初中數(shù)學120大招-附8 相似三角形的常見模型

學霸班主任精編2022年中考數(shù)學相似三角形的常見模型1.了解相似三角形的性質定理與判定定理；2.能利用相似三角形的性質定理和判定定理解決簡單問題.1.相似三角形的判定；2.能構成相似三角形的常見模型.《模型分析》相似三角形是初中幾何中的重要的內容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。如果大家平時注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到相似三角形的問題就信心更足了．本專題重點講解相似三角形的六大基本模型．在添加輔助線時，所添加輔助線往往能夠構造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進行相關的計算找到等量關系．相似基本模型專題探究之一線三等角【知識點睛】常見基本類型：同側型（通常以等腰三角形或者等邊三角形為背景）異側型模型性質應用：一般地：當動點E運動到底邊的中點時，CF有最大值一般地：當動點E運動到底邊的中點時，CF有最大值模型構造：圖中已存在“一線三等角”，則直接應用模型結論解題.圖中存在“一線兩等角”，補上“一等角”，構造模型解題.圖中某直線上只存在1個角，補上“兩等角”，構造模型解題.如果直線上只有1個角，要補成“一線三等角”時，該角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：構造特殊角的等角時，一般是在“定線”上做含特殊角的直角三角形?！耙痪€三等角”得到的相似，通常用外邊的兩等角的兩邊對應成比例求解長度.相似常見模型之平行相似【知識點睛】A字圖及其變型“斜A型”當DE∥BC時△ADE∽△ABC性質：當∠ADE=∠ACB時當DE∥BC時△ADE∽△ABC性質：當∠ADE=∠ACB時△ADE∽△ACB性質：變型☆：斜A型在圓中的應用：如圖可得：△PAB∽△PCD☆：“A字圖”最值應用A字圖中作動態(tài)矩形求最大面積時，通常當MN為△ABC中位線，☆：“A字圖”最值應用A字圖中作動態(tài)矩形求最大面積時，通常當MN為△ABC中位線，矩形面積達到最大值！當∠A=∠C時△AJB∽△CJD性質：當AB∥CD時當∠A=∠C時△AJB∽△CJD性質：當AB∥CD時△AOB∽△DOC性質：變型☆：“蝴蝶型”常見應用☆：“蝴蝶型”常見應用常出現(xiàn)在“圓”中，直接由相交弦得到，求角度相關此時注意“同弧所對圓周角相等”的應用出現(xiàn)在“手拉手模型”中，用于證明“兩直線垂直”或者“兩直線成一固定已知角度”☆：A字圖與8字圖相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此兩種模型☆：A字圖與8字圖相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此兩種模型常見“∥”的引入方式：直接給出平行的已知條件平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等幾何圖形中自帶的平行由很多中點構造的“中位線”的平行根據(jù)線段成比例的條件或結論自己構造平行輔助線知識點睛知識點睛一、相似的有關概念1．相似形具有相同形狀的圖形叫做相似形．相似形僅是形狀相同，大小不一定相同．相似圖形之間的互相變換稱為相似變換．2．相似圖形的特性兩個相似圖形的對應邊成比例，對應角相等．3．相似比兩個相似圖形的對應角相等，對應邊成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定義對應角相等，對應邊成比例的三角形叫做相似三角形．如圖，與相似，記作，符號讀作“相似于”．2．相似比相似三角形對應邊的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性質1．相似三角形的對應角相等如圖，與相似，則有．2．相似三角形的對應邊成比例如圖，與相似，則有（為相似比）．3．相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平分線成比例，都等于相似比．如圖1，與相似，是中邊上的中線，是中邊上的中線，則有（為相似比）．圖1如圖2，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）．圖2如圖3，與相似，是中的角平分線，是中的角平分線，則有（為相似比）．圖34．相似三角形周長的比等于相似比．如圖4，與相似，則有（為相似比）．應用比例的等比性質有．圖45．