蘇科版八年級數(shù)學(xué)下冊常考點微專題提分精練專題14三角形斜邊中線與中位線結(jié)合(原卷版+解析)

專題14三角形斜邊中線與中位線結(jié)合【例題講解】（1）如圖1，已知△ABC中，F(xiàn)是BC上一點，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中點，請說明FC和DE有怎樣的關(guān)系？（請寫出詳細的推理過程）（2）如圖2，在△ABC中，M、D分別是邊AB、AC的中點，E是線段MD上的一點．連接AE、BE，∠AEB＝90°，且AB＝8，BC＝14，則DE的長是______．解：（1），理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即點E是AF的中點，又∵D是AC的中點，∴DE是△ACF的中位線，∴；（2）∵M、D分別是AB、AC的中點，∴MD是△ABC的中位線，∴，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中點，∴，∴DE=MD-ME=3．【綜合演練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC邊上的中線，DE是△ABC的中位線，若DE＝10，則BF的長為（

）A．10 B．5 C．8 D．62．如圖，在中，平分，于點，為的中點，連接延長交于點若，，則線段的長為（

）A． B． C． D．3．如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，點F為射線CB上一動點，過點C作CM⊥AF于M交AB于E，D是AB的中點，則DM長度的最小值是(

)A． B． C．1 D．-24．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點．若△CEF的周長為18，則OF的長為()A．3 B．4 C． D．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明二、填空題(共0分)5．已知，如圖，在△ABC中，D、E、F分別是各邊的中點，AH是高，已知AB＝6cm，AC＝8cm，，則△DHE的周長為________cm．6．如圖，在中，，，，，分別為，，的中點，若，則的長度為_____．7．如圖，菱形ABCD中，，垂足為E，點F、G分別為邊AD、DC的中點，，則___________．8．如圖，在和中，，、、分別為、、的中點，若，則_________．9．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)在AB上，E在BC的延長線上，AF＝CE，連接DF、DE、EF，EF交對角線BD于點N，M為EF的中點，連接MC，下列結(jié)論：①△DEF為等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直線MC是BD的垂直平分線；④若BF＝2，則MC＝；其中正確結(jié)論的有_______．10．如圖，中，，為邊上的中點，為邊上一點，，連接，延長交延長線于，若，，則________．11．如圖，在中，，點P是平面內(nèi)一個動點，且，Q為的中點，在P點運動過程中，設(shè)線段的長度為m，則m的取值范圍是_______．三、解答題(共0分)12．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別是AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．(1)求證：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度數(shù)；②求BN的長．13．如圖，D、E、F分別是△ABC三邊中點，AH⊥BC于H．求證：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．14．在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AB，點E、F分別是OA、BC的中點，連接BE、EF．(1)求證：EF=BC；(2)在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點，且BG:GD=3:1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結(jié)論．15．如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），連接AB，BC，平移BC至AD（點B與點A對應(yīng)，點C與點D對應(yīng)），連接CD．(1)①直接寫出點D的坐標為．②判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)如圖1，點E為AB邊上一點，連接DE，DF平分∠EDC交BC于F，連接EF，若∠DFE＝45°，求BE的長；(3)如圖2，N為BC邊的中點，若∠AMC＝90°，連接MN，請直接寫出MN的取值范圍．16．已知，在△ABC中，以△ABC的兩邊BC，AC為斜邊向外測作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC邊AB的中點M，連接ME，MD．特例感知：（1）如圖1，若AC=BC，∠ACB=60°，∠CAE=∠CBD=45°，取AC，BC的中點F，G，連接MF，MG，EF，DG，則ME與MD的數(shù)量關(guān)系為______，∠EMD=______；（2）如圖2，若∠ACB=90°，∠CAE=∠CBD=60°，取AC，BC的中點F，G，連接MF，MG，EF，DG，請猜想ME與MD的數(shù)量關(guān)系以及∠EMD的度數(shù)，并給出證明；類比探究：（3）如圖3，當(dāng)△ABC是任意三角形，∠CAE=∠CBD=α?xí)r，連接DE，請猜想△DEM的形狀以及∠EMD與α的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．