福建省莆田市第二十五中學2023-2024學年高三年級上冊期中數學試題

莆田第二十五中學2023-2024學年上學期高三數學期中考試卷

考試時間：120分鐘

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1,已知集合1*-3J或xN2},則Ac僅3）=（）

A.0B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2}

2.“若VXG；,2,3/一/11+1>0恒成立”是真命題，則實數4可能取值是（）

A2及B.273C.4D.5

3.華羅庚說：“數無形時少直覺，形少數時難入微，數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛?“所以研究函

數時往往要作圖，那么函數/（x）=gln|x|cos3x的部分圖象可能是（）

4.若一系列函數的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數為“同值函數例如函數），=/,

xe[l,2]與函數y=d,%目-2,—1]即為“同值函數”，給出下面四個函數，其中能夠被用來構造“同值函

數”的是（）

A.y=B.y=JC.y=log2xD.y=|x-l|

5.設函數/（x）=logjx+f）在區(qū)間[1,M）上單調遞減，則〃取值范圍是（）

A.（F,l]B.[0,1]C.（-1,1]D.[1,-KQ）

6.如圖，點尸是棱長為2的正方體ABC?！狝AGA表面上的一個動點，直線A尸與平面A8QD所成的

角為45。，則點P的軌跡長度為（）

A.兀+4&B.4血兀C.2>/3D.30+兀

2x,八

----,x<0

x—1

7.已知函數，（x）=v，若關于*方程/（x）=x—。無實根，則實數”的取值范圍為

Inx八

——,x>0

Ix

B.(-1,0)

D.(0,1)

8.已知“X）是定義在R上的偶函數，對任意實數x滿足〃x）=/（2-x）,且/（x）在［—2023,—2022］

上單調遞增，設a=〃—log32）/=/（ln（2e2））,c="2021）,則a也c的大小關系是（）

A.c<h<aB.b<c<aC.c<a<bD.b<a<c

二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，部分選對的得2分，全部選對的

得5分.）

9.已知上］（〃eN*）的展開式中含有常數項，則”的可能取值為（）

A.4B.6C.8D.10

10.小張等四人去甲、乙、丙三個景點旅游，每人只去一個景點，記事件A“恰有兩人所去景點相同”，事

件8為“只有小張去甲景點”，則（）

A.這四人不同的旅游方案共有64種B.“每個景點都有人去”的方案共有72種

C.-D.“四個人只去了兩個景點”的概率是巴

11.如圖，圓錐SO的底面圓。的直徑AC=4,母線長為2a，點B是圓。上異于A,C的動點，則下

列結論正確的是（）

s

A.SC與底面所成角為45°

B.圓錐SO的表面積為40兀

C.N5>LB的取值范圍是[nJ

D.若點B為弧AC的中點，則二面角S—BC—O的平面角大小為45。

12.定義在R上的函數“力滿足〃2r)=/(x)]⑴=2J(3x+2)為奇函數,函數g(x)(xeR)滿

足g(x)=-g(4-x),若y=/(x)與y=g(x)恰有2023個交點&,%),(和力)，，(馬如力)*)，則

下列說法正確的是()

A.42023)=2B.x=l為y=/(x)的對稱軸

2023

C./(0)=()D.E(X,.+X)=4046

i=l

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

-1

13.若2z=——，則z在復平面內對應的點位于第象限.

1+1

14.某校期末統(tǒng)考數學成績服從正態(tài)分布N(76/6).按15%,35%,35%,15%的比例將考試成績劃

為AB,C,。四個等級，其中分數大于或等于83分的為A等級，則8等級的分數應為.(用區(qū)

間表示)

15.一生產過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.現從甲、乙、丙等7名工人中安排4人分別照

看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，

則不同的安排方案共有種

16.如圖，在邊長為6的正方形鳥舄中，B,C分別為1巴、舄A的中點，現將

分別沿AB，BC,C4折起使點4，巴，居重合，重合后記為點P,得到三棱錐P—A3C,則

三棱錐P-ABC的外接球表面積為.

p

四、解答題(本大題共6題，共70分)

17.已知_ABC的內角AB,C的對邊分別為且6sinC=csinO.

