初中數(shù)學(xué)120大招-113 方程思想

方程思想【規(guī)律總結(jié)】方程的思想，是對于一個問題用方程解決的應(yīng)用，也是對方程概念本質(zhì)的認(rèn)識，是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，構(gòu)建方程或方程組，或利用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)換、解決問題。要善用方程和方程組觀點(diǎn)來觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系。當(dāng)一個問題可能與某個方程建立關(guān)聯(lián)時，可以構(gòu)造方程并對方程的性質(zhì)進(jìn)行研究以解決這個問題。【典例分析】例1、如圖所示，以□ABCD的邊CD為斜邊向內(nèi)作等腰直角三角形CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且點(diǎn)E在平行四邊形內(nèi)部，連接AE，BE，則∠AEB的度數(shù)為(????)．A.120° B.135° C.150° D.45°【答案】B【解析】【分析】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程是解決問題的關(guān)鍵．先證明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，設(shè)∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°-2x，∠BAD=2x-45°，由平行四邊形的對角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出結(jié)果．

【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，

∵AD=DE=CE，

∴AD=DE=CE=BC，

∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，

∵∠DEC=90°，

∴∠EDC=∠ECD=45°，

設(shè)∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，

∴∠ADE=180°-2x，∠BCE=180°-2y，

∴∠ADC=180°-2x+45°=225°-2x，∠BCD=225°-2y，

∴∠BAD=180°-(225°-2x)=2x-45°，

∴2x-45°=225°-2y，

∴x+y=135°，

∴∠AEB=360°-135°-90°=135°．

故選B．例2、如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，若BC=5，AC=12，那么點(diǎn)D到AB的距離為__________．【答案】10【解析】【分析】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及點(diǎn)到直線的距離的概念，解題關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理列方程.作DE⊥AB于點(diǎn)E，先證明△BCD≌△BED，得出DE=CD，BE=BC=5，設(shè)DE=CD=x，則AD=12-x，由勾股定理求出AB和AE，然后在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．

【解答】

解：作DE⊥AB于點(diǎn)E，

∵∠C=90°，BD平分∠ABC，

∴∠BED=∠C=90°，∠CBD=∠EBD，

∵BD=BD，

∴△BCD≌△BED，

∴DE=CD，BE=BC=5，

設(shè)DE=CD=x，

則AD=12-x，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=13，

∴AE=AB-BE=13-5=8，

在Rt△ADE中，AD2=DE2+AE2，

∴(12-x)2=x2例3、如圖1，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0,3)、B(-1,0)、D(2,3)，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為E.經(jīng)過點(diǎn)E的直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等的兩部分，與拋物線交于另一點(diǎn)F.點(diǎn)P為直線l上方拋物線上一動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)t何值時，△PFE的面積最大？并求最大值的立方根；

(3)是否存在點(diǎn)P使△PAE為直角三角形？若存在，求出t【答案】解：(1)由題意可得

c=3a-b+c=04a+2b+c=3,

解得a=-1b=2c=3,

∴拋物線解析式為y=-x2+2x+3；

(2)∵A(0,3)，D(2,3)，

∴BC=AD=2，

∵B(-1,0)，

∴C(1,0)，

∴線段AC的中點(diǎn)為(12,32)，

∵直線l將平行四邊形ABCD分割為面積相等兩部分，

∴直線l過平行四邊形的對稱中心，

∵A、D關(guān)于對稱軸對稱，

∴拋物線對稱軸為x=1，

∴E(3,0)，

設(shè)直線l的解析式為y=kx+m，把E點(diǎn)和對稱中心坐標(biāo)代入可得

12k+m=323k+m=0,

解得k=-35m=95,

∴直線l的解析式為y=-35x+95，

聯(lián)立直線l和拋物線解析式可得

y=-35x+95y=-x2+2x+3,

解得x=3y=0或x=-25y=5125,

∴F(-25,5125)，

如圖1，作PH⊥x軸，交l于點(diǎn)M，作FN⊥PH，

∵P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，

∴P(t,-t2+2t+3)，M(t,-35t+95)，

∴PM=-t2+2t+3-(-35t+95)=-t2+135t+65，

∴S△PEF=S△PFM+S△PEM=12PM?FN+12PM?EH

=12PM?(FN+EH)