相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖5，與相似，是中邊上的高線，是中邊上的高線，則有（為相似比）．進而可得．圖5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似．2．如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似．可簡單說成：兩角對應相等，兩個三角形相似．3．如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似．4．如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的你對應成比例，那么這兩個三角形相似．可簡單地說成：三邊對應成比例，兩個三角形相似．5．如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似．6．直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形相似（常用但要證明）7．如果一個等腰三角形和另一個等腰三角形的頂角相等或一對底角相等，那么這兩個等腰三角形相似；如果它們的腰和底對應成比例，那么這兩個等腰三角形也相似．五、相似證明中的比例式或等積式、比例中項式、倒數(shù)式、復合式證明比例式或等積式的主要方法有“三點定形法”．1．橫向定型法欲證，橫向觀察，比例式中的分子的兩條線段是和，三個字母恰為的頂點；分母的兩條線段是和，三個字母恰為的三個頂點．因此只需證．2．縱向定型法欲證，縱向觀察，比例式左邊的比和中的三個字母恰為的頂點；右邊的比兩條線段是和中的三個字母恰為的三個頂點．因此只需證．3．中間比法由于運用三點定形法時常會碰到三點共線或四點中沒有相同點的情況，此時可考慮運用等線，等比或等積進行變換后，再考慮運用三點定形法尋找相似三角形．這種方法就是等量代換法．在證明比例式時，常用到中間比．比例中項式的證明，通常涉及到與公共邊有關的相似問題。這類問題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結論要熟練掌握和透徹理解．倒數(shù)式的證明，往往需要先進行變形，將等式的一邊化為1，另一邊化為幾個比值和的形式，然后對比值進行等量代換，進而證明之．復合式的證明比較復雜．通常需要進行等線代換（對線段進行等量代換），等比代換，等積代換，將復合式轉化為基本的比例式或等積式，然后進行證明．六、相似證明中常見輔助線的作法在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構造成比例線段或相似三角形，同時再結合等量代換得到要證明的結論．常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等．如圖：平分交于，求證：．證法一：過作，交的延長線于．∴，．∵，∴．∴．∵，∴．點評：做平行線構造成比例線段，利用了“A”型圖的基本模型．證法二；過作的平行線，交的延長線于．∴，∴．∵，∴．點評：做平行線構造成比例線段，利用了“X”型圖的基本模型．七、相似證明中的面積法面積法主要是將面積的比，和線段的比進行相互轉化來解決問題．常用的面積法基本模型如下：如圖：．如圖：．如圖：．八、相似證明中的基本模型“A”字型1.圖①字型DE//BC，結論：，2.圖②反字型∠ADE=∠B，結論：3.圖③雙字型DE//BC，結論：，4.圖④內含正方形字形，結論（為正方形邊長）圖①圖②圖③圖④例1.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB和AC上的點，且DE∥BC，＝，DE＝6，則BC的長為（）A．8 B．9 C．10 D．12【分析】根據(jù)相似三角形的性質可得＝，再根據(jù)＝，DE＝6，即可得出＝，進而得到BC長．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，又∵＝，DE＝6，∴＝，∴BC＝10，故選：C．根據(jù)平行線和公共角對應角相等，導出三角形相似.例2.如圖，、是的邊、上的點，且，求證：.【答案】∵∴∵∴∽∴【解析】由邊乘積導出對應邊成比例.反A字型需要注意對應邊和對應角的識別.例3.如圖，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P．求證：DPBQ=【答案】證明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ=AP同理在△ACQ和△APE中，PEQC=AP∴DPBQ【解析】可證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而得出DPBQ以上兩個題目為雙A字模型，注意相同比例的等量代換.