初中數(shù)學(xué)120大招-38 幾何模型平行四邊形的存在性問題

平行四邊形存在性問題一、方法突破考慮到求證平行四邊形存在，必先了解平行四邊形性質(zhì)：（1）對應(yīng)邊平行且相等；（2）對角線互相平分．這是圖形的性質(zhì)，我們現(xiàn)在需要的是將其性質(zhì)運(yùn)用在在坐標(biāo)系中：（1）對邊平行且相等可轉(zhuǎn)化為：，可以理解為點(diǎn)B移動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D，移動(dòng)路徑完全相同．（2）對角線互相平分轉(zhuǎn)化為：，可以理解為AC的中點(diǎn)也是BD的中點(diǎn)．【小結(jié)】雖然由兩個(gè)性質(zhì)推得的式子并不一樣，但其實(shí)可以化為統(tǒng)一：，→．當(dāng)AC和BD為對角線時(shí)，結(jié)果可簡記為：（各個(gè)點(diǎn)對應(yīng)的橫縱坐標(biāo)相加）以上是對于平行四邊形性質(zhì)的分析，而我們要求證的是平行四邊形存在性問題，此處當(dāng)有一問：若坐標(biāo)系中的4個(gè)點(diǎn)A、B、C、D滿足“A+C=B+D”，則四邊形ABCD是否一定為平行四邊形？反例如下：之所以存在反例是因?yàn)椤八倪呅蜛BCD是平行四邊形”與“AC、BD中點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)”并不是完全等價(jià)的轉(zhuǎn)化，故存在反例．雖有反例，但并不影響運(yùn)用此結(jié)論解題，另外，還需注意對對角線的討論：（1）四邊形ABCD是平行四邊形：AC、BD一定是對角線．（2）以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)是四邊形是平行四邊形：對角線不確定需要分類討論．【題型分類】平行四邊形存在性問題通?？煞譃椤叭ㄒ粍?dòng)”和“兩定兩動(dòng)”兩大類問題．三定一動(dòng)已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐標(biāo)系內(nèi)確定點(diǎn)D使得以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．思路1：利用對角線互相平分，分類討論：設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得：（1）BC為對角線時(shí)，，可得；（2）AC為對角線時(shí)，，解得；（3）AB為對角線時(shí)，，解得．當(dāng)然，如果對這個(gè)計(jì)算過程非常熟悉的話，也不用列方程解，直接列算式即可．比如：，，．（此處特指點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相加減）兩定兩動(dòng)已知A（1，1）、B（3，2），點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，且以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求C、D坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，n），又A（1，1）、B（3，2）．（1）當(dāng)AB為對角線時(shí)，，解得，故C（4，0）、D（0，3）；（2）當(dāng)AC為對角線時(shí)，，解得，故C（2，0）、D（0，-1）；（3）當(dāng)AD為對角線時(shí)，，解得，故C（-2，0）、D（0，1）．【動(dòng)點(diǎn)綜述】“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣，“三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中，橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個(gè)字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動(dòng)點(diǎn)”，而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸或者直線或者拋物線上，用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱為“半動(dòng)點(diǎn)”．從上面例子可以看出，雖然動(dòng)點(diǎn)數(shù)量不同，但本質(zhì)都是在用兩個(gè)字母表示出4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)．若把一個(gè)字母稱為一個(gè)“未知量”也可理解為：全動(dòng)點(diǎn)未知量=半動(dòng)點(diǎn)未知量×2．找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個(gè)未知量．究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角線互相平分．但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式：，兩個(gè)等式，只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問題最多只能存在2個(gè)未知量．由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì)，由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問題．二、典例精析例一：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線與直線都經(jīng)過、兩點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為C．（1）求此拋物線和直線AB的解析式；（2）設(shè)直線AB與該拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，在射線EB上是否存在一點(diǎn)M，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【分析】（1）拋物線：，直線AB：；（2）考慮EC∥MN，故若使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形，則EC=MN即可，∵E（1，-2）、C（1，-4），∴EC=2，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m-3）（m>1），則N點(diǎn)坐標(biāo)為，則MN=由題意得：，，解得：，（舍），對應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)為；，解得：，（舍）．對應(yīng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）．綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為或（2，-1）．例二：【兩定兩動(dòng)：x軸+拋物線】如圖，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在拋物線上，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：；（2）列方程組求：設(shè)P、Q，又B（-1，0）、C（0，-3），若BC為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故對應(yīng)的P（2，-3）；若BP為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故對應(yīng)的P（2，-3）；若BQ為對角線，由題意得：，解得：或，故對應(yīng)的P、．綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3）、、．