=12(-t2+135t+65)(3+25)

=-1710(t-【解析】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在(1)中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在(2)中用t表示出△PEF的面積是解題的關(guān)鍵，在(3)中分兩種情況，分別利用等腰直角三角形和相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于t的方程是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大，難度較大．

(1)由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

(2)由A、C坐標(biāo)可求得平行四邊形的中心的坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得直線EF的解析式，作PH⊥x軸，交直線l于點(diǎn)M，作FN⊥PH，則可用t表示出PM的長，從而可表示出△PEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；

(3)由題意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°兩種情況，當(dāng)∠PAE=90°時，作PG⊥y軸，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值；當(dāng)∠APE=90°時，作PK⊥x軸，AQ⊥PK，則可證得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值．

【好題演練】一、選擇題如圖所示，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，E為BC邊的中點(diǎn)，沿AP折疊使D點(diǎn)落在AE上的點(diǎn)H處，連接PH并延長交BC于點(diǎn)F，則EF的長為(????)A.5-252 B.5-52 【答案】A【解析】解：連接AF．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=BC=1，∠B=90°，

∵BE=EC=12，

∴AE=AB2+BE2=52，

由翻折不變性可知：AD=AH=1，∠AHP=∠D=90°，

∴EH=AE-AH=52-1，

∵∠B=∠AHF=90°，AF=AF，AH=AB，

∴Rt△AFB≌Rt△AFH，

∴BF=FH，設(shè)EF=x，則BF=FH=12-x，

在Rt△FEH中，∵EF2=EH2+FH2，

一個角的余角是它的補(bǔ)角的25，這個角的補(bǔ)角是(????A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】

本題綜合考查余角與補(bǔ)角，熟知余角和補(bǔ)角的定義是解答此題的關(guān)鍵，解答此類題一般先用未知數(shù)表示所求角的度數(shù)，再根據(jù)一個角的余角和補(bǔ)角列出代數(shù)式和方程求解；

解答此題首先根據(jù)余角與補(bǔ)角的定義，設(shè)這個角為，則它的余角為，補(bǔ)角為，再根據(jù)題中給出的等量關(guān)系列方程即可求解．

【解答】

解：設(shè)這個角的度數(shù)為x，則它的余角為，補(bǔ)角為，

依題意，得，

解得，

∴這個角的補(bǔ)角是：．

故選D．

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)E在邊CD上，連接BE，將△BCE沿BE疊，若點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處，則CE的長為(????)A.35

B.53

C.34【答案】B【解析】【分析】

設(shè)CE=x，由矩形的性質(zhì)得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°.由折疊的性質(zhì)得出BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x.在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的長度，進(jìn)而求出DF的長度；然后在Rt△DEF中根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，即可解決問題．

本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)、方程思想等知識，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，找準(zhǔn)對應(yīng)邊．

【解答】

解：設(shè)CE=x．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．

∵將△BCE沿BE折疊，使點(diǎn)C恰好落在AD邊上的點(diǎn)F處，

∴BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x．

在Rt△ABF中，由勾股定理得：

AF2=52-32=16，

∴AF=4，DF=5-4=1．

在Rt△DEF中，由勾股定理得：

EF2=DE2在矩形ABCD中(AB<BC)，四邊形ABFE為正方形，G，H分別是DE，CF的中點(diǎn)，將矩形DGHC移至FB右側(cè)得到矩形FBKL，延長GH與KL交于點(diǎn)M，以K為圓心，KM為半徑作圓弧與BH交于點(diǎn)P，古代印度利用這個方法，可以得到與矩形ABCD面積相等的正方形的邊長.若矩形ABCD的面積為16，HP:PF=1:4，則CH的值為(????)A.12 B.1 C.53 D.【答案】C【解析】【分析】