2

(1)求角B；

(2)若。=J15,C=3“，求的面積.

18.設｛風｝是公差不為0的等差數列，%=8，成等比數列.

(1)求｛凡｝的通項公式：

3

(2)設瓦=-----,求數列也,｝的前〃項和S”.

anan+\

19.如圖，正三棱柱ABC-A4G中，點。在棱AB上，且CO_LOB-

(1)求證：4&//平面。。4；

TT

(2)若正三棱柱ABC-A￡G的底面邊長為2,二面角。一BC—B的大小為三，求直線到平面

CDB、的距離.

20.某闖關游戲必須闖過若干關口才能成功，其中第一關是答題，分別設置“文史常識題”“生活常識題”“影視

藝術常識題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：

方案一：答題3道，至少有2道答對

方案二：在這3道題目中，隨機選取2道，這2道都答對.

方案一和方案二中只要完成一個，就能通過第一關，假設甲選擇方案一、且答對每一道題的概率是,，乙選

3

擇方案二，且3道題中只能答對其中兩道題.

(1)求甲答對題目數量X的分布列與數學期望；

(2)設甲和乙中通過第一關的人數為g,求&的分布列；

(3)若丙答對這3道題中每一道題的概率都是p(pw(O,l)),且這3道題是否答對相互之間沒有影響，

丙選擇方案一通過第一關的概率為Pi，選擇方案二通過第一關的概率為。2,直接比較P1與P2的大小.

21.已知橢圓E：，+左=1(。>8>0)的左焦點為尸，左頂點為(一若,0),離心率為乎.

(1)求E的方程；

(2)若過坐標原點。且斜率為攵(％。0)的直線/與E交于A,8兩點，直線AF與E的另一個交點為C,

的面積為生但，求直線轉的方程.

5

22.已知函數/(X)=(x—2)(e*_ax)(aeR).

⑴若4=2,討論/(X)的單調性.

(2)已知關于x的方程/(x)=(x—3)e，+2以恰有2個不同的正實數根不々.

(i)求。的取值范圍；

(ii)求證：X1+x2>4.

莆田第二十五中學2023-2024學年上學期高三數學期中考試卷

考試時間：120分鐘

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)

1,已知集合1*-3J或xN2},則Ac僅3)=()

A.0B.{1}C.{0,1}D.{0,1,2}

【答案】B

【解析】

【分析】首先求出集合A,然后根據集合的運算可得答案.

x+2

【詳解】由——40可得—24x<3,

x—3

所以集合4={1,2},

因為43={x[T<x<2},所以AI低B)={1},

故選：B.

2.“若Vxe；,2,3/一/11+1>0恒成立”是真命題，則實數2可能取值是()

A.2A/2B.26C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】由題得到恒成立，求出3x+」]即可得到答案.

xIX人in

【詳解】Vxe1,2,3X2-/L%+1>0.即丸<3%+，恒成立，

12」x

3x+->2,l3x--=2V3,當且僅當3x=,，即苫=立時等號成立，故，<28.

xvxx3

對比選項知A滿足.

故選：A

3.華羅庚說：“數無形時少直覺，形少數時難入微，數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛.”所以研究函

數時往往要作圖，那么函數/(x)=gmWcos3x的部分圖象可能是()

【解析】

1A

【分析】根據奇偶性排除BC,根據當XG0，-時〃x)<(),排除A,繼而得解.

【詳解】因為/(-x)=gln|-Mcos(-3x)=glnWcos3x,所以/(x)〒/'(-x),所以/(x)為偶函數,

2

排除BC,

當時，lnx>(),且cos3x>0.

JA1

所以當xe0,—時，/(x)=—In|x|cos3x<0,排除A；

6)22

故選：D.

