北京海淀區(qū)明光中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

北京海淀區(qū)明光中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時

且的解集為 （

） A．（－2，0）∪（2，+∞） B．（－2，0）∪（0，2） C．（－∞，－2）∪（2，+∞） D．（－∞，－2）∪（0，2）

參考答案：A略2.甲、乙兩名同學(xué)在5次體育測試中的成績統(tǒng)計如下左圖的莖葉圖所示,若甲、乙兩人的平均成績分別是X甲、X乙,則下列結(jié)論正確的是()A.X甲<X乙；乙比甲成績穩(wěn)定

B.X甲>X乙；甲比乙成績穩(wěn)定C.X甲>X乙；乙比甲成績穩(wěn)定

D.X甲<X乙；甲比乙成績穩(wěn)定參考答案：AX甲=81X乙=86.83.若點P(1,1)為圓的弦MN的中點，則弦MN所在直線方程為()A．2x＋y－3＝0

B．x－2y＋1＝0

C．x＋2y－3＝0

D．2x－y－1＝0參考答案：D4.“方程表示雙曲線”的一個充分不必要條件是(

)A．

B．或

C．

D．

參考答案：D5.已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C6.命題p：函數(shù)在(1,+∞)上是增函數(shù).命題q：直線在軸上的截距大于0.若為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得命題為真命題時，，命題為真命題時，，再根據(jù)為真命題，即都是真命題，即可求解.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在是增函數(shù)，則，即，即命題為真命題時，則；由直線在軸上的截距為，因為截距大于0，即，即命題為真命題時，則；又由為真命題，即都是真命題，所以實數(shù)的取值范圍是，故選D.【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、直線的截距，以及簡單的復(fù)合命題的真假判定與應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.方程ax2+2x+1=0至少有一個負(fù)的實根的充要條件是（）A．0＜a≤1 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)≤1 D．0＜a≤1或a＜0參考答案：C【考點】一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．【分析】首先，對二次項系數(shù)分為0和不為0兩種情況討論，然后在二次項系數(shù)不為0時，分兩根一正一負(fù)和兩根均為負(fù)值兩種情況，最后將兩種情況綜合在一起找到a所滿足的條件a≤1，再利用上述過程可逆，就可以下結(jié)論充要條件是a≤1．【解答】解：①a≠0時，顯然方程沒有等于零的根．若方程有兩異號實根，則由兩根之積小于0可得a＜0；若方程有兩個負(fù)的實根，則必有，故0＜a≤1．②若a=0時，可得x=﹣也適合題意．綜上知，若方程至少有一個負(fù)實根，則a≤1．反之，若a≤1，則方程至少有一個負(fù)的實根，因此，關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0至少有一負(fù)的實根的充要條件是a≤1．故選C．8.如果數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－3，那這個數(shù)列的通項公式是()A．a(chǎn)n＝2(n2＋n＋1)

B．a(chǎn)n＝3·2nC．a(chǎn)n＝3n＋1

D．a(chǎn)n＝2·3n

參考答案：D略9.從一點P引三條射線PA、PB、PC且兩兩成角，則二面角A-PB-C的余弦值是（）A

B

C

D

參考答案：A10.設(shè)AB=6，在線段AB上任取兩點（端點A、B除外），將線段AB分成了三條線段，（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率；（2）若分成的三條線段的長度均為正實數(shù)，求這三條線段可以構(gòu)成三角形的概率．參考答案：【考點】CB：古典概型及其概率計算公式；CF：幾何概型．【分析】（1）本題是一個古典概型，若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能為：1，1，4；1，2，3；2，2，2共3種情況，其中只有三條線段為2，2，2時能構(gòu)成三角形，得到概率．（2）本題是一個幾何概型，設(shè)出變量，寫出全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域，和滿足條件的事件對應(yīng)的區(qū)域，注意整理三條線段能組成三角形的條件，做出面積，做比值得到概率．【解答】解：（1）若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能為：1，1，4；1，2，3；1，3，2；1，4，1；2，1，3；2，2，2；2，3，1；3，1，2；3，2，1；4，1，1共10種情況，其中只有三條線段為2，2，2時能構(gòu)成三角形則構(gòu)成三角形的概率p=．（2）由題意知本題是一個幾何概型設(shè)其中兩條線段長度分別為x，y，則第三條線段長度為6﹣x﹣y，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為：0＜x＜6，0＜y＜6，0＜6﹣x﹣y＜6，即為0＜x＜6，0＜y＜6，0＜x+y＜6所表示的平面區(qū)域為三角形OAB；若三條線段x，y，6﹣x﹣y，能構(gòu)成三角形，則還要滿足，即為，所表示的平面區(qū)域為三角形DEF，由幾何概型知所求的概率為：P==二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在二項式的展開式中，各項系數(shù)之和為A，各項二項式系數(shù)之和為B，且A+B=72，則