本題考查四邊形的綜合題，主要考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解法．

關(guān)鍵是由HP:PF=1:4，設(shè)HP=x，則PF=4x，HF=5x，由正方形的性質(zhì)得AB=BF=EF=CD=y，再用x、y的代數(shù)式表示KM、KP，在Rt△BKP中，由勾股定理得y=8x，再根據(jù)矩形的面積為16得y(y+10x)=16，把y=8x代入求解即可解答．

【解答】

解：∵在矩形ABCD中(AB<BC)，四邊形ABFE為正方形，

∴AB=BF=EF=CD=y，

∵G，H分別是DE，CF的中點(diǎn)，

∴GH=EF，GH//EF，

∴四邊形GEFH和四邊形GHCD都是矩形，

∴GH=CD=y

∵HP:PF=1:4

∴設(shè)HP=x，則PF=4x，HF=5x，

∵矩形DGHC移至FB右側(cè)得到矩形FBKL，

∴KL=BF=y，F(xiàn)L=CH=5x，

∴四邊形HFLM是正方形，

∴LM=FH=5x，

∵以K為圓心，KM為半徑作圓弧與BH交于點(diǎn)P

∴KM=KP=KL+LM=y+5x，

在Rt△BKP中，由勾股定理得：BK2+BP2=PK2，

∴(5x)2+(y+4x)2=(y+5x)2，整理得16x2=2xy，y=8x，

又∵矩形ABCD的面積為16，

∴y(y+10x)=16，

如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.若AB=8，AC=6，則AE的長為(????)．A.9 B.7 C.5 D.4【答案】B【解析】【分析】此題考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，利用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想求解．連接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可得DE=DF，又由DG⊥BC且平分BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BD=CD，繼而可證得Rt△BED≌Rt△CFD，則可得BE=CF；再證得△AED≌△AFD，即可得AE=AF，然后設(shè)BE=x，由AB-BE=AC+CF，即可得方程8-x=6+x，解方程即可求得答案．【解析】

解：連接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED與Rt△CFD中，BD=CDDE=DF,∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴BE=CF；在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FAD∴△AED≌△AFD(AAS)，∴AE=AF，設(shè)BE=x，則CF=x，∵AB=8，AC=6，AE=AB-BE，AF=AC+CF，∴8-x=6+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB-BE=8-1=7．故選B．如圖四邊形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均為正方形．點(diǎn)A1，A.1 B.1.5 C.2 D.3.5【答案】B【解析】【分析】

此題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．首先設(shè)C1的坐標(biāo)為(a,0)，由四邊形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均為正方形，點(diǎn)B3的坐標(biāo)是(19【解答】

解：設(shè)C1的坐標(biāo)為(a,0)∵四邊形A1B1C1O，A2∴A3的坐標(biāo)是：(19∴A1B1=a，A∵A3在直線∴5∵A∴∠A∵∠A∴△A2A∴A∴a整理得：4a解得：a=254(舍去∴點(diǎn)A1∴b=1②，把②代入①得：k=0.5，∴k+b=1.5．故選B．

二、填空題已知長方形ABCD，AD>AB，AD=10，將兩張邊長分別為a和b(a>b)的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置(圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊)，矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2.當(dāng)S2-S1【答案】7.【解析】【分析】

本題主要考查了列代數(shù)式，整式的混合運(yùn)算，整體思想在整式運(yùn)算中較為常見，適時采用整體思想可使問題簡單化，并且迅速地解決相關(guān)問題，此時應(yīng)注意被看做整體的代數(shù)式通常要用括號括起來．也考查了正方形的性質(zhì)；

解答此題，首先根據(jù)圖形列出S1和S2的代數(shù)式，然后得到S2-S1=b(10-AB)，可得b(10-AB)=3b，即可求出AB的值．

【解答】

解：∵S1=(AB-a)?a+(CD-b)(AD-a)=(AB-a)?a+(AB-b)(AD-a)，

S2=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)，

∴S2-S1

=AB(AD-a)+(a-b)(AB-a)-(AB-a)?a-(AB-b)(AD-a)