4.若一系列函數的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數為“同值函數''.例如函數y=V,

工￡[1,2]與函數>即為“同值函數”，給出下面四個函數，其中能夠被用來構造“同值函

數”的是()

A.產出3

B.y=xC.y=log2xD.y=|x-l|

【答案】D

【解析】

【分析】由題意得到函數不單調才能符合要求，ABC錯誤，D中)=卜-1|不單調，且可舉出實例.

【詳解】要想能夠被用來構造“同值函數”，則要函數不單調,

ABC選項，y=在R上單調遞減，>=/在R上單調遞增,

2J

、=1。82%在（0,+8）上單調遞增，ABC錯誤；

D選項，y=|x-1]在（—8,1）上單調遞減，在（1,+8）上單調遞增,

不妨設丁=k—1|,N目1,力與函數^=上一1|,xe[O,l],兩者的值域相同，為同值函數，D正確.

故選：D

5.設函數/（x）=logjx+m）在區(qū)間[1,例）上單調遞減，則〃的取值范圍是（）

A.（-oo,l]B.[0,1]C.（-1,1]D.[l,+oo）

【答案】C

【解析】

【分析】根據復合函數的單調性可得X+?在區(qū)間[1,內）上單調遞增，分。>0、。=0、a<0討論，根據在

[1,+8）上單調性可得答案.

【詳解】/（%）=lOg|1%+/J在口,+8）單調遞減上單調遞減，

根據復合函數的單調性可得x+三在區(qū)間[1,+8）上單調遞增，

當a>0時，X+：在[石,+8）單調遞增，需滿足Gwl，

當a=0滿足題意，

當a<0時，在（0,+8）單調遞增，則在區(qū)間[1,用）上單調遞增

又需滿足真數x+0>0,則最小值1+0>0,即a>—1,

x1

綜上一l<aWl.

故選：C.

6.如圖，點P是棱長為2的正方體ABC。-表面上的一個動點，直線小與平面ABCO所成的

角為45。，則點尸的軌跡長度為（）

A.兀+4&B.4及無C.2GD.3X/2+K

【答案】A

【解析】

【分析】先利用直線”與平面A8CD所成的角為45。求得點p的軌跡，進而求得點P的軌跡長度.

【詳解】若點尸在正方形A4GA內，

過點P作”_L平面ABCD于P，連接AP'，AP.

則N/Wy為直線”與平面ABCD所成的角，貝iJNR4P'=45，

又PP'=2，則PA=2>/2，則=2，

則點P的軌跡為以A為圓心半徑為2的圓(落在正方形4片G2內的部分)，

若點尸在正方形A4AB內或A2A。內，軌跡分別為線段AB”A",

因為點P不可能落在其他三個正方形內，

所以點尸的軌跡長度為2x^+2&+2夜=兀+4夜.

2

O

故選：A

—,x<0

7.已知函數/(x)=,若關于x的方程/(x)=x—a無實根，則實數。的取值范圍為

Inx八

——,x>0

Ix

A.°°0)|J^—,1JB.(—1,C

9)

c.D.(0,1)

【答案】D

【解析】

【分析】畫出/（X）圖像，然后找到y(tǒng)=/（x）圖像與直線y=x-a無交點的情況，利用導數的幾何意義求

出切線方程和切點坐標，從而得到臨界狀態(tài)時”的值，從而得到”的范圍，得到答案.

（詳解】方程/（X）=x-a無實根等價于函數y=f（X）的圖像與直線y=X-a無交點.

2x,八

---,x<0

:一1的圖像，如圖,

畫出函數/（%）=?

mx八

——,x>0

x

2x

由圖像知，當aWO時，直線丁=無一a與曲線/（x）=（尤WO）必有交點,

x-1

當a＞（）時，設直線y=x—a與曲線/*）=用。＞0）相切時，切點為〃（分，匕

由廣（?=匕與，

X

代入切點橫坐標看得切線的斜率,

1-In/、

所以一^°=1,解得為=1,則P（l,o）,

所以切線方程為y=x-l得。=1.