例4.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，矩形DEFG的頂點位于△ABC的邊上，設EF＝x，S四邊形DEFG＝y(tǒng)．（1）填空：自變量x的取值范圍是0＜x＜12；（2）求出y與x的函數(shù)表達式；（3）請描述y隨x的變化而變化的情況．【分析】（1）根據(jù)題意即可得到結論；（2）利用勾股定理和等腰三角形的三線合一求得BN、AN，再利用△ADG∽△ABC，得出比例線段，利用x表示出MN，進一步利用矩形的面積求的函數(shù)解析式；列表取值，描點畫出圖象；（3）根據(jù)以上三種表示方式回答問題即可．【解答】解：（1）0＜x＜12；故答案為：0＜x＜12；（2）如圖，過點A作AN⊥BC于點N，交DG于點M，∵AB＝AC＝10，BC＝12，AN⊥BC，∴BN＝CN＝6，AN＝＝8，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，∴△ADG∽△ABC，，即，∴MN＝8﹣x．∴y＝EF?MN＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣6）2+24；（3）當0＜x＜6時，y隨x的增大而增大；當x＝6時，y的值達到最大值24，當6＜x＜12時，y隨x的增大而減?。毩?.如圖，在一塊三角形區(qū)域ABC中，∠C＝60°，AD是△ABC的高，BC＝10米，AD＝8米．現(xiàn)要在這個三角形區(qū)域內建造一個矩形水池EFHG，如圖的方案是點G，H在BC邊上，點E在AB邊上，點F在AC邊上．（1）設EG＝x，當x取何值時，水池EFHG的面積為15米2？（2）該水池的面積能不能為25米2？（3）實際施工時，發(fā)現(xiàn)在BC上距C點3米處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？在或不在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)矩形的對邊平行可得EF∥BC，然后求出△AEF和△ABC相似，再利用相似三角形對應高的比等于相似比列式表示出EF，再根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得解；（2）根據(jù)面積等于25列出方程，利用根的判別式判斷即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出面積最大時的x的值，再利用∠C的正切值求出CH的長度，然后與3米比較即可判斷．【解答】解：（1）∵四邊形EFHG是矩形，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，解得EF＝，∴水池EFHG的面積＝x?＝，當面積為15米2時，＝15，整理得，x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，答：x＝2米或6米時，水池EFHG的面積為15米2；（2）假設水池的面積能為25米2，則＝25，整理得，x2﹣8x+20＝0，∵△＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×20＝64﹣80＝﹣16＜0，∴方程沒有實數(shù)解，故水池的面積不能為25米2；（3）∵水池EFHG的面積＝＝﹣（x2﹣8x）＝﹣（x﹣4）2+20，∴當x＝4時，水池的面積最大，∵∠C＝60°，∴CH＝x÷tan60°＝4÷＝＜3，∴大樹能位于最大矩形水池的邊GH上．本題難度稍微大一點，綜合性比較強，涉及到二次函數(shù)的內容，學生需要計算功底比較扎實.“8”字型1.圖①“8”字型AB//CD，結論：，2.圖②“反8”字型∠A=∠C，結論：、四點共圓3.圖③“雙8”字型AB//CD，結論：，4.圖④“、8”字型AB//CD//EF，結論：5.圖⑤，結論：、圖①圖②圖③圖④圖⑤例1.如圖，?ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F．證明：△ABF∽△CEB．【分析】根據(jù)平行四邊形對角相等可得∠A＝∠C，對邊平行可得AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等得到∠ABF＝∠E，然后利用兩角對應相等，兩三角形相似即可證明．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，在△ABF和△CEB中，∠A＝∠C，∠ABF＝∠E，∴△ABF∽△CEB．練習1.