17．在中，為中點，、與射線分別相交于點、（射線不經(jīng)過點）．(1)如圖①，當(dāng)BECF時，連接ED并延長交CF于點H.求證：四邊形BECH是平行四形；(2)如圖②，當(dāng)BEAE于點E，CFAE于點F時，分別取AB、AC的中點M、N，連接ME、MD、NF、ND．求證：AM=AN(3)如圖②，當(dāng)BEAE于點E，CFAE于點F時，分別取AB、AC的中點M、N，連接ME、MD、NF、ND．求證：EMD=FND．18．（1）如圖1，已知△ABC中，F(xiàn)是BC上一點，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中點，請說明FC和DE有怎樣的關(guān)系？（請寫出詳細的推理過程）（2）如圖2，在△ABC中，M、D分別是邊AB、AC的中點，E是線段MD上的一點．連接AE、BE，∠AEB＝90°，且AB＝8，BC＝14，則DE的長是______．專題14三角形斜邊中線與中位線結(jié)合【例題講解】（1）如圖1，已知△ABC中，F(xiàn)是BC上一點，AB＝BF，BE⊥AF，垂足是E，D是AC的中點，請說明FC和DE有怎樣的關(guān)系？（請寫出詳細的推理過程）（2）如圖2，在△ABC中，M、D分別是邊AB、AC的中點，E是線段MD上的一點．連接AE、BE，∠AEB＝90°，且AB＝8，BC＝14，則DE的長是______．解：（1），理由如下：∵AB=BF，BE⊥AF，∴AE=EF，即點E是AF的中點，又∵D是AC的中點，∴DE是△ACF的中位線，∴；（2）∵M、D分別是AB、AC的中點，∴MD是△ABC的中位線，∴，∵∠AEB=90°，AB=8，M是AB的中點，∴，∴DE=MD-ME=3．【綜合演練】1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BF是AC邊上的中線，DE是△ABC的中位線，若DE＝10，則BF的長為（

）A．10 B．5 C．8 D．6【答案】A【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出AC，根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半計算，得到答案．【詳解】解：∵DE是△ABC的中位線，若DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BF是AC邊上的中線，∴BF=AC=10，故選：A．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，平分，于點，為的中點，連接延長交于點若，，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，然后證明，根據(jù)平行線分線段成比例可得，再根據(jù)三角形中位線定理求出即可．【詳解】解：，，，為中點，，，又平分，，，∴，∴，，，，故選：B．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，平行線分線段成比例定理以及三角形中位線定理等知識，證明是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，點F為射線CB上一動點，過點C作CM⊥AF于M交AB于E，D是AB的中點，則DM長度的最小值是(

)A． B． C．1 D．-2【答案】C【分析】取AC的中點T，連接DT，MT．利用三角形的中位線定理求出DT，利用直角三角形的中線的性質(zhì)求出MT，再根據(jù)，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，取AC的中點T，連接DT，MT．∵，，∴．∵，∴，∴，∴點M的運動軌跡是以T為圓心，TM為半徑的圓，∴，∴DM的最小值為1，故選：C．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，三角形中位線定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線，直角三角形斜邊中線解決問題．4．如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，E為BC上一點，CE＝5，F(xiàn)為DE的中點．若△CEF的周長為18，則OF的長為()A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DE的長，再由勾股定理得出CD的長，進而可得出BE的長，由三角形中位線定理即可得出結(jié)論．【詳解】∵CE=5，△CEF的周長為18，∴CF+EF=18-5=13．∵F為DE的中點，∴DF=EF．∵∠BCD=90°，∴CF=DE，∴EF=CF=DE=6.5，∴DE=2EF=13，∴CD=，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O為BD的中點，∴OF是△BDE的中位線，∴OF=(BC－CE)=(12－5)=3.5，故選D．【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，涉及到直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，難度適中．使用勾股定理是解決這個問題的關(guān)鍵．5．已知，如圖，在△ABC中，D、E、F分別是各邊的中點，AH是高，已知AB＝6cm，AC＝8cm，，則△DHE的周長為________cm．【答案】##【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)求出DH，根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】解：∵AH是△ABC的高，∴∠AHB=90°，∵點D是AB的中點，∴DH=AB=×6=3cm，∵D、E分別是BA、BC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=AC=×8=4cm，∵BE=EC，CH-BH=cm，∴HE=cm，∴△DHE的周長=DH+DE+HE=cm，故答案為：．