=(AD-a)(AB-AB+b)+(AB-a)(a-b-a)

=b?AD-ab-b?AB+ab如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=kx(k>0)分別交反比例函數(shù)y=4x和y=9x在第一象限的圖象于點(diǎn)A，B，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，交y=4x的圖象于點(diǎn)C，連結(jié)AC.若△ABC是等腰三角形，則k的值是【答案】34或【解析】【分析】

聯(lián)立y=kx、y=4x并解得：點(diǎn)A(2k,2k)，同理點(diǎn)B(3k,3k)，點(diǎn)C(3k,43k)，分AB=BC、AC=BC兩種情況分別求解即可．

本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，反比例函數(shù)的應(yīng)用，方程思想，當(dāng)有兩個函數(shù)的時候，著重使用一次函數(shù)，體現(xiàn)了方程思想，綜合性較強(qiáng)．

【解答】

解：聯(lián)立y=kx、y=4x并解得：點(diǎn)A(2k,2k)，同理點(diǎn)B(3k,3k)，

點(diǎn)C(3春節(jié)期間，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四種禮品套餐組合：甲套餐每袋裝有15個A禮盒，10個B禮盒，10個C禮盒；乙套餐每袋裝有5個A禮盒，7個B禮盒，6個C禮盒；丙套餐每袋裝有7個A禮盒，8個B禮盒，9個C禮盒；丁套餐每袋裝有3個A禮盒，4個B禮盒，4個C禮盒，若一個甲套餐售價1800元，利潤率為20%，一個乙和

一個丙套餐一共成本和為1830元，且一個A禮盒的利潤率為25%，問一個丁套餐的利潤率為______.(利潤率=利潤【答案】18.75%【解析】【分析】

本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用、方程思想，屬于較難題．

先由甲套餐售價1800元，利潤率為20%，可求出甲套餐的成本之和為1500元．設(shè)每個A禮盒的成本為x元，每個B禮盒的成本為y元，每個C禮盒的成本為z元，得到方程組，得到x=40，再根據(jù)一個A禮盒的利潤率為25%，可求出一個A禮盒的售價為50元，進(jìn)而可得出一個B禮盒與一個C禮盒的售價之和，再由利潤率公式求出一個丁套餐的利潤率．

【解答】

解：設(shè)甲套餐的成本之和m元，則由題意得1800-m=20%m，解得m=1500(元)．

設(shè)每個A禮盒的成本為x元，每個B禮盒的成本為y元，每個C禮盒的成本為z元，由題意得15x+10y+10z=150012x+15y+15z=1830，

同時消去字母y和z，可得x=40

所以y+z=90

A禮盒的利潤率為25%，可得其利潤=40×25%=10元，因此一個A禮盒的售價=40+10=50元．

設(shè)一個B禮盒的售價為a元，一個C禮盒的售價為b元，則可得15×50+10a+10b=1800，整理得a+b=105(元)

所以一個丁套餐的售價=3×50+4(a+b)=150+420=570(元)

一個丁套餐的成本=3×40+4(y+z)=120+360=480(元)

因此一個丁套餐的利潤率=570-480480×100%=18.75%如圖1，直線AB//CD，直線l與直線AB，CD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P是射線EA上的一個動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)E)，將△EPF沿PF折疊，使頂點(diǎn)E落在點(diǎn)Q處．

(1)若∠PEF=43°，點(diǎn)Q恰好落在平行線AB上，則∠EFP=?_______度．

(2)若∠PEF=60°，∠CFQ=12【答案】解：(1)47°；

(2)40°或72°．【解析】【分析】

本題考查平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，分類討論得思想、方程思想在幾何中的運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是正確畫出圖形，分類討論．

