2024年佛山市順德區(qū)高三數(shù)學(xué)3月模擬聯(lián)考試題卷及答案解釋

年佛山市順德區(qū)高三數(shù)學(xué)3月模擬聯(lián)考試題卷考試范圍：聯(lián)考考綱；考試時(shí)間：120分鐘2024.03第I卷（選擇題）一、單選題（4*15＝60，注意：均只提供四個(gè)選擇項(xiàng)，與聯(lián)考不一樣）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D． E．均不是2．已知，，，則（

）A． B． C． D． E．均不是3．已知，分別是關(guān)于的方程，的根，則下面為定值2023的是（

）A． B． C． D． E．均不是4．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖像，且函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D． E．均不是5．以下不滿足的角是（

）A． B． C． D． E．均不是6．已知，為雙曲線（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線上的任意一點(diǎn)，若的最小值為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．3 E．均不是7．設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則（

）A． B． C． D． E．均不是8．一個(gè)彈性小球從10米自由落下，著地后反彈到原來高度的處，再自由落下，又彈回到上一次高度的處，假設(shè)這個(gè)小球能無限次反彈，則這個(gè)小球在這次運(yùn)動(dòng)中所經(jīng)過的總路程為（

）A．50 B．60 C．70 D．80 E．均不是9．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D． E．均不是10．已知，則被10除所得的余數(shù)為（

）A．9 B．3 C．1 D．0 E．均不是11．在《周易》中，長(zhǎng)橫“”表示陽(yáng)爻，兩個(gè)短橫“”表示陰爻.有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次合成一卦，共有種組合方法，這便是《系辭傳》所說“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”.有放回地取陽(yáng)爻和陰爻一次有2種不同的情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻兩次有四種情況，有放回地取陽(yáng)爻和陰爻三次，八種情況.所謂的“算卦”，就是兩個(gè)八卦的疊合，即共有放回地取陽(yáng)爻和陰爻六次，得到六爻，然后對(duì)應(yīng)不同的解析.在一次所謂“算卦”中得到六爻，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻三個(gè)陰爻的概率是（

）A． B． C． D． E．均不是12．過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D． E．均不是13．已知圓：（）與雙曲線：（，），若在雙曲線上存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D． E．均不是14．如圖，點(diǎn)在邊長(zhǎng)為1的正方形邊上運(yùn)動(dòng)，是的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)經(jīng)過的路程與的面積的函數(shù)的圖象的形狀大致是（

