專題3.2 動點(diǎn)軌跡成曲線坐標(biāo)關(guān)系是關(guān)鍵（原卷版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

專題2動點(diǎn)軌跡成曲線，坐標(biāo)關(guān)系是關(guān)鍵【題型綜述】1.動點(diǎn)軌跡問題解題策略一般有以下幾種：直譯法：一般步驟為：①建系,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；②設(shè)點(diǎn),設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x，y)；③列式,列出動點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式；④代換,依條件式的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x，y的方程式，并化簡；⑤證明,證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)軌跡方程.(2)定義法：先根據(jù)條件得出動點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點(diǎn)的軌跡方程；(3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：動點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動點(diǎn)Q(x0，y0)的變化而變化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲線上，則可先用x，y的代數(shù)式表示x0，y0，再將x0，y0代入已知曲線得要求的軌跡方程；(4)參數(shù)法：當(dāng)動點(diǎn)P(x，y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)動點(diǎn)可用時，可考慮將x，y均用一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程．2.解軌跡問題注意：（1）求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應(yīng)先求軌跡方程，然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等.（2）要驗(yàn)證曲線上的點(diǎn)是否都滿足方程，以方程解為坐標(biāo)點(diǎn)是否都在曲線上，補(bǔ)上在曲線上而不滿足方程解得點(diǎn)，去掉滿足方程的解而不再曲線上的點(diǎn).【典例指引】類型一代點(diǎn)法求軌跡方程例1【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C：上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足。求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且。證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F?！窘馕觥款愋投x法求軌跡方程例2.【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)圓的圓心為A,直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合,l交圓A于C,D兩點(diǎn),過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.（I）證明為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（=2\*ROMANII）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線l交C1于M,N兩點(diǎn),過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【解析】類型三參數(shù)法求軌跡方程例3[2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)]已知拋物線：的焦點(diǎn)為，平行于軸的兩條直線分別交于兩點(diǎn)，交的準(zhǔn)線于兩點(diǎn)．（I）若在線段上，是的中點(diǎn)，證明；（II）若的面積是的面積的兩倍，求中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】類型四直譯法求軌跡方程例4.已知動圓過點(diǎn)，且在軸上截得的弦長為（Ⅰ）求圓心的軌跡方程；（Ⅱ）過點(diǎn)的直線交軌跡于兩點(diǎn)，證明：為定值，并求出這個定值.【解析】點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的.定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).【擴(kuò)展鏈接】1.若一個圓內(nèi)含于另一個圓，則與大圓內(nèi)切與小圓外切的圓的圓心的軌跡為一橢圓，兩圓的圓心為焦點(diǎn)，其長軸長為兩圓半徑之和；2.在一個圓內(nèi)有一點(diǎn)，則過該點(diǎn)且與已知圓相切的圓的圓心的點(diǎn)的軌跡為一橢圓，且其長軸長為已知圓的半徑。⒊過兩點(diǎn)的兩條直線的斜率之積為一負(fù)常數(shù)的點(diǎn)的軌跡為一橢圓（兩點(diǎn)除外）。兩定點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離為長軸長。（時，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)時，焦點(diǎn)在y軸上）⒋將圓的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）拉伸或縮短為原來的倍，該圓變成橢圓；⒌連接圓內(nèi)一定點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的線段的垂直平分線與圓上該點(diǎn)到圓心的連線的交點(diǎn)的軌跡為一橢圓。方橢圓的長半軸與圓的半徑長相等；⒍兩個同心圓較大圓上任一點(diǎn)與圓心的連線與小圓交于一點(diǎn)，從大圓上該點(diǎn)作x軸的垂線，則過小圓交點(diǎn)向該垂線作垂線，其垂足的點(diǎn)的軌跡為橢圓。【新題展示】1．【2019河南鄭州一模（節(jié)選）】設(shè)點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的投影為，動點(diǎn)滿足，動點(diǎn)的軌跡為．（Ⅰ）求的方程；【思路引導(dǎo)】（Ⅰ）設(shè)P（x，y），M（x0，y0），由已知條件建立二者之間的關(guān)系，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法可得軌跡方程；2．