(1)當(dāng)點(diǎn)Q恰好落在AB上時，PF⊥AB，則∠EFP=90°-43°=47°．

(2)分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)Q在平行線AB、CD之間時，設(shè)∠PFQ的度數(shù)為x°，根據(jù)∠AEF+∠CFE=180°，列方程求解；②當(dāng)點(diǎn)Q在CD下方時，設(shè)∠CFQ的度數(shù)為x°，根據(jù)∠AEF+∠CFE=180°，列方程解答．

【解答】

解：(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上，∠FPE=∠FPQ=90°，

∴FP⊥AB，

∴∠EFP=90°-∠PEF=47°．

故答案為47°．

(2)①如圖3，當(dāng)點(diǎn)Q在平行線AB、CD之間時：

設(shè)∠PFQ的度數(shù)為x°，由折疊可得：∠EFP=x°，

∵∠CFQ=12∠PFC，

∴∠PFQ=∠CFQ=x°，

∵AB//CD，

∴∠AEF+∠CFE=180°，

∴60+x+x+x=180，解得：x=40，即：∠EFP=40°；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q在CD下方時：

設(shè)∠CFQ的度數(shù)為x°，

由∠CFQ=12∠PFC得：∠PFC=2x°，∴∠PFQ=3x°，

由折疊得∠PFE=∠PFQ=3x°，

∵AB//CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，

∴2x+3x+60=180，解得：x=24，

∴∠EFP=3x°=72°，

綜上：∠EFP的度數(shù)為40°或72°．

故答案為40°春節(jié)期間，重百超市推出了甲、乙、丙、丁四種禮品套餐組合：甲套餐每袋裝有15個A禮盒，10個B禮盒，10個C禮盒；乙套餐每袋裝有5個A禮盒，7個B禮盒，6個C禮盒，丙套餐每袋裝有7個A禮盒，8個B禮盒，9個C禮盒，丁套餐每袋裝有3個A禮盒，4個B禮盒，4個C禮盒，若一個甲套餐售價1800元，利潤率為20％，一個乙套餐和一個丙套餐一共成本和為1830元，且一個A禮盒的利潤率為25％，問一個丁套餐的利潤率為________．(利潤率=利潤成本【答案】18.75%【解析】【分析】

本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用、方程思想以及有理數(shù)的混合運(yùn)算．

先由甲套餐售價1800元，利潤率為20%，可求出甲套餐的成本之和為1500元．設(shè)每個A禮盒的成本為x元，每個B禮盒的成本為y元，每個C禮盒的成本為z元，則由題意得15x+10y+10z=150012x+15y+15z=1830，可同時消去y和z，得到x=40，再根據(jù)一個A禮盒的利潤率為25%，可求出一個A禮盒的售價為50元，進(jìn)而可得出一個B禮盒與一個C禮盒的售價之和，再由利潤率公式求出一個丁套餐的利潤率．

【解答】

解：設(shè)甲套餐的成本之和m元，則由題意得1800-m=20%m，解得m=1500(元)．

設(shè)每個A禮盒的成本為x元，每個B禮盒的成本為y元，每個C禮盒的成本為z元，由題意得15x+10y+10z=150012x+15y+15z=1830，

同時消去字母y和z，可得x=40

所以y+z=90

A禮盒的利潤率為25%，可得其利潤=40×25%=10元，因此一個A禮盒的售價=40+10=50元．

設(shè)一個B禮盒的售價為a元，一個C禮盒的售價為b元，則可得15×50+10a+10b=1800，整理得a+b=105(元)

所以一個丁套餐的售價=3×50+4(a+b)=150+420=570(元)

一個丁套餐的成本=3×40+4(y+z)=120+360=480(元)

因此一個丁套餐的利潤率=570-480480×100%=18.75%如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，點(diǎn)D是BC上一動點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，連接DE交AB于點(diǎn)F，當(dāng)△DEB是直角三角形時，DF的長為______．