如圖，△ABC中，AD、BE是兩條中線，則S△EDC：S△ABC＝（）A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4【分析】在△ABC中，AD、BE是兩條中線，可得DE是△ABC的中位線，即可證得△EDC∽△ABC，然后由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC中，AD、BE是兩條中線，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△EDC∽△ABC，∴S△EDC：S△ABC＝（）2＝．故選：D．此題考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．例2.如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線BF分別與AC、AD交于點E、F．（1）求證：AB＝AF；（2）當AB＝3，BC＝5時，求的值．【分析】（1）由在?ABCD中，AD∥BC，利用平行線的性質，可求得∠2＝∠3，又由BF是∠ABC的平分線，易證得∠1＝∠3，利用等角對等邊的知識，即可證得AB＝AF；（2）易證得△AEF∽△CEB，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得的值．【解答】解：（1）如圖，在?ABCD中，AD∥BC．∴∠2＝∠3，∵BF是∠ABC的平分線，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB＝AF；（2）∵∠AEF＝∠CEB，∠2＝∠3，∴△AEF∽△CEB，∵AF＝AB＝3，∴＝＝，∴＝．練習1.如圖，在正方形ABCD中，CE⊥DF于O點，假設正方形的邊長1，CF＝x．（1）試求四邊形ADOE的面積；（2）當F是BC的中點時，求四邊形ADOE的面積的值．【分析】（1）先得△CBE≌△DCF，則S△CBE＝S△DCF＝x，再由△COF∽△CBE求得S△COF，則S四邊形ADOE＝1﹣S△CBE﹣S△DCF﹣S△COF．（2）當F是BC的中點時，x＝，代入（1）中所求的表達式求得四邊形ADOE的面積的值．【解答】解：（1）易知△CBE≌△DCF，得BE＝CF＝x，EC2＝1+x2，．又△COF∽△CBE，所以S△CBE：S△COF＝CE2：FC2＝（1+x2）：x2，得．所以．（2）當F是BC的中點時，，此時．以上兩個題目是A字型和8字型的綜合題目，需要將兩種模型的特點結合使用，題目分析思路相對比較復雜.例3.如圖，點E在矩形ABCD的邊AD上，且∠EBC＝∠ECB．（1）求證：AE＝ED；（2）連接BD交CB于點F，求△BCF和△DEF的面積之比．【分析】（1）根據(jù)HL證明Rt△ABE≌Rt△DCE即可．（2）利用相似三角形的性質即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，∵∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL），∴AE＝ED．（2）解：∵BC＝AD，AE＝ED，∴BC＝2DE，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝（）2＝．練習1.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，對角線AC平分∠BAD，AC2＝AB?AD．（1）求證：AC⊥CD；（2）若點E是AD的中點，連接CE，∠AEC＝134°，求∠BCD的度數(shù)．【分析】（1）只要證明△BAC∽△CAD，看到∠B＝∠ACD＝90°解決問題；（2）首先證明∠D＝∠ECD＝67°，再利用相似三角形的性質推出∠ACB＝∠D＝67°即可解決問題；【解答】（1）證明：∵AC2＝AB?AD，∴＝，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴△BAC∽△CAD，∴∠B＝∠ACD＝90°，∴AC⊥CD．（2）∵∠ACD＝90°，AE＝ED，∴EC＝EA＝ED，∴∠D＝∠ECD，∵∠AEC＝∠D+∠ECD＝134°，∴∠ECD＝∠D＝67°，∵△ABC∽△ACD，∴∠ACB＝∠D＝67°，∴∠BCD＝67°+90°＝157°．練習2.如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，對角線AC⊥BD，垂足為E，AD=BD，過點E作EF∥AB交AD于F，求證：（1）AF=BE；（2）AF2=AE?EC．【答案】證明：（1）∵EF∥AB，∴△DFE∽△DAB．∴．