參考答案：312.如圖，已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點恰好是橢圓的右焦點F，且兩條曲線的交點連線也過焦點F，則該橢圓的離心率為

▲

．參考答案：－1 13.已知是橢圓上的一點，是橢圓的兩個焦點，當(dāng)時，則的面積為

.參考答案：14.將二進(jìn)制數(shù)101101(2)化為八進(jìn)制數(shù)，結(jié)果為____________.參考答案：55(8)略15.與曲線關(guān)于直線對稱的曲線的極坐標(biāo)方程是

參考答案：16.曲線在點處的切線的斜率是_______；參考答案：略17.已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，則異面直線BD1與AC所成角的余弦值為．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AC與BD1所成角的余弦值．【解答】解：建立如圖坐標(biāo)系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，AA1=5，∴D1（0，0，5），B（3，4，0），A（3，0，0），C（0，4，0），∴=（﹣3，﹣4，5），=（﹣3，4，0）．∴cos＜，＞==﹣．∴AC與BD1所成角的余弦值．故答案為：．【點評】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線l的極坐標(biāo)方程為，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（Ⅰ）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;（Ⅱ）若過且與直線l垂直的直線與曲線C相交于兩點A，B，求.參考答案：（Ⅰ），（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得直線的直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)，即可求得曲線的普通方程；（Ⅱ）求得直線的參數(shù)方程，代入橢圓的方程，利用直線參數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】（Ⅰ）由直線極坐標(biāo)方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可得直線直角坐標(biāo)方程：，由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則，整理得，即橢圓普通方程為．（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為，即（為參數(shù)）把直線的參數(shù)方程代入得：，故可設(shè)，是上述方程的兩個實根，則有又直線過點，故由上式及的幾何意義得：.【點睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化，以及直線參數(shù)的應(yīng)用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．19.（本題滿分12分）如圖，空間四邊形中，，是與的公垂線段，且．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成的角的大?。畢⒖即鸢福海?）由已知可得平面．又中，知，又為在平面內(nèi)的射影，（2）連結(jié)，作于，連結(jié)．由知，平面，[學(xué)優(yōu)高考網(wǎng)gkstk]所以平面平面，又，平面故與平面所成的角為．≌，又為等邊三角形．記，則．在中，，故在中，，故與平面所成的角為．20.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，，，平面ABCD，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．參考答案：(Ⅰ)證明：因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又CB＝CD，所以∠CDB＝30°.因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.…………3分又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，所以BD⊥平面AED.…………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直．以C為坐標(biāo)原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)CB＝1，21.已知曲線．（1）求曲線過點P（2，4）的切線方程；（2）求滿足斜率為1的曲線的切線方程．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）設(shè)切點為（m，n），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，切線的方程，代入點P坐標(biāo)，解方程可得切點的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線的方程；（2）設(shè)出切點，可得切線的斜率，求得切點的橫坐標(biāo)，由點斜式方程即可得到所求切線的方程．【解答】解：（1）設(shè)切點為（m，n），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′=x2，可得切線的斜率為k=m2，切線的方程為y﹣n=m2（x﹣m），即為y﹣m3﹣=m2（x﹣m），代入點P，可得4﹣m3﹣=m2（2﹣m），化簡為m3﹣3m2+4=0，解得m=﹣1或2，即有切線的斜率為1或4，可得切線的方程為y=4x﹣4或y=x+2：（2）設(shè)切點為（x0，y0），可得切線的斜率為k=x02=1，解得x0=±1，切點為（1，），（﹣1，1），所求切線的方程為y﹣=x﹣1或y﹣1=x+1，即有3x﹣3y+2=0或x﹣y+2=0．22.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC，PC的中點．（1）證明：AE⊥平面PAD；（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．參考答案：【考點】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）通過證明AE⊥BC．PA⊥AE．說明PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，利用直線與平面垂直的判定定理證明AE⊥平面PAD．（2）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點，連結(jié)AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．（法一）在Rt△ESO中，求出cos∠ESO的值即可．（法二）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面AEF的一個法向量為，求出平面AFC的一個法向量，利用二面角公式求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．∵E為BC的中點，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．（2）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點，連結(jié)AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴當(dāng)AH最短時，∠EHA最大，即當(dāng)AH⊥PD時，∠EHA最大．此時tan∠EHA===，因此AH=1．又AD=2，∴∠ADH=30°，∴PA=ADtan30°=．（8分）（法一）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連結(jié)ES，則∠ESO為二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=．又F是PC的中點，如圖，PC==，∴AF=PC=，sin∠SAO==，在Rt△ASO中，SO=AO?sin∠SAO=，∴SE===，在Rt△ESO中，cos∠ESO===，即所求二面角的余弦值為．（12分）（法二）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，