【答案】3或3【解析】【分析】

分兩種情形：①如圖1中，當(dāng)∠EDB=90°，四邊形ACDE是正方形，此時CD=AC=6；②如圖2中，當(dāng)∠DEF=90°時，AC=AE=6，則BE=4，設(shè)CD=DE=x，利用勾股定理構(gòu)建方程即可；

本題考查翻折變換、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．

【解答】

解：①如圖1中，當(dāng)∠EDB=90°，四邊形ACDE是正方形，此時CD=AC=6，

∵BC=AB2-AC2=8，

∴BD=BC-CD=8-6=2，

∵tan∠ABC=DFBD=ACBC，

∴DF2=68，

∴DF=32．

②如圖2中，當(dāng)∠DEF=90°時，AC=AE=6，則BE=4，設(shè)CD=DE=x，

在Rt△BDE中，(8-x三、解答題在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax-a為拋物線y=ax2+bx+c(a、b、c為常數(shù)，a≠0)的“夢想直線”；有一個頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢想三角形”．

已知拋物線y=-233x2-433x+23與其“夢想直線”交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．

(1)填空：該拋物線的“夢想直線”的解析式為______，點(diǎn)A的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______；

(2)如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對稱軸翻折，點(diǎn)C的對稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上運(yùn)動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A【答案】(1)y=-233x+233；(-2,23)；(1,0).

(2)當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時，△AMN為夢想三角形，

如圖1，過A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則AD=2，

在y=-233x2-433x+23中，令y=0可求得x=-3或x=1，

∴C(-3,0)，且A(-2,23)，

∴AC=(-2+3)2+(23)2=13，

由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=13，

在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=AN2-AD2=13-4=3，

∵OD=23，

∴ON=23-3或ON=23+3，由題意CM最大是4

當(dāng)ON=23+3時，則MN>ON>CM，與MN=CM矛盾，不合題意，

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,23-3)；

當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時，則M與O重合，過N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，如圖2，

在Rt△AMD中，AD=2，OD=23，

∴tan∠DAM=MDAD=3，

∴∠DAM=60°，

∵AD//x軸，

∴∠AMC=∠DAO=60°，

又由折疊可知∠NMA=∠AMC=60°，

∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，

∴MP=12MN=32，NP=32MN=332，

∴此時N點(diǎn)坐標(biāo)為(32,332)；

綜上可知N點(diǎn)坐標(biāo)為(0,23-3)或(32,332)；

(3)①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時，如圖2，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，

則有AC//EF且AC=EF，

∴∠ACK=∠EFH，

在△ACK和△EFH中

∠ACK=∠EFH∠AKC=∠EHFAC=EF

∴△ACK≌△EFH(AAS)，

∴FH=CK=1，HE=AK=23，

∵拋物線對稱軸為x=-1，

∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或-2，

∵點(diǎn)F在直線AB上，

∴當(dāng)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為0時，則F(0,233)，此時點(diǎn)【解析】【分析】

本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象的交點(diǎn)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．在(1)中理解題目中夢想直線的定義是解題的關(guān)鍵，在(2)中確定出N點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在(3)中確定出E、F的位置是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．

(1)由夢想直線的定義可求得其解析式，聯(lián)立夢想直線與拋物線解析式可求得A、B的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)N點(diǎn)在y軸上時，過A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則可知AN=AC，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得ON的長，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)M點(diǎn)在y軸上即，M點(diǎn)在原點(diǎn)時，過N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，由條件可求得∠NMP=60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的長，則可求得N點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)當(dāng)AC為平行四邊形的一邊時，過F作對稱軸的垂線FH，過A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，可證△EFH≌△ACK，可求得FH=CK=1，HE=AK=23，則可求得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，由HE的長可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AC為平行四邊形的對角線時，設(shè)E(-1,t)，F(xiàn)(x,y)，由A、C的坐標(biāo)可表示出AC中點(diǎn)，從而可表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐標(biāo)．