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，，，，分別為，，的中點，若，則的長度為_____．【答案】3【分析】根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求出CD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CD，根據(jù)三角形中位線定理計算，得到答案．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12．∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝AB＝6，∵E，F(xiàn)分別為AC，AD的中點，∴EF為△ACD的中位線，∴EF＝CD＝3．故答案為：3．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．7．如圖，菱形ABCD中，，垂足為E，點F、G分別為邊AD、DC的中點，，則___________．【答案】96【分析】連接，交于點，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)三角形的中位線定理可得，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可得，最后利用菱形的面積公式即可得．【詳解】解：如圖，連接，交于點，，且點為邊的中點，，點分別為邊的中點，，，四邊形是菱形，，，，，故答案為：96．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形的中位線定理、勾股定理、菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8．如圖，在和中，，、、分別為、、的中點，若，則_________．【答案】1【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出AB=2DE，再由三角形中位線的性質(zhì)可得FG的長；【詳解】解：∵Rt△ABC中，點E是AB的中點，DE=1，∴AB=2DE=2，∵點F、G分別是AC、BC中點，∴，故答案為：1【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)等知識；熟練掌握中位線定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)在AB上，E在BC的延長線上，AF＝CE，連接DF、DE、EF，EF交對角線BD于點N，M為EF的中點，連接MC，下列結(jié)論：①△DEF為等腰直角三角形；②∠FDB＝∠FEC；③直線MC是BD的垂直平分線；④若BF＝2，則MC＝；其中正確結(jié)論的有_______．【答案】①②③④【分析】先根據(jù)定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)等腰直角三角形的判定即可判斷①；先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)對頂角相等可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得判斷②；連接，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)線段垂直平分線的判定即可判斷③；取的中點，連接，先根據(jù)三角形中位線定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，然后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：四邊形是正方形，，在和中，，，，，為等腰直角三角形，結(jié)論①正確；，又，，即，結(jié)論②正確；如圖，連接，為和斜邊上的中點，，又，直線是的垂直平分線，結(jié)論③正確；如圖，取的中點，連接，，，直線是的垂直平分線，，（等腰三角形的三線合一），是等腰直角三角形，且，，結(jié)論④正確；綜上，正確結(jié)論的有①②③④，故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的判定、三角形中位線定理等知識點，熟練掌握各判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．如圖，中，，為邊上的中點，為邊上一點，，連接，延長交延長線于，若，，則________．【答案】【分析】取AB的中點G，連接DG，則AB＝2BG，可得BE＝EG，再利用三角形中位線定理得BC＝2DG，，利用ASA證明△GDE≌△BFE，得DG＝BF＝3，DE＝EF，從而解決問題．【詳解】解：取AB的中點G，連接DG，則AB＝2BG，∵AB＝4BE，∴BE＝EG，∵D為AC邊上的中點，G為AB的中點，∴DG為△ABC的中位線，∴BC＝2DG，，∴∠GDE＝∠F，在△GDE和△BFE中，，∴△GDE≌△BFE（ASA），∴DG＝BF＝3，DE＝EF，∴BC＝6，∴CF＝9，由勾股定理得，AC＝8，∴CD＝4，在Rt△CDF中，由勾股定理得，DF＝，∵∠ACB＝90°，EF＝DE，∴CE＝DF＝，故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識，證明點E是DF的中點是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在中，，點P是平面內(nèi)一個動點，且，Q為的中點，在P點運動過程中，設(shè)線段的長度為m，則m的取值范圍是_______．【答案】【分析】取AB的中點M，連接QM、CM，得到QM是△APB的中位線，CM是斜邊上的中線，求得QM、CM的長，在△QMC中利用三角形三邊關(guān)系得到CQ的范圍即可．