2023學(xué)年岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣高一數(shù)學(xué)3月第一次月考試卷及答案解釋

2023學(xué)年岳陽(yáng)市岳陽(yáng)縣高一數(shù)學(xué)3月第一次月考試卷2024.3滿分：150分時(shí)量：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）1．的三內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若，則角的大?。?/p>

）．A． B． C． D．2．已知，是虛數(shù)單位，若，則（

）A． B． C． D．3．已知扇形的周長(zhǎng)為，圓心角為，則此扇形的面積是（

）A． B． C． D．4．在中，角的對(duì)邊分別為，且，，，則A． B． C．或 D．或5．化簡(jiǎn)A． B． C． D．6．設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,若,則的形狀為A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形7．已知向量，，則下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A． B．與向量垂直的一個(gè)單位向量是C． D．向量在向量上的投影向量是8．在中，、、分別為內(nèi)角、、的對(duì)邊，，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，則的最大值為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P0，復(fù)數(shù)z滿足，下列結(jié)論正確的是（

）A．P0點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)P0關(guān)于虛軸對(duì)稱C．復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在一條直線上D．P0與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P間的距離的最小值為10．計(jì)算下列各式，結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為2B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞12．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，，則C．若O為的內(nèi)心，，則D．若O為的垂心，，則三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．已知復(fù)數(shù)，則．14．已知向量，，若，則m=．15．設(shè)銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，則的取值范圍是.16．將函數(shù)圖象與直線的所有交點(diǎn)從左到右依次記為，，…，若P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位．（1）當(dāng)z是純虛數(shù)時(shí)，求m的值；（2）當(dāng)時(shí)，求．18．已知平面向量滿足與的夾角為．(1)求；(2)當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，．19．如圖所示，遙感衛(wèi)星發(fā)現(xiàn)海面上有三個(gè)小島，小島B位于小島A北偏東距離60海里處，小島B北偏東距離海里處有一個(gè)小島C.(1)求小島A到小島C的距離；(2)如果有游客想直接從小島A出發(fā)到小島C，求游船航行的方向.20．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求不等式的解集．21．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出.該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問題：已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且(1)求；(2)若，設(shè)點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，求.22．定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為．(1)設(shè)，請(qǐng)問函數(shù)是否存在相伴向量，若存在，求出與共線的單位向量；若不存在，請(qǐng)說明理由．(2)已知點(diǎn)滿足：，向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，求的取值范圍．1．B【分析】根據(jù)余弦定理直接求解即可.【詳解】解：由余弦定理得，因?yàn)?，所?故選：B2．A【分析】?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相等，實(shí)部、虛部分別相等可得，利用復(fù)數(shù)乘法計(jì)算可得；【詳解】由，可得，故選：A3．B【分析】首先求出扇形的半徑，再由面積公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，因?yàn)樯刃蔚膱A心角，扇形的周長(zhǎng)為，則，解得，所以此扇形的面積.故選：B4．D【分析】利用正弦定理，求得的值，由此求得的大小，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】由正弦定理得，即，解得，故或，所以選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式一、三、五、六可得結(jié)果.【詳解】原式.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了利用誘導(dǎo)公式一、三、五、六化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題.6．B【分析】依題意，利用正弦定理可知，易知，從而可得答案.【詳解】中，因?yàn)?，所以由正弦定理得：，即，又，所以，所以，所以的形狀為直角三角形，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角形形狀的判斷問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有正弦定理，正弦函數(shù)和角公式，誘導(dǎo)公式，屬于簡(jiǎn)單題目.7．D【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算分別求解向量的模、驗(yàn)證向量垂直、投影向量逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則，，所以，故A正確；若，則，則與垂直，故B正確；由于，則，故C正確；向量在向量上的投影向量為，故D錯(cuò)誤.故選：D8．B【分析】由，結(jié)合余弦定理可求，結(jié)合三角形的面積公式可求，再由，結(jié)合，均為單位向量，和平行線分線段成比例可得，，結(jié)合基本不等式可求．【詳解】，，化簡(jiǎn)可得，，，，，且，均為單位向量，過分別作，，垂足分別為，，則，，，，兩式相加可得，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解可得，則的最大值為．故選B．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了余弦定理，平面向量的運(yùn)算法則，三角形的面積公式，基本不等式的綜合應(yīng)用，9．