例三：【兩定兩動(dòng)：對稱軸+拋物線】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．（1）求該拋物線的解析式，并寫出它的對稱軸；（2）若點(diǎn)為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）拋物線：，對稱軸：直線x=1；（2）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為，N點(diǎn)坐標(biāo)為，又B（3，0）、C（0，2）若BC為對角線，由題意得：，解得：，故M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）；若BN為對角線，由題意得：，解得：，故M點(diǎn)坐標(biāo)為；若BM為對角線，由題意得：，解得：，故M點(diǎn)坐標(biāo)為．綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）、、．

例四：【兩定兩動(dòng)：斜線+拋物線】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)且與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）已知，分別是直線和拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：；（2）設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為，又B（0，2）、O（0，0），①若OB為對角線，由題意得：，解得：或，故E點(diǎn)坐標(biāo)為或；②若OE為對角線，由題意得：，解得：或，故E點(diǎn)坐標(biāo)為或；③若OF為對角線，由題意得：，解得：，故E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）．

例五：【兩定兩動(dòng)：拋物線+拋物線】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)、分別是拋物線、上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形恰為平行四邊形，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【分析】（1）解析式：；（2）雖然兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)均在拋物線上，仍可用設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)的方法求解．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，Q點(diǎn)坐標(biāo)為，又C（0，-3）、A（2，-3），①若CA為對角線，由題意得;，解得：或（舍），故P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，12）；②若CP為對角線，由題意得：，解得：或，故P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）或；③若CQ為對角線，由題意得：，解得：或（舍），故P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，12）、（3，0）、、（-1，0）．例六：【三定一動(dòng)】如圖，已知拋物線交軸于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)坐標(biāo)．【分析】（1）拋物線：；（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），又B（3，0）、C（0，2）、D①若BC為對角線，由題意得：，解得：，故的坐標(biāo)為；②若BD為對角線，由題意得：，解得：，故坐標(biāo)為；③若BP為對角線，由題意得：，解得：，故坐標(biāo)為．綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為、、．三、中考真題對決1．（2021?西藏）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)．與軸交于點(diǎn)．且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐為．（1）求該拋物線的解析式；（3）圖（乙中，若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）將的坐標(biāo)，點(diǎn)的坐代入得：，解得，拋物線的解析式為；（3）存在，理由如下：拋物線對稱軸為直線，設(shè)，，而，，①以、為對角線，則、的中點(diǎn)重合，如圖：，解得，，②以、為對角線，則、的中點(diǎn)重合，如圖：，解得，，③以、為對角線，則、中點(diǎn)重合，如圖：，解得，；綜上所述，的坐標(biāo)為：或或．2．（2021?郴州）將拋物線向左平移1個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位后，得到拋物線．拋物線與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．已知，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（3）如圖2，點(diǎn)是拋物線的對稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上，是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．解：（1）由題意得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線，將代入，得：，解得：，拋物線的表達(dá)式為；（3）①當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，則有，且，如圖2，過點(diǎn)作對稱軸的垂線，垂足為，設(shè)交對稱軸于點(diǎn)，則，在和中，，，，點(diǎn)到對稱軸的距離為3，又，拋物線對稱軸為直線，設(shè)點(diǎn)，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為或；②當(dāng)為平行四邊形的對角線時(shí)，如圖3，設(shè)的中點(diǎn)為，，，，，點(diǎn)在對稱軸上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，根據(jù)中點(diǎn)公式得：，，此時(shí)，；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．3．（2021?梧州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，頂點(diǎn)為．平移此拋物線，得到一條新的拋物線，且新拋物線上的點(diǎn)為原拋物線上點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，新拋物線頂點(diǎn)為，它與軸交于點(diǎn)，連接，，．（1）求原拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）在原拋物線或新拋物線上找一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，并求出點(diǎn)的坐標(biāo)；解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，原來拋物線的解析式為．（2），，點(diǎn)向右平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到，原來拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)向右平移4個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到，，新拋物線的解析式為，，點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，觀察圖形可知，滿足條件的點(diǎn)在過點(diǎn)平行的直線上，直線的解析式為，直線的解析式為，由，解得或（舍棄），，，，，，四邊形是平行四邊形，由平移的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，但是對于新拋物線，時(shí)，，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為．4．（2021?湘西州）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（4）點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）把，代入，得到，解得，；（4）如圖2中，存在．觀察圖象可知，滿足條件的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4或，對于拋物線，當(dāng)時(shí)，，解得或3，．當(dāng)時(shí)，，解得，，，，，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或，或，．5．（2021?黔東南州）如圖，拋物線與軸交