又∵DA=DB，∴DF=DE．∴DA-DF=DB-DE，即AF=BE．（2）∵AB⊥BC，∴△ABC為直角三角形．又∵AC⊥BD，∴△BCE∽△ABE．∴，即EB2=AE?EC．又∵AF=EB，∴AF2=AE?EC．【解析】（1）根據(jù)平行構造相似三角形，利用相似三角形的性質解答；（2）因為AB⊥BC，所以△ABC為直角三角形，又因為AC⊥BD，所以可知△BCE∽△ABE，利用相似三角形的性質即可解答．以上題目為在梯形當中三角形相似問題的典型考查.一線三等角型結論：出現(xiàn)兩個相似三角形圖①圖②圖③圖④例1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點D在BC所在的直線上運動，作∠ADE＝45°（A，D，E按逆時針方向）．若點D在線段BC上運動，DE交AC于E．①求證：△ABD∽△DCE；②當△ADE是等腰三角形時，求AE的長．【分析】①由∠ADB+∠BAD＝135°，∠ADB+∠CDE＝135°，得出∠BAD＝∠CDE，推出△ABD∽△DCE；②分三種情況討論，（1）當AD＝AE時，∠ADE＝∠AED＝45°時，得到∠DAE＝90°，點D、E分別與B、C重合；（2）當AD＝DE時，由①知△ABD∽△DCE；（3）當AE＝DE時，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，得到∠ADC＝∠AED＝90°，于是得到DE＝AE＝AC＝1．【解答】①證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAD+∠ADB＝135°，∵∠ADE＝45°，∴∠ADB+∠EDC＝135°，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE；②分三種情況：（1）當AD＝AE時，∠ADE＝∠AED＝45°時，∴∠DAE＝90°，點D、E分別與B、C重合，∴AE＝AC＝2；（2）當AD＝DE時，由①知△ABD∽△DCE，∵AD＝DE，△ABD≌△DCE，∴AB＝CD＝2，∴BD＝CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣；（3）當AE＝DE時，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，∴∠ADC＝∠AED＝90°，∴AE＝DE＝AC＝1．練習1.一般來說，依據(jù)數(shù)學研究對象本質屬性的相同點和差異點，將數(shù)學對象分為不同種類的數(shù)學思想叫做“分類”的思想；將事物進行分類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做“分類討論”法，請你依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列問題：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，點D在BC所在的直線上運動，作∠ADE＝45°（A、D、E按逆時針方向），（1）如圖1，若點D在線段BC上運動，DE交AC于E①求證：△ABD∽△DCE；②當△ADE是等腰三角形時，求AE的長；（2）如圖2，若點D在BC的延長線上運動，DE的反向延長線與AC延長線相交于點E′，是否存在點D，使得△ADE′是等腰三角形？若存在，求出CD與AE′的長；若不存在，請簡要說明理由．【分析】（1）①由∠ADB+∠BAD＝135°，∠ADB+∠CDE＝135°，得出∠BAD＝∠CDE，推出△ABD∽△DCE．②（?。┊擜D＝AE時，∠ADE＝∠AED＝45°時，得到∠DAE＝90°，點D、E分別與B、C重合；（ⅱ）當AD＝DE時，由①知△ABD∽△DCE；（ⅲ）當AE＝DE時，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，故∠ADC＝∠AED＝90°．三種情況討論．（2）存在，可證△ADC∽△AE′D，得到CD＝AC＝2，進而得出AE′的長．【解答】解：（1）①由∠BAC＝90°，AB＝AC，推出∠B＝∠C＝45°．由∠BAD+∠ADB＝135°，∠ADB+∠EDC＝135°得到∠BAD＝∠EDC．推出△ABD∽△DCE．②分三種情況：（?。┊擜D＝AE時，∠ADE＝∠AED＝45°時，得到∠DAE＝90°，點D、E分別與B、C重合，所以AE＝AC＝2．（ⅱ）當AD＝DE時，由①知△ABD∽△DCE，又∵AD＝DE，知△ABD≌△DCE．所以AB＝CD＝2，故BD＝CE＝2﹣2，所以AE＝AC﹣CE＝4﹣2．（ⅲ）當AE＝DE時，有∠EAD＝∠ADE＝45°＝∠C，故∠ADC＝∠AED＝90°．