AD【分析】利用幾何意義即可得出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)判斷A；利用復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)即可判斷；由復(fù)數(shù)滿足，根據(jù)幾何意義即可判斷C；點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，即可判斷D.【詳解】A，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因此A正確；B，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于虛軸不對(duì)稱，因此B錯(cuò)誤；C，由復(fù)數(shù)滿足，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，可知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以3為半徑的圓上，因此C錯(cuò)誤；D，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，所以P0與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P間的距離的最小值為，因此D正確.故選：AD.10．BC【分析】運(yùn)用二倍角公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函數(shù)值、三角恒等變換中“1”的代換化簡(jiǎn)即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.11．ABC【分析】先用輔助角公式將函數(shù)變形為，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷正確與否即可.【詳解】函數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)A，，A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，將代入函數(shù)的解析式，得，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，將代入函數(shù)的解析式，得，直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；對(duì)于選項(xiàng)D，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，D不正確；故選：ABC.12．ACD【分析】利用“奔馳定理”可判斷A選項(xiàng)；求出，結(jié)合“奔馳定理”可判斷B選項(xiàng)；利用“奔馳定理”可得出的值，結(jié)合勾股定理可判斷C選項(xiàng)；對(duì)D，由垂心性質(zhì)及向量數(shù)量積的垂直表示可得，結(jié)合奔馳定理結(jié)合三角形面積公式，可得，如圖所示分別為垂足，可設(shè)，，即可由幾何關(guān)系列式解出，最后由正切求出余弦值，則由可求.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋伞氨捡Y定理”可知，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由，，可知，又，所以，由可得，，，所以，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），所以，，故，C對(duì)；對(duì)D，若O為的垂心，則，，又，同理，又，則，且如圖，分別為垂足，設(shè)，，則，又，故，由，解得，由，故，D對(duì).故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積定義、運(yùn)算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結(jié)合三角形面積公式和奔馳定理判斷結(jié)論即可.13．1【分析】先結(jié)合三角函數(shù)值化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)的模【詳解】∵∴.故答案為：114．-4【分析】直接由向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】由，得，解得.故答案為：-4.15．【分析】根據(jù)已知條件，利用正弦定理將目標(biāo)式由邊化為角的函數(shù)關(guān)系，再求的取值范圍，根據(jù)函數(shù)值域即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，，又，故由正弦定理可得：又為銳角三角形，故可得，解得，則，故，即.故答案為：.16．【分析】先作圖分析直線和余弦函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)直線和余弦函數(shù)的對(duì)稱性，分析這些交點(diǎn)之間的聯(lián)系，最后求解.【詳解】在同一坐標(biāo)系中畫出，的圖象，可分析出它們只有5個(gè)交點(diǎn)，如上圖所示，注意到都關(guān)于對(duì)稱，那么、也關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)向量的加法法則，于是.故答案為：17．（1）0；（2）．【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)有分類求解；（2）由復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算．【詳解】（1）由題意，解得；（2）由題意．18．(1)(2)【分析】（1）利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）根據(jù)條件得，利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，化簡(jiǎn)后解方程即可.【詳解】（1）因?yàn)榕c的夾角為，所以，所以.（2）因?yàn)?，所以，化為，解?19．(1)海里(2)游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行.【分析】(1)三邊一角，由余弦定理可以求小島A到小島C的距離；(2)兩邊兩角，由正弦定理可以求角.【詳解】（1）解：(1)在中，，根據(jù)余弦定理得：..所以小島A到小島C的最短距離是海里.（2）解：(2)根據(jù)正弦定理得：解得在中，為銳角.由得游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行答:小島A到小島C的最短距離是海里;游船應(yīng)該沿北偏東的方向航行.20．(1)(2)【分析】（1）由降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合周期公式即可求解；（2）結(jié)合平移法則和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得，由余弦函數(shù)圖象特征解不等式即可求解.【詳解】（1），故；（2）因?yàn)?，向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，故要使，需滿足，解得，故的解集為21．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角公式結(jié)合正弦定理角化邊化簡(jiǎn)可得，即可求得答案；（2）利用等面積法列方程，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.【詳解】（1）由已知中，即，故，由正弦定理可得，故直角三角形，即.（2）由（1），所以三角形的三個(gè)角都小于，則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：，設(shè)，