由圖像知實數。的取值范圍為（0,1）,

故選：D.

【點睛】本題考查函數與方程，利用導數求函數的切線，屬于中檔題.

8.已知“X）是定義在R上的偶函數，對任意實數%滿足〃x）=/（2—x）,且“力在[-2023,—2022]

上單調遞增，設4=〃—10832）/=/阿262））,0=/（2021）,則。也。的大小關系是（）

A.c<b<aB.b<c<aC.c<a<bD.h<a<c

【答案】A

【解析】

【分析】利用函數奇偶性以及"x)=/(2-x)可知/(x)的周期為2,且在［0,1］上單調遞減，將表達式

a,化簡可得a=,8=/(ln2),c=/(l),又易知OcH'VlnZvl即可得c<Z?<a.

【詳解】根據題意可知〃x)=〃2r)=f(%—2),即可得〃x)=〃x+2),

所以函數/(x)是以2為周期的偶函數，

又“X)在［—2023,—2022］上單調遞增，所以可得/(x)在［-1,0］上單調遞增；

根據偶函數性質可知“X)在［()』上單調遞減，

又。=/(-log32)=/(log32)=/［篇)

22

/?=/(ln(2e))=/(ln2+lne)=/(ln2+2)=/(ln2)

c=/(2021)=/(l)

顯然ln3>l,所以可得0<@2<ln2<l,即>“In2)>41)；

In3\ln3y

因此可得cvbva.

故選：A

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，部分選對的得2分，全部選對的

得5分.)

9.己知(x—(〃eN*)的展開式中含有常數項，則〃的可能取值為()

A.4B.6C.8D.10

【答案】AC

【解析】

4

【分析】求出展開式的通項，再令〃-一廠=0,可得〃與，的關系，用賦值法從而可得出結論.

3

【詳解】.一；)(〃eN*)展開式的通項為：加=(T)'C：?x"，xj=(_l)'C>x4,其中

43

令〃r=0,則r=—〃，可知〃為4的倍數，故B、D錯誤；

34

當r=3時，n最小為4；當r=6時，〃為8；

故選：AC.

10.小張等四人去甲、乙、丙三個景點旅游，每人只去一個景點，記事件A為“恰有兩人所去景點相同”，事

件8為“只有小張去甲景點”，則（）

A.這四人不同的旅游方案共有64種B.“每個景點都有人去”的方案共有72種

C.LD.“四個人只去了兩個景點”的概率是巴

v17627

【答案】CD

【解析】

【分析】A選項，根據分步乘法計數原理求出答案；B選項，根據部分平均分組方法計算出答案；C選項,

利用排列組合知識得到〃（A）=36,〃（AB）=6,利用條件概率公式求出答案；D選項，求出四個人只去了

兩個景點的方案數，結合A中所求，求出概率.

【詳解】A選項，每個人都有3種選擇，故共有34=81種旅游方案，A錯誤；

B選項，每個景點都有人去，則必有1個景點去了2個人，另外兩個景點各去1人,

故有卑C-A；=36種方案,

B錯誤;

C選項，恰有兩人所去景點相同，即有1個景點去了2個人，另外兩個景點各去I人,

由B選項可知，〃（A）=36,

又事件A8,即小張去甲景點，另外3人有兩人去了同一個景點，其余1人去另一個景點,

故〃（M）=C；C；A；=6,

所以P（B|A）=粵等=c正確；

D選項，“四個人只去了兩個景點“，分為2種情況，

第一，有3人去了同一個景點，另外一個去另外一個景點，則有C：C；A；=24種方案，

C2c2

第二，2人去了同一個景點，另外2人去了另一個景點，故有卡18種方案,

由A選項可知，這四人不同旅游方案共有81種,

24+1814

故“四個人只去了兩個景點”的概率為------=一，D正確.