【2019四川綿陽二診】己知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l：y＝kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）若直線l過點(diǎn)F1，且｜AF2｜十｜BF2｜＝，求直線l的方程；（2）若以AB為直徑的圓過點(diǎn)O，點(diǎn)P是線段AB上的點(diǎn)，滿足OP⊥AB，求點(diǎn)P的軌跡方程．【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．根據(jù)弦長公式|AB|=，代入整理得，解得．得到直線l的方程．（2）設(shè)直線l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．聯(lián)立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0．結(jié)合韋達(dá)定理及條件，整理得3m2=8k2+8．從而有|OP|2=（定值），得到點(diǎn)P的軌跡是圓，且去掉圓與x軸的交點(diǎn)．寫出點(diǎn)P的軌跡方程即可．3．【2019安徽江南十校第二次聯(lián)考】已知兩個定點(diǎn)，，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離是它到點(diǎn)距離的2倍．（1）求點(diǎn)的軌跡；（2）若過點(diǎn)作軌跡的切線，求此切線的方程．【思路引導(dǎo)】（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式列方程，化簡后可求得軌跡的方程．（2）由于軌跡是圓，故設(shè)切線方程為點(diǎn)斜式，然后利用圓心到直線的距離等于半徑列方程，求得切線的斜率．驗(yàn)證斜率不存在時直線也滿足題意，由此求得題目所求的切線方程，有兩條．4．【2019湖北黃岡、華師附中等八校聯(lián)考（節(jié)選）】已知點(diǎn)，的兩頂點(diǎn)，且點(diǎn)滿足（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)，求動點(diǎn)的軌跡方程；【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，化簡后求得動點(diǎn)的軌跡方程．（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量相等列方程，轉(zhuǎn)化為的坐標(biāo)，代入（1）中的方程可求得的方程．5．【2019廣東江門調(diào)研（節(jié)選）】在平面直角坐標(biāo)系中，，，為不在軸上的動點(diǎn)，直線、的斜率滿足．（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，將利用斜率公式進(jìn)行化簡整理即可得點(diǎn)P軌跡方程；6．【2019廣西柳州1月模擬（節(jié)選）】已知點(diǎn)，直線為平面內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且．（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)動點(diǎn)，則，由展開計算得到的關(guān)系式即可；【同步訓(xùn)練】1．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)(1，0)，直線:，點(diǎn)在直線上移動，是線段與軸的交點(diǎn),異于點(diǎn)R的點(diǎn)Q滿足：，.（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）記的軌跡的方程為，過點(diǎn)作兩條互相垂直的曲線的弦.，設(shè).的中點(diǎn)分別為．問直線是否經(jīng)過某個定點(diǎn)？如果是，求出該定點(diǎn)，如果不是，說明理由．【思路引導(dǎo)】（1）由已知條件知，點(diǎn)R是線段FP的中點(diǎn)，RQ是線段FP的垂直平分線，點(diǎn)Q的軌跡E是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，寫出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）設(shè)出直線AB的方程，把A、B坐標(biāo)代入拋物線方程，再利用中點(diǎn)公式求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可得N的坐標(biāo)，求出直線MN的斜率，得到直線MN的方程并化簡，可看出直線MN過定點(diǎn)．【詳細(xì)解析】2.已知點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，軸于點(diǎn)，若動點(diǎn)滿足（其中為非零常數(shù)）（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）若是一個中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且面積為8的正方形，當(dāng)時，得到動點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，當(dāng)線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)（包括邊界）時，求直線斜率的取值范圍.【思路引導(dǎo)】(1)由相關(guān)點(diǎn)法得到Q點(diǎn)軌跡；（2）求出線段中點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的條件是即，解出來即可.【詳細(xì)解析】3.在直角坐標(biāo)系中，已知定圓，動圓過點(diǎn)且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)是曲線上兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為(異于點(diǎn))，若直線分別交軸于點(diǎn)，證明:為定值.【思路引導(dǎo)】（1）由兩圓關(guān)系得等量關(guān)系，再根據(jù)橢圓定義確定軌跡形狀及標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）解析幾何中定值問題，往往通過計算給予證明，先設(shè)坐標(biāo)，列直線方程，求出與軸交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)在橢圓上這一條件進(jìn)行代入消元，化簡計算為定值.【詳細(xì)解析】4.已知圓與直線相切，點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，軸于點(diǎn)，且動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求動點(diǎn)的軌跡曲線的方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)、且滿足以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段長度的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）由圓與直線相切，可得.然后設(shè)動點(diǎn)，即可求解.