）A．B．C．D．E．均不是15．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的最小正周期是；②函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；③函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；④函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位得到.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4 E．0第II卷（非選擇題）二、解答題16．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值.17．設(shè)數(shù)列滿足，．(1)計(jì)算，猜想的通項(xiàng)公式并加以證明；(2)求數(shù)列，求的前項(xiàng)和．18．已知雙曲線的漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，過點(diǎn)作直線（不與軸重合）與雙曲線相交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線為垂足．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得直線過定點(diǎn)，若存在，求的值及定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.19．一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)（，）都可以表示成形式，其中，是復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開來，（，）叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱“代數(shù)形式”.(1)畫出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，并把表示成三角形式；(2)已知，，，其中，.試求（結(jié)果表示代數(shù)形式）.20．已知關(guān)于的不等式的解集為.(1)求，的值；(2)求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積.1．D【分析】求二次函數(shù)值域可得集合，解指數(shù)不等式可得集合，再求交集即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所?所以.故選：D.2．D【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式計(jì)算即可.【詳解】由題意知，，，，因?yàn)?，，所以由換底公式可得，，又因?yàn)椋ǎ?，所以由換底公式可得.故選：D.3．C【分析】由與關(guān)于直線對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱可得與為同一點(diǎn)即可求得結(jié)果.【詳解】由已知條件可知，，，令，，，如圖所示，曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱，曲線關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)曲線分別與曲線，交于點(diǎn)，，則點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，而點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，即為點(diǎn)，則，即.故選：C.4．A【分析】結(jié)合圖象變換求得解析式，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意知，（）又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以關(guān)于軸對(duì)稱.所以，，解得，，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故選：A.5．D【分析】利用誘導(dǎo)公式及反三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，令，則，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)不成立.故選：D.6．A【分析】設(shè)出點(diǎn)，，坐標(biāo)，運(yùn)用數(shù)量積坐標(biāo)公式可得，結(jié)合可得，進(jìn)而可求得離心率.【詳解】如圖，設(shè)，，，則（當(dāng)且僅當(dāng)在頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），所以，即，所以.故選：A.7．C【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的等和性可得，.故選：C.8．C【分析】運(yùn)用等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得解析式，結(jié)合極限思想即可求解.【詳解】由題意知，這個(gè)小球在這次運(yùn)動(dòng)中第次反彈著地后所經(jīng)過的總路程為，假設(shè)這個(gè)小球能無限次反彈，所以這個(gè)小球在這次運(yùn)動(dòng)中所經(jīng)過的總路程為.故選：C.9．C【分析】在上取點(diǎn)，使，連接、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合題意可得平面，平面，故點(diǎn)到直線距離的最小值為，計(jì)算出即可得.【詳解】在上取點(diǎn)，使，連接、，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由，故，又平面，平面，故平面，由平面，平面，故，故，又，，、平面，故平面，故到平面的距離為，又在線段上，故點(diǎn)到直線距離的最小值為，由，故，則，故.故選：C.10．C【分析】由題意可得，將其展開式寫出后可得，即可得解.【詳解】，由，故被10除所得的余數(shù)為.故選：C.11．B【分析】由題意，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻包含基本事件數(shù)為，由此能求出這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻三個(gè)陰爻的概率.【詳解】在一次所謂“算卦”中得到六爻，基本事件的總數(shù)為，這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻包含的基本事件數(shù)為，所以這六爻恰好有三個(gè)陽(yáng)爻三個(gè)陰爻的概率是.故選：B.12．B【分析】得到圓的圓心與半徑后，借助切線性質(zhì)可得，即可得，即可得.【詳解】圓可化為，即圓心為，半徑為，故圓心到點(diǎn)的距離為，則，由，故，故.故選：B.13．B【分析】由圓的切線的性質(zhì)可得，即雙曲線與圓有交點(diǎn)，即，即可計(jì)算離心率的范圍.【詳解】由，故，則，即雙曲線與圓有交點(diǎn)，即，即，即，即雙曲線的離心率的取值范圍是.故選：B.14．A【分析】求出點(diǎn)在對(duì)應(yīng)線段上時(shí)的解析式，結(jié)合圖象判斷即可得.【詳解】當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，其中A選項(xiàng)符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確.故選：A.15．B【分析】根據(jù)降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可判斷.【詳解】，對(duì)于①，因?yàn)?，則的最小正周期，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，由函數(shù)解析式可知，滿足時(shí)單調(diào)遞減，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，故②正確；對(duì)于③，由函數(shù)解析式可知，對(duì)稱軸滿足，解得，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，故③正確；對(duì)于④，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位可得，故④錯(cuò)誤.故正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是個(gè).故選：B.16．(1)(2)【分析】（1）對(duì)函數(shù)配方后，可得其對(duì)稱軸，從而可求得其單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出的取值范圍，（2）對(duì)函數(shù)配方后，可得其對(duì)稱軸，然后分和兩種情況求出函數(shù)的最大值【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為直線，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍是；（2）當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的最大值；函數(shù)在上的最大值.17．(1)，，，猜想，證明見解析(2)【分析】（1）利用遞推關(guān)系式可求得，由此可猜想得到通項(xiàng)公式；利用數(shù)學(xué)歸納法可證得通項(xiàng)公式成立；（2）由（1）可得，采用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1）由，得：；；；由此可猜想，證明如下：當(dāng)時(shí)，，即成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，那么當(dāng)時(shí)，，即成立；綜上所述：當(dāng)時(shí)，.（2）由（1）得：，，，兩式作差得：，.18．(1)(2)存在實(shí)數(shù)，使得直線過定點(diǎn)【分析】（1）焦點(diǎn)到漸近線的距離為，在根據(jù)漸近線方程求出；（2）計(jì)算出的直線方程，再令即可求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）焦點(diǎn)到漸近線的距離不妨求直線的距離，漸近線方程，得所以雙曲線方程為；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得直線過定點(diǎn),設(shè)直線，則．聯(lián)立，消得則．直線，令得:又當(dāng)即時(shí)，為定值所以存在實(shí)數(shù)，使得直線過定點(diǎn).19．(1)圖象見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限畫出圖象，求得復(fù)數(shù)的模和輔角即可；（2）根據(jù)，進(jìn)而求得，，再利用復(fù)數(shù)的乘法求解.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)