8127

故選：CD

11.如圖，圓錐SO的底面圓0的直徑AC=4,母線長為2起，點8是圓0上異于A，C的動點，則下

列結論正確的是（）

A.SC與底面所成角為45°

B.圓錐SO的表面積為4夜兀

C.NS4B的取值范圍是

D.若點B為弧AC的中點，則二面角S—3C—O的平面角大小為45。

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A,根據SO,面A3C,由cos<SCO="0C判斷；對于B,由圓錐SO的側面積公式求解

SC

判斷；對于C,由求解判斷；對于D,取的中點。，連接0。，SD,易得NSDO為

二面角S—BC—O的平面角求解判斷.

【詳解】對于A,因為SO,面A8C,所以NSCO是SC與底面所成角，

在RtZ\SOC中，圓錐的母線長是2及，半徑r=OC=2,

則cos/SCO=%=」==也，所以NSCO=45°,則A正確；

SC2A/22

對于B,圓錐SO的側面積為"=4\反兀，表面積為4\/5兀+4兀，貝！JB錯誤;

對于C,當點8與點A重合時，NAS3=0為最小角，

7F

當點4與點c重合時NAS8=—,達到最大值,

2

又因為B與A,C不重合，則

(Tt71]

又2NSAB+NASB=TI,可得則C正確;

對于D,如圖所示，

取5c的中點O,連接QD,SD,又。為AC的中點，則OD//AB,

因為ABS3C,所以8C_LO￡>,又SOJL面ABC,3Cu面ABC,所以3CLSO,

又SOOD=O,BC上面SOD,故BC_LS￡),

所以NSDO為二面角S—BC—O的平面角，

因為點B為弧AC的中點，所以AB=2&，0D=^AB=^2,則tanNS。。=器=血，則D錯誤.

故選：AC.

12.定義在R上的函數滿足〃2-9=/(力,/⑴=2J(3x+2)為奇函數,函數g(x)(xeR)滿

足g(x)=-g(4r),若y=〃x)與尸g(x)恰有2023個交點(/%),(%,%)，，(工2023，必023)，則

下列說法正確的是()

A.42023)=2B.x=l為y=/(x)的對稱軸

2023

C./(())=()D.Za+y)=4046

Z=1

【答案】BCD

【解析】

【分析】由."2—x)=/(x),得函數/(x)圖象關于直線％=1對稱，由/(3x+2)是奇函數，得了(幻的圖象關

于點(2,0)對稱，從而得F3是周期函數，4是它的一個周期，由g(x)=-g(4-x),得g(x)圖象關于點

(2,0)對稱，從而知/(A與g(x)的圖象的交點關于點(2,0)對稱，點(2,0)是它們的一個公共點，由此可判斷

各選項.

【詳解】/(2-%)=/(%),則函數JU)圖象關于直線x=l對稱，B正確；

〃3x+2)是奇函數，即/(-3x+2)=—/(3x+2),/(一.+2)=—/Q+2),則/⑴的圖象關于點(2,0)對

稱，*2)=0,稱0)=/(2)=0,C正確;

所以/(x+2)=-f(2-x)=x)]=-/(x),從而/(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以/(?是周期

函數，4是它的一個周期，/(2023)=/(3)=-/(1)=-2,A錯；

又g(x)=-g(4-x),g(x)圖象關于點(2,0)對稱，因此/(x)與g(x)的圖象的交點關于點(2,0)對稱，點

(2,0)是它們的一個公共點，

202320232023

￡(蒼+乂)=￡%+￡%=2x2023=4046,D正確.

i=l/=1/=1

故選：BCD.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.若25=一匚，則z在復平面內對應的點位于第象限.

1+i

【答案】四

【解析】

【分析】根據復數除法運算和復數幾何意義即可得到答案.

i11.

【詳解】2]=」一,則z----=--1-1

1+12(l+i)44

所以z=L—」i,則其在復平面內對應的點為

故其在第四象限，

故答案為：四.

