(rèn)真分析P（ξ=12）的意義．10.已知函數(shù)的圖象與直線y＝x恰有三個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A、（－，－1］B、［－1，2）C、［－1，2］D、［2，＋）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知p：|4－|≤6,

q：

(m>0)，若是的充分而不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．參考答案：［9，+∞略12.已知是橢圓的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上(異于)，直線，的斜率分別為；則______

__．參考答案：13.平面α與平面β相交成銳角θ，平面α內(nèi)一個(gè)圓在平面β上的射影是離心率為的橢圓，則角θ等于____弧度。參考答案：略14.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為

米．參考答案：2【考點(diǎn)】拋物線的應(yīng)用．【分析】先建立直角坐標(biāo)系，將A點(diǎn)代入拋物線方程求得m，得到拋物線方程，再把y=﹣3代入拋物線方程求得x0進(jìn)而得到答案．【解答】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2=my，將A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面寬為2m．故答案為：2．15.函數(shù)f（x）=2x3﹣3x2+a的極大值為6，則a=

．參考答案：6【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】令f′（x）=0，可得x=0或x=1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)在x=0和x=1兩側(cè)的符號(hào)，判斷故f（0）為極大值，從而得到f（0）=a=6．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=2x3﹣3x2+a，∴導(dǎo)數(shù)f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0或x=1，導(dǎo)數(shù)在x=0的左側(cè)大于0，右側(cè)小于0，故f（0）為極大值，∴f（0）=a=6．導(dǎo)數(shù)在x=1的左側(cè)小于0，右側(cè)大于0，故f（1）為極小值．

故答案為：6．16.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則其漸近線方程為

．參考答案：略17.若滿足約束條件則的最大值為

．參考答案：9三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知命題p：實(shí)數(shù)x滿足x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足．

（Ⅰ）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：（1）命題p：實(shí)數(shù)x滿足x2-5ax+4a2＜0，其中a＞0，a＜x＜4a，解集A=（a，4a），命題q：實(shí)數(shù)x滿足，解得2＜x≤4．解集B=（2，4]，a=1，且p∧q為真，則A∩B=（1，4）∩（2，4]=（2，4），∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（2，4）．（2）￢p：（-∞，a]∪[4a，+∞），￢q：（-∞，2]∪（4，+∞）．若￢p是￢q的充分不必要條件，則，解得1≤a≤2．又當(dāng)a=1時(shí)不成立∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，2]．

19.

在數(shù)列中，.

（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；

（3）設(shè)，求不超過的最大整數(shù)的值.參考答案：（1）證明：由已知得：，即所以數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，……2分

從而

……4分（2）解：……5分所以

……………①

，，……………②由①②，得．所以．

……………9分（3），……11分所以，不超過的最大整數(shù)為2013．

………………14分略20.（本小題滿分12分）甲、乙等五名奧運(yùn)志愿者被隨機(jī)地分到四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人不在同一個(gè)崗位服務(wù)的概率；（Ⅲ）設(shè)隨機(jī)變量為這五名志愿者中參加崗位服務(wù)的人數(shù)，可取何值？請求出相應(yīng)的值的分布列．參考答案：解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)為事件，那么，即甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率是．

…………4分

（Ⅱ）記甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件，那么，所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是．

…………8分

（Ⅲ）隨機(jī)變量可能取的值為1，2．事件“”是指有兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)，則．所以

…………12分

略21.已知圓O：x2+y2=2，直線l：y=kx﹣2．（1）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)∠AOB=時(shí)，求k的值．（2）若，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，探究：直線CD是否過定點(diǎn)；（3）若EF、GH為圓O：x2+y2=2的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），求四邊形EGFH的面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；兩點(diǎn)間的距離公式．【分析】（1）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合點(diǎn)O到l的距離，可求k的值；（2）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，C、D在圓O：x2+y2=2上可得直線C，D的方程，即可求得直線CD是否過定點(diǎn)；（3）設(shè)圓心O到直線EF、GH的距離分別為d1，d2．則，表示出四邊形EGFH的面積，利用基本不等式，可求四邊形EGFH的面積最大值．【解答】解：（1）∵∠AOB=，∴點(diǎn)O到l的距離…∴=?，∴…（2）由題意可知：O、P