（2）設(shè)出直線的，分斜率存在和不存在兩種情形，以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為.再把直線方程和橢圓方程聯(lián)立【詳細(xì)解析】5.已知橢圓，過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求中點(diǎn)的軌跡方程；（2）求的面積的最大值，并求此時直線的方程．【思路引導(dǎo)】（1）利用點(diǎn)差法，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求中點(diǎn)的軌跡方程；（2）令代入，利用韋達(dá)定理，表示出面積，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求面積的最大值，及此時直線的方程．【詳細(xì)解析】6.已知圓與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上異于的任意一點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線與圓在點(diǎn)處的切線分別交于，直線和交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）曲線與軸正半軸交點(diǎn)為，則曲線是否存在直角頂點(diǎn)為的內(nèi)接等腰直角三角形，若存在，求出所有滿足條件的的兩條直角邊所在直線的方程，若不存在，請說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)，則處的切線為，切線CD與AC,BD組方程組可求得C,D點(diǎn)坐標(biāo)，再直線AD,BC組方程組，解點(diǎn)交點(diǎn)P軌跡方程。注意消參，需要用到點(diǎn)M在圓上。同時注意曲線方程變量范圍。（2）設(shè)，則，與橢圓組方程組，可求得GH,同理求得，再利用進(jìn)行分類討論。【詳細(xì)解析】7.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，圓，以動點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓與圓內(nèi)切.（Ⅰ）求動點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）若直線過點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，則在軸上是否存在一點(diǎn)，使得軸平分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)兩圓內(nèi)切得，再根據(jù)橢圓定義得動點(diǎn)的軌跡的方程；（2）軸平分，就是直線的斜率相反，設(shè)直線，根據(jù)斜率坐標(biāo)公式得，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡可得，即得.【詳細(xì)解析】8.已知點(diǎn)、，動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線，將曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄瑱M坐標(biāo)不變，得到曲線.（1）求曲線的方程；（2）是曲線上兩點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）由直接法,即利用坐標(biāo)表示條件，并化簡可得，再根據(jù)伸縮變換得曲線E的方程為.（2）設(shè)直線方程為：，由點(diǎn)到直線距離公式可得三角形高，由三角形面積公式可得，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程,結(jié)合韋達(dá)定理及弦長公式可得，代入消元可得一元二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳細(xì)解析】9.．已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是，點(diǎn)的軌跡為曲線.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，若，，證明：為定值.【思路引導(dǎo)】（1）設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)為，把斜率之積用坐標(biāo)表示出來化簡可得的方程（注意有些點(diǎn)不合要求）；（2）解析幾何中的定值問題，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.由，可求得，并代入曲線的方程，得的方程，同理得的方程，這樣發(fā)現(xiàn)是方程的兩個實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可得．【詳細(xì)解析】10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是橢圓上的點(diǎn)，且，設(shè)動點(diǎn)滿足.（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線與曲線相交于，兩個不同點(diǎn)，求面積的最大值.【思路引導(dǎo)】(1)利用向量關(guān)系可得動點(diǎn)的軌跡的方程為.(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程可得面積函數(shù)，注意等號成立的條件.【詳細(xì)解析】11.已知圓：（），設(shè)為圓與軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的弦，并使弦的中點(diǎn)恰好落在軸上．（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）延長交曲線于點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)，試判斷以點(diǎn)為圓心，線段長為半徑的圓與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【思路引導(dǎo)】（1）由題意得，設(shè)中點(diǎn)為則得到關(guān)于的方程就是點(diǎn)的軌跡的方程.（2）設(shè)直線的方程為求出直線的方程并聯(lián)立得到點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)距離公式求出，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出距離則線段長為半徑的圓與直線相切.【詳細(xì)解析】12.已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動時，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)做直線與軌跡