14.某校期末統(tǒng)考數學成績服從正態(tài)分布N(76,16).按15%,35%,35%,15%的比例將考試成績劃

為四個等級，其中分數大于或等于83分的為A等級，則8等級的分數應為.(用區(qū)

間表示)

【答案】[76,83)

【解析】

【分析】根據已知條件及正態(tài)分布的特點即可求解.

【詳解】設考試成績?yōu)閄，

由題意可知，〃=76,cr=4,P(X>76)=0.5,P(X>83)=0.15,

所以P(76<X<83)=P(X>76)-P(X>83)=().5-0.15=0.35,

所以8等級的分數應為［76,83）,

故答案為：［76,83）.

15.一生產過程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.現從甲、乙、丙等7名工人中安排4人分別照

看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，

則不同的安排方案共有種

【答案】60

【解析】

【分析】按“問題元素”優(yōu)先的原則，進行分類，然后計算求解即可.

【詳解】此題的難度主要是來自分類，按“問題元素”優(yōu)先的原則，對甲進行分類：甲照看第一道工序（甲

1丙4）、甲照看第四道工序（甲4乙1）、甲“不照看第一和第四道工序”（乙1丙4）三種.

A；+A；+A；=60.

故答案為：60

16.如圖，在邊長為6的正方形中，B,C分別為片鳥、6A的中點，現將4BPC

A6c分別沿AB，BC,C4折起使點4，P2,鳥重合，重合后記為點P,得到三棱錐P—A3C，則

三棱錐P-ABC的外接球表面積為.

【答案】54K

【解析】

【分析】根據題意，折疊成的三棱錐P-A8C的三條側棱Q4，PB,PC兩兩互相垂直，將三棱錐補形

成長方體，則三棱錐的外接球即是長方體的外接球，外接球直徑為體對角線長，得解.

【詳解】根據題意，折疊成的三棱錐P-A5C的三條側棱Q4，PB,PC兩兩互相垂直，

將三棱錐補形成長方體如圖，則三棱錐的外接球即是長方體的外接球，

外接球的直徑等于以PB,PC,為長、寬、高的長方體的對角線長，

PA=6,PB=PC-3，

2R=。P#+PEi1+PC，=736+9+9=后，

所以外接球的表面積5=4兀/?2=兀*（2尺『=5471.

故答案為：5471.

四、解答題（本大題共6題，共70分）

17.已知一ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,4c,且6sinC=csin'.

2

（1）求角B；

⑵若b=M,c=3a,求二ABC的面積.

2

【答案】（1）:兀

⑵述

4

【解析】

【分析】（1）根據題意由正弦定理和正弦的二倍角公式可得cosO=',結合角B的范圍即可求得8=]兀；

223

（2）由（1）中8=|兀以及/,=JJ5,C=3。，利用余弦定理計算可解得。=l,c=3,再由三角形面積公式

即可得_ABC的面積.

【小問1詳解】

根據bsinC=csin-,由正弦定理可得sinBsinC=sinCsin-,

22

BBBB1

又sinC00,所以可得sin8=2sin—cos—=sin—,即cos—=-；

22222

因為Be（O,兀），所以弓

2

即3=金.

3

【小問2詳解】

由匕==結合（1）中的結論8二:兀，

由余弦定理可得。2=/+/-2accosB，即13=a2+9f72-6a2x）——],

解得/=1，即。=Lc=3,

所以sABc='acsin8=,xlx3x^=空?

ABC2224

即一ABC面積為".

4

18.設｛qj是公差不為0等差數列，%=8，q,4，為成等比數列?

（1）求｛4｝的通項公式：

3,

（2）設為=—,求數列也｝的前〃項和S“.

anan+\

【答案】⑴an=3n-l

（2）s,,=3-

6〃+4

【解析】

【分析】（1）設｛q｝的公差為d，然后根據已知條件列方程可求出生,d,從而可求出通項公式,

,311

（2）由（1）得a=-----=--再利用裂項相消法可求得結果.

aHan+l3〃-13〃+2

【小問1詳解】

設｛為｝的公差為"，

因為成等比數列,所以。；=%嗎|

又因為q=8,所以82=（8-2d）（8+8d）,所以/一34=0.