【詳解】取AB的中點M，連接QM、CM，∴QM是△APB的中位線，CM是斜邊上的中線，∴，，在中，，∴，∴CM=5，∵點P是平面內(nèi)一個動點，∴點Q是動點，且點Q以點M為圓心，QM長為半徑的圓上運動，∴C、Q、M可以三點共線，∴CM-MQCQCM+MQ，∴，故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線定理、三角形三邊關(guān)系等知識，分析點Q的運動是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別是AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．(1)求證：BM=MN；(2)若∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2．①求∠BMN的度數(shù)；②求BN的長．【答案】(1)答案見解析(2)①∠BMN=90°；②BN=【分析】（1）在△CAD中，由中位線定理得到MNAD，且MN=AD，在Rt△ABC中，因為M是AC的中點，故BM=AC，即可得到結(jié)論；（2）①由∠BAD=60°且AC平分∠BAD，得到∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，得到∠BMC=60°，由平行線性質(zhì)得到∠NMC=∠DAC=30°，故∠BMN=90°；②因為∠BMN=90°，由勾股定理得到，BN2=BM2+MN2，再由MN=BM=1，得到BN的長．（1）解：在△CAD中，∵M、N分別是AC、CD的中點，∴MNAD，且MN=AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中點，∴BM=AC，又∵AC=AD，∴MN=BM；（2）①∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MNAD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°；②∵∠BMN=90°，∴BN2=BM2+MN2，而由（1）知，MN=BM=AC=×2=1，∴BN=．【點睛】本題考查了三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、三角形的外角、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．13．如圖，D、E、F分別是△ABC三邊中點，AH⊥BC于H．求證：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到DFAC，根據(jù)平行線的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到EH＝AC，等量代換證明結(jié)論．【詳解】（1）∵D、F分別是△ABC兩邊中點，∴DF是△ABC的中位線，∴DFAC，DF＝AC，∴∠BDF＝∠BAC；（2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中點，∴EH＝AC，由（1）得，DF＝12AC，∴DF＝EH．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．14．在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=2AB，點E、F分別是OA、BC的中點，連接BE、EF．(1)求證：EF=BC；(2)在上述條件下，若AC=BD，G是BD上一點，且BG:GD=3:1，連接EG、FG，試判斷四邊形EBFG的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)見解析(2)菱形，見解析【分析】(1)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出BD=2BO，推出AB=BO，根據(jù)三線合一定理得出BE⊥AC，從而證得EF=BC；(2)根據(jù)矩形性質(zhì)和已知求出G為OD中點，根據(jù)三角形中位線求出，EG=BC，求出，EG=BC，求出BF=EG，，EG=GF，得出平行四邊形，根據(jù)菱形的判定推出即可．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BD=2BO，∵BD=2AB，∴AB=BO，∵E為OA中點，∴BE⊥AC，∵在中，F(xiàn)為BC中點，∴EF=BC；（2）解：四邊形EBFG是菱形，其理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，，∵BG:GD=3:1，OB=OD，∴G為OD中點，而E是OA的中點，∴EG=AD=BC，且，∵F是BC的中點，而，∴EG=BF，，∴EBFG是平行四邊形，連接CG，∵G是OD的中點，而CO=AC=BD=AB=CD，∴CG⊥OD，而F是BC的中點，∴GF=BC=BF，∴平行四邊形EBFG是菱形．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形性質(zhì)，菱形性質(zhì)，三角形的中位線，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，主要考查學(xué)生綜合運用定理進行推理的能力，注意：直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半．15．如圖，在平面直角坐標系中，A（0，4），B（4，0），C（6，2），連接AB，BC，平移BC至AD（點B與點A對應(yīng)，點C與點D對應(yīng)），連接CD．(1)①直接寫出點D的坐標為．②判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論；(2)如圖1，點E為AB邊上一點，連接DE，DF平分∠EDC交BC于F，連接EF，若∠DFE＝45°，求BE的長；(3)如圖2，N為BC邊的中點，若∠AMC＝90°，連接MN，請直接寫出MN的取值范圍．