【解答】

解：(1)∵拋物線y=-233x2-433x+23，

∴其夢想直線的解析式為y=-233x+233，

聯(lián)立夢想直線與拋物線解析式可得y=-233x+233如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y=a(x+1)2-4分別與x軸相交于點(diǎn)A，B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè))，與y軸相交于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式;(2)判斷△BCM是否為直角三角形，并說明理由;(3)拋物線上是否存在點(diǎn)N(點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合)，使得以點(diǎn)A，B，C，N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等?若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在，請說明理由．【答案】

解：(1)∵拋物線y=a(x+1)2-4與y軸相交于點(diǎn)C(0,-3)．

∴-3=a-4，

∴a=1，

∴拋物線解析式為y=(x+1)2-4=x2+2x-3，

(2)△BCM是直角三角形

理由：由(1)有，拋物線解析式為y=(x+1)2-4，

∵頂點(diǎn)為M的拋物線y=a(x+1)2-4，

∴M(-1,-4)，

由(1)拋物線解析式為y=x2+2x-3，

令y=0，

∴x2+2x-3=0，

∴x1=-3，x2=1，

∴A(1,0)，B(-3,0)，

∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+16=20，

∴BC2+CM2=BM2，

∴△BCM是直角三角形，

(3)存在，N(-1+222,32)或N(-1-222,32)或(-2,-3)，

∵以點(diǎn)A，B，C，N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，且點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，

∴①點(diǎn)N在x軸上方的拋物線上，

如圖，

由(2)有△BCM是直角三角形，BC2=18，CM2=2，

∴BC=32，CM=2，

∴S△BCM=12BC×CM=12×32×2=3，

設(shè)N(m,n)，

∵以點(diǎn)A，B，C，N為頂點(diǎn)的四邊形的面積與四邊形ABMC的面積相等，

∴S△ABN+S△ABC=S△BCM+S△ABC，

∴S△ABN=S△BCM=3，

∵A(1,0)，B(-3,0)，

∴AB=4，

∴S△ABN=12×AB×n=12×4×n=2n=3，

∴n=32【解析】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了求拋物線解析式，直角三角形的判斷，圖形面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是判斷出△BCM是直角三角形，難點(diǎn)是要兩個四邊形面積相等，點(diǎn)N分在x軸上方的拋物線上和下方的拋物線上，用方程的思想解決問題是解決(3)的關(guān)鍵，也是初中階段常用的方法．求解最后一問時，由于點(diǎn)的位置不確定，所以需要分類討論．

(1)用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；

(2)由拋物線解析式確定出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，用勾股定理的逆定理即可；

(3)根據(jù)題意對N分類討論，由已知四邊形的面積相等轉(zhuǎn)化出S△ABN=S△BCM，然后求出三角形BCM如圖，直線AB//CD，直線l與直線AB、CD相交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)P是射線EA上的一個動點(diǎn)(不包括端點(diǎn)E)，將△EPF沿PF折疊，使頂點(diǎn)E落在點(diǎn)Q處．(1)若∠PEF=48°，點(diǎn)Q恰好落在其中的一條平行線上，請直接寫出∠EFP(2)若∠PEF=75°，∠CFQ=1【答案】解：(1)?①如圖?①，當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上時，F(xiàn)P⊥AB，

所以∠EFP=?②如圖?②，當(dāng)點(diǎn)Q落在CD上時，

因?yàn)閷ⅰ鱁PF沿PF折疊，使頂點(diǎn)E落在點(diǎn)Q處，

所以∠1=∠2.

因?yàn)锳B//CD，所以∠QFE=180°-∠PEF=132°(2)?①如圖?③，當(dāng)點(diǎn)Q在平行線AB、CD之間時，設(shè)∠PFQ=x，

由折疊可得∠EFP=x，因?yàn)椤螩FQ=12∠PFC，

所以∠PFQ=∠CFQ=x．

因?yàn)锳B//CD，所以∠AEF+∠CFE=180°，

所以75°?②如圖?④，當(dāng)點(diǎn)Q在CD的下方時，設(shè)∠CFQ=y，由∠CFQ=12∠PFC得，∠PFC=2y，所以∠PFQ=3y．

由折疊得，∠PFE=∠PFQ=3y．

因?yàn)锳B//CD，所以∠AEF+∠CFE=180°，

所以2y+3y+75°=180°，所以y=21【解析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，折疊與對稱，分類討論的應(yīng)用．