所以AE＝DE＝AC＝1．故AE的長為1；（2）存在（只有一種情況）．由∠ACB＝45°推出∠CAD+∠ADC＝45°．由∠ADE＝45°推出∠DAC+∠DE′A＝45°．從而推出∠ADC＝∠DE′A．證得△ADC∽△AE′D．所以＝，又∵AD＝DE′，∴CD＝AC＝2．∵△ADC∽△AE′D，∴＝，∴AD2＝AC?AE′，過點A做AH⊥BC于點H，則AH＝，DH＝2+，則AD2＝AH2+DH2，∴（）2+（2+）2＝2AE′，∴AE′＝4+2．注意角的轉化，一線三等角模型的辨別.例2.如圖，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C為線段BD上一點，且AC⊥CE．AB=3，DE=2，BC=6．求CD的長．【答案】解：∵在△ABC中，∠B=90°，∴∠A+∠ACB=90°．∵AC⊥CE，∴∠ACB+∠ECD=90°．∴∠A=∠ECD．∵在△ABC和△CDE中，∠A=∠ECD，∠B=∠D=90°，∴△ABC∽△CDE，∴ABCD∵AB=3，DE=2，BC=6，∴CD=1．【解析】根據(jù)直角三角形的性質，可得∠A+∠ACB，∠ACB+∠ECD，再根據(jù)余角的性質，可得∠A=∠ECD根據(jù)相似三角形的判定與性質，可得ABCD練習1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D，E，F(xiàn)分別是AC，AB，BC的中點．點P從點D出發(fā)沿折線DE﹣EF﹣FC﹣CD以每秒7個單位長的速度勻速運動；點Q從點B出發(fā)沿BA方向以每秒4個單位長的速度勻速運動，過點Q作射線QK⊥AB，交折線BC﹣CA于點G．點P，Q同時出發(fā)，當點P繞行一周回到點D時停止運動，點Q也隨之停止．設點P，Q運動的時間是t秒（t＞0）．（1）D，F(xiàn)兩點間的距離是25；（2）射線QK能否把四邊形CDEF分成面積相等的兩部分？若能，求出t的值；若不能，說明理由；（3）當點P運動到折線EF﹣FC上，且點P又恰好落在射線QK上時，求t的值；（4）連接PG，當PG∥AB時，請直接寫出t的值．【分析】（1）由中位線定理即可求出DF的長；（2）連接DF，過點F作FH⊥AB于點H，由四邊形CDEF為矩形，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分，根據(jù)△HBF∽△CBA，對應邊的比相等，就可以求得t的值；（3）①當點P在EF上（2≤t≤5時根據(jù)△PQE∽△BCA，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，可以求出t的值；②當點P在FC上（5≤t≤7）時，PB＝PF+BF就可以得到；（4）當PG∥AB時四邊形PHQG是矩形，由此可以直接寫出t．【解答】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點，∴DF為△ABC的中位線，∴DF＝AB＝25故答案為：25．（2）能．如圖1，連接DF，過點F作FH⊥AB于點H，∵D，F(xiàn)是AC，BC的中點，∴DE∥BC，EF∥AC，四邊形CDEF為矩形，∴QK過DF的中點O時，即過矩形CDEF的中點，QK把矩形CDEF分為面積相等的兩部分此時QH＝OF＝12.5．由BF＝20，△HBF∽△CBA，得HB＝16．故t＝＝．（3）①當點P在EF上（2≤t≤5）時，如圖2，QB＝4t，DE+EP＝7t，由△PQE∽△BCA，得．∴t＝4；②當點P在FC上（5≤t≤7）時，如圖3，已知QB＝4t，從而PB＝＝＝5t，由PF＝7t﹣35，BF＝20，得5t＝7t﹣35+20．解得t＝7；（4）如圖4，t＝1；如圖5，t＝7．（注：判斷PG∥AB可分為以下幾種情形：當0＜t≤2時，點P下行，點G上行，可知其中存在PG∥AB的時刻，如圖4；此后，點G繼續(xù)上行到點F時，t＝4，而點P卻在下行到點E再沿EF上行，發(fā)現(xiàn)點P在EF上運動時不存在PG∥AB；5≤t≤7當時，點P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于點P比點G先到達點C并繼續(xù)沿CD下行，所以在7＜t＜8中存在PG∥AB的時刻，如圖5當8≤t≤10時，點P，G均在CD上，不存在PG∥AB）以上兩個題目為同一個題目的變形考察，學生注意熟練掌握.本模型是一線三等角的特殊模型——垂直型.母子型1.圖①內角分線型，結論：；圖②外角分線型，結論：2.圖③斜射影定理型，結論：，3.圖④射影定理型，結論：（1），（2），（3）圖①圖②圖③圖④例1.