因為dwO,所以d=3,所以q+2d=4+6=8,得％=2,

故a”=2+3（n—1）=3?—1.

【小問2詳解】

3_3_1______1_

因為"（3〃-1）（3〃+2）3n-l3〃+2，

113n

23〃+26〃+4

19.如圖，在正三棱柱ABC-A4G中，點。在棱AB上，且

（1）求證：46//平面。。4；

（2）若正三棱柱ABC-A4a底面邊長為2,二面角。-耳。-3的大小為T，求直線AG到平面

CDB,的距離.

【答案】（1）證明見解析

⑵—

3

【解析】

【分析】（1）根據正三棱柱ABC-A4G和與得CZ）_LAB,即可得。是AB的中點，從而由中

位線得OM〃AG，證明結論.

（2）由二面角。-BQ-3的大小為三，解得平面BC用的一個法向量，根據第一問的平行和點到平面的

距離公式得出答案.

【小問1詳解】

在正三棱柱ABC-AgG中，8片是側棱，所以_L平面ABC,

又C￡）u平面ABC,所以CO，8%

又BB、cDB\=B1,BB},u平面所以CD_L平面448片，

因為A3u平面AABg,所以CD_LAB，又因為C4=CB,所以。是AB的中點.

如圖，連接GB,交C用于點M,連接。M.因為M是GB的中點，

所以。M是一ABG的中位線，所以。M〃AC1,

又ZWu平面CQg,AG0平面CQg,所以ACJ/平面CD61.

【小問2詳解】

取44的中點2,可知DD"/BB_所以。A_L平面ABC.以。為原點,

分別以08，DC,。2所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系。一肛z,

設三棱柱A8C?A4G的高為〃，則0(0,0,0),B(l,0,0),C(0,V3,0),4(1,0,〃)，A(—l,0,0),

CD=(0,-V3,0),CB}=(l,-V3,/z),CB=(l,-V3,0),=(-1,0,0).

CD-m--yfiy.=0

設平面DCq的一個法向量為4=(%,%zj,則,

"r，取Z]=-1,得

CB1-m=x,-+辰1=0

m=(/z,O,—1).

CB-n=x2—>/3y2=0

設平面8C4的一個法向量為〃=(%,%,Z2)，貝卜

CB[-n=x2-6y2+辰2=。

?。?i，得〃=(6,i,o).

所昨網肛〃人端二^^；，解得〃=孝,所以加=-^-,0,-1,

I2J

由(1)知AC//平面cog,所以直線AG到平面CO科的距離即點A到平面C￡>A的距離,

V2

?制

因為￡)A尋法==坐，所以直線AC1到平面Cog的距離為亞

33

z,

C,K------------------------\—^B]

l\IIl

I\\xLz^//I

I\\\Jr，II

I\\>，/II

4

20.某闖關游戲必須闖過若干關口才能成功，其中第一關是答題，分別設置“文史常識題”“生活常識題”“影視

藝術常識題”這3道題目，規(guī)定有兩種答題方案：

方案一：答題3道，至少有2道答對

方案二：在這3道題目中，隨機選取2道，這2道都答對.

方案一和方案二中只要完成一個，就能通過第一關，假設甲選擇方案一、且答對每一道題的概率是』，乙選

3

擇方案二，且3道題中只能答對其中兩道題.

（1）求甲答對題目數量X的分布列與數學期望；

（2）設甲和乙中通過第一關的人數為j，求J的分布列；

（3）若丙答對這3道題中每一道題的概率都是p（pw（O』）），且這3道題是否答對相互之間沒有影響，

丙選擇方案一通過第一關的概率為Pi，選擇方案二通過第一關的概率為聲，直接比較P1與P2的大小.