(1)可分兩種情況：?①如圖?①，當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上時，F(xiàn)P⊥AB，利用直角三角形的性質(zhì)可求解∠EFP的度數(shù)；?②如圖?②，當(dāng)點(diǎn)Q落在CD上時，由折疊可知∠1=∠2，由平行線的性質(zhì)可得∠QFE=180°-∠PEF=132°，進(jìn)而可求解∠PFE的度數(shù)；

(2)可分兩種情況：?①如圖?③，當(dāng)點(diǎn)Q在平行線AB，CD之間時，設(shè)∠PFQ=x，則可求∠EFP=x，∠PFQ=∠CFQ=x，由平行線的性質(zhì)可得∠AEF+∠CFE=180°，進(jìn)而可列關(guān)于x的方程，解方程即可求解；?②如圖?④，當(dāng)點(diǎn)Q在CD的下方時，設(shè)∠CFQ=y，則可求∠PFC=2y，如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時，M、N同時停止運(yùn)動．

(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動幾秒時，M、N兩點(diǎn)重合？(2)點(diǎn)M、N運(yùn)動幾秒時，可得到等邊三角形△AMN？(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時M、N運(yùn)動的時間．【答案】解：(1)設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動x秒時，M、N兩點(diǎn)重合，x×1+12=2x，解得：x=12；(2)設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒時，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t=12-2t，解得t=4，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動4秒時，可得到等邊三角形△AMN．(3)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，由(1)知12秒時M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC=∠ANB∴△ACM≌△ABN(AAS)，∴CM=BN，設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，M、N運(yùn)動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，y-12=36-2y，解得：y=16.故假設(shè)成立．∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時M、N運(yùn)動的時間為16秒．【解析】本題主要考查動點(diǎn)問題，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，方程思想；

(1)設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N運(yùn)動x?s時，M、N兩點(diǎn)重合，用含x的式子表示出M、N的運(yùn)動路程，根據(jù)點(diǎn)N的運(yùn)動路程比點(diǎn)M的運(yùn)動路程多12cm列方程求解；

(2)設(shè)當(dāng)點(diǎn)M，N運(yùn)動t?s時，

可得到等邊三角形△AMN，用含t的式子表示出AM，AN的長，易知∠A=60°，所以如果AM=AN，ΔAMN就是等邊三角形；

(3)把△AMN是以MN為底邊的等腰三角形作為已知條件，可證得△ACM≌△ABN，從而得到CM=BN，再設(shè)此時M，N運(yùn)動時間為y?s，用含y的式子表示出CM，NB的長，列方程求解．

如圖1，AB?//?CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線CD，AB上，∠BEC=2∠BEF，過點(diǎn)A作AG⊥BE的延長線交于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)N，AK平分∠BAG，交EF于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)M．

(1)直接寫出∠AHE，∠FAH，∠HFA之間的關(guān)系：________________；(2)若∠BEF=12∠BAK(3)如圖2，在(2)的條件下，將△KHE繞著點(diǎn)E以每秒5°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為t，當(dāng)KE邊與射線ED重合時停止，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△KHE的其中一邊與△ENG的某一邊平行時，直接寫出此時t的值．【答案】解：(1)∠AHE=∠AFH+∠FAH

(2)設(shè)∠BEF=x

∵∠BEF=12∠BAK，∠BEC=2∠BEF

∴∠BAK=∠BEC=2x

∵AK平分∠BAG

∴∠BAK=∠KAG=2x

由(1)的結(jié)論可得：∠AME=2x+2x=4x，

∵AB//CD，則∠AFH=∠CEF，

∴∠AHE=∠AFH+∠FAH=∠CEF+∠FAH=2x+3x=5x

∵AG⊥BE

∴∠G=90°