閱讀理解：如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，求證：ABBD=ACCD小明在證明此題時，想通過證明三角形相似來解決，但發(fā)現(xiàn)圖中無相似三角形，于是過點B作BE∥AC交AD的延長線于點E，構造△ACD∽△EBD，則ABBD=AC于是小明得出結論：在△ABC中，AD平分∠BAC，則ABBD=AC請完成小明的證明過程．【答案】解：過點B作BE∥AC交AD延長線于點E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴BDDC又∵AD是角平分線，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴ABBD=AC【解析】先過點B作BE∥AC交AD延長線于點E，由于BE∥AC，利用平行線分線段成比例定理的推論、平行線的性質，可得△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性質可有BDDC練習1.如圖，D是△ABC的邊BC上一點，已知AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，若△ABC的面積為m，則△ACD的面積為m．【分析】首先證明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性質可得：△ACD的面積：△ABC的面積為1：4，因為△ABC的面積為m，進而求出△ACD的面積．【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB＝4，AD＝2，∴△ACD的面積：△ABC的面積為1：4，∵△ABC的面積為m，∴△ACD的面積為m，故答案為：m．注意畫輔助線構造相似三角形，一般在利用角平分線構造相似時，常會優(yōu)先考慮利用平行來構造.例2.如圖，點C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質得到∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，于是推出∠ACP＝∠PDB＝120°，等量代換得到∠BPD＝∠CAP，根據(jù)相似三角形的性質得到結論；（2）由相似三角形的性質得到，根據(jù)等邊三角形的性質得到PC＝PD＝CD，等量代換得到，即可得到結論．【解答】證明：（1）∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等邊三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC?BD．練習1.如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，對角線AC平分∠BAD，AC2＝AB?AD．（1）求證：AC⊥CD；（2）若點E是AD的中點，連接CE，∠AEC＝134°，求∠BCD的度數(shù)．【分析】（1）只要證明△BAC∽△CAD，看到∠B＝∠ACD＝90°解決問題；（2）首先證明∠D＝∠ECD＝67°，再利用相似三角形的性質推出∠ACB＝∠D＝67°即可解決問題；【解答】（1）證明：∵AC2＝AB?AD，∴＝，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴△BAC∽△CAD，∴∠B＝∠ACD＝90°，∴AC⊥CD．（2）∵∠ACD＝90°，AE＝ED，∴EC＝EA＝ED，∴∠D＝∠ECD，∵∠AEC＝∠D+∠ECD＝134°，∴∠ECD＝∠D＝67°，∵△ABC∽△ACD，∴∠ACB＝∠D＝67°，∴∠BCD＝67°+90°＝157°．本題考查的是相似三角形的判定與性質，用到的知識點為：①如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似（簡敘為兩角對應相等，兩三角形相似）；②相似三角形的對應邊成比例．例3.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的中線，DE⊥AB于點E．(1)求證：△BDE∽△CAD．(2)若AB=13，BC=10，求線段DE的長．【答案】(1)解：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．(2)解：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD=AB2-B由(1)得BDAC=DE∴DE=6013練習1.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=9