【答案】（1）分布列見解析,E（X）=1

7

（2）分布列見解析，E（^）=—

（3）P|>p2

【解析】

【分析】（1）寫出隨機變量X的所有取值，求出對應概率，即可得分布列，再根據期望公式求期望即可；

（2）先分別求出兩人過關的概率，寫出隨機變量J的所有取值，求出對應概率，即可得分布列，再根據期

望公式求期望即可；

（3）先分別求出口，生，再作差即可得解.

【小問1詳解】

由題意，X可取0,1,2,3,

則P(X=O)=C；xK[=*P(X=l)=C；lxf|T=t

P(x=2)=c{/狀,尸(X=3)=m，

所以分布列如下：

X0123

8421

P

279927

所以E(X)=0xg+lx3+2x2+3x-5-=l；

')Z19927

【小問2詳解】

甲通過的概率編=《{!)x|+c；1g)=焉，

乙通過的概率攵

J可取0,1,2,

則尸代=0)=(弓40

87

717

P傳=2)=——X—

2738?

所以分布列如下:

012

40347

P

8?8181

匚…l/八八4034716

所以E(/=0x嬴+lx嬴+2x諭=方;

O1olO1乙/

【小問3詳解】

232

Pi=Cr/?(l-p)+C3-p=3p--2p\p2=p,

貝IJPl-02=2P2-2P3=Ip1（1-，），

因為〃e（O,l）,所以Pl—〃2=2p2（l—p）>0,

所以Pi>P2-

21.已知橢圓E：，+芯=1（。>/,>0）的左焦點為F,左頂點為（一出,0）,離心率為坐.

（1）求E的方程；

（2）若過坐標原點。且斜率為左（左。0）的直線/與E交于A,B兩點，直線AF與E的另一個交點為C,

-4BC的面積為地，求直線他的方程.

5

2v2

【答案】（1）二x+2-=1

32

（2）%—y+1=0或x+y+1=0

【解析】

【分析】（1）由左頂點為（-6,0卜導。=百，再根據離心率為e=￡=當，求出C值，則得到。值，則求

出E的方程.

（2）設直線方程為％=聯(lián)立橢圓方程得（2產+3）丁-4"—4=0,設A&,y）,C（x2,y2）,貝ij

得到韋達定理式，利用弦長公式得到E-%|=y+1，則有S-=等#+1=巫，解出

即可.

【小問1詳解】

設橢圓E的半焦距為c（c>0）.

因為橢圓E的左頂點為卜百,0）,所以a=JL

又離心率6=￡=也，所以c=l.

a3

所以Z>2=—2,

2

所以E的方程為f二+v二=1.

32

【小問2詳解】

由（1）可知，設直線AF的方程為無=（y—1.

由::"Il/消去x并整理得（2r+3）y_4/_4=0.

2x+3^=6'7

設A6,yJ,C（%,%）,

4z—4

則X+%=—;——，X%=———，

''22『+31-2r+3

因此&AOC=1—），|==-^4BC=冬回，

v△40c21IP）2|22"r"++312△48c5

解得尸=1,即/=±1,

所以直線?的方程為x-y+l=0或x+y+l=0.

【點睛】關鍵點睛：第二問通常采取設線法，為了減少計算，我們引入參數上設直線■的方程為

x^ty-l,聯(lián)立橢圓得到方程(2『+3)丁—4)—4=0,則得到韋達定理式，再利用弦長公式得到其面

積相關方程，解出參數。即可.

22.已知函數/(x)=(x-2乂e*-辦)(aGR).

⑴若a=2,討論“X)的單調性.

(2)已知關于x的方程/(x)=(x-3)e、+2or恰有2個不同的正實數根4,馬.

(i)求”的取值范圍；

(ii)求證：玉+無2>4.

【答案】⑴/(x)在(-^,1),(21n2,+o。)上單調遞增,在(1,212)上單調遞減

/e2\

(2)