【答案】(1)①（2，6）；②四邊形ABCD為矩形，理由見解析(2)(3)【分析】（1）①根據(jù)平移的性質(zhì)可得從點C平移至點D的距離和方向與點B平移至點A的距離和方向相同，即可求解；②根據(jù)勾股定理逆定理可得∠ABC=90°，再根據(jù)平移的性質(zhì)可得AD∥BC且AD=BC，可證得四邊形ABCD為平行四邊形，即可求解；（2）在線段CD上取一點G，使DG=DE，可證得△DFE≌△DFG，從而得到∠EFG=90°，EF=GF，再證明△EBF≌△FCG，可得EB=FC，BF=CG，設(shè)EB=FC=x，則，可得，再由，得到關(guān)于x的方程，即可求解；（3）連接AC，取AC的中點H，連接MH，NH，根據(jù)三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì)可得，再由三角形的三邊關(guān)系，即可求解．（1）解∶①∵平移BC至AD（點B與點A對應(yīng)，點C與點D對應(yīng)），∴從點C平移至點D的距離和方向與點B平移至點A的距離和方向相同，∵A（0，4），B（4，0），∴點B先向左平移4個單位，再向上平移4得到點A，∵C（6，2），∴點D（2，6）；故答案為：（2，6）；②四邊形ABCD為矩形，理由如下：∵A（0，4），B（4，0），C（6，2），∴AB2=（4-0）2+（0-4）2=32，∴，同理：BC2=8，AC2=36，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC為直角三角形，即∠ABC=90°，∵平移BC至AD，∴AD∥BC且AD=BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD為矩形；（2）∵點A（0，4），D（2，6），∴，∵DF平分∠EDC，∴∠FDE=∠FDC，如圖，在線段CD上取一點G，使DG=DE，∵∠FDE=∠FDG，DF=DF，∴△DFE≌△DFG（SAS），∴∠DFE=∠DFG=45°，EF=GF，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠GFC=90°，∠GFC+∠FGC=90°，∴∠EFB=∠FGC，∵∠EBF=∠FCG=90°，EF=GF，∴△EBF≌△FCG（AAS），∴EB=FC，BF=CG，設(shè)EB=FC=x，則，∴，∵，∴，解得：，即；（3）解：如圖，連接AC，取AC的中點H，連接MH，NH，∵點A（0，4），B（4，0），D（2，6），∴，∵H為AC的中點，N為BC邊的中點，∴，∵HM-NH≤MN≤HM+NH，∴MN的取值范圍為．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形和矩形的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理的運用，直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理等，綜合性強，難度較大，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．16．已知，在△ABC中，以△ABC的兩邊BC，AC為斜邊向外測作Rt△BCD和Rt△ACE，使∠CAE=∠CBD，取△ABC邊AB的中點M，連接ME，MD．特例感知：（1）如圖1，若AC=BC，∠ACB=60°，∠CAE=∠CBD=45°，取AC，BC的中點F，G，連接MF，MG，EF，DG，則ME與MD的數(shù)量關(guān)系為______，∠EMD=______；（2）如圖2，若∠ACB=90°，∠CAE=∠CBD=60°，取AC，BC的中點F，G，連接MF，MG，EF，DG，請猜想ME與MD的數(shù)量關(guān)系以及∠EMD的度數(shù)，并給出證明；類比探究：（3）如圖3，當(dāng)△ABC是任意三角形，∠CAE=∠CBD=α?xí)r，連接DE，請猜想△DEM的形狀以及∠EMD與α的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）ME=MD，∠EMD=90°；（2）ME=MD，∠EMD=120°；（3）△DEM是等腰三角形，∠EMD=2α．【分析】（1）如圖1，證明△EAM≌△DBM，可得EM=DM，先根據(jù)三角形的中位線得：，由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得，得EF=FM，且頂角∠EFM=150°，得∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，相加可得結(jié)論；（2）如圖2，證明△MEF≌△DMG，可得EM=DM，∠EMF=∠MDG=15°，相加可得∠EMD=120°；（3）如圖，作輔助線，取AC，BC的中點F，G，連接MF，MG，EF，DG，同理可證出EF=MG，DG=FM，∠3=2∠2，∠4=2∠1，證明△MEF≌△DMG．則EM=DM，∠EMF=∠MDG．表示∠EMD=∠MDG+∠DMG+∠ACB，代入可得結(jié)論．【詳解】解：（1）ME=MD，∠EMD=90°；理由是：如圖1，∵AC=BC，∠ACB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠CAB=∠CBA=60°，在

Rt△BCD和Rt△ACE中，∠CAE=∠CBD=45°，∴AC=AE，BC=BD，∴AE=BD，∵M是AB的中點，∴AM=BM，∵∠EAM=45°+60°=105°，∠DBM=45°+60°=105°，∴∠EAM=∠DBM，∴△EAM≌△DBM，∴EM=DM，∵F、G分別是AC、BC的中點，∴FM=MG=AC=CF=CG，∴四邊形CFMG是菱形，∴∠FMG=∠BCA=60°，Rt△ACE中，∵F是斜邊AC的中點，∴EF=AC=FM，∵∠EFM=90°+60°=150°，∴∠FEM=∠FME=15°，同理∠DMG=15°，∴∠EMD=60°+15°+15°=90°，故答案為EM=DM，90°；（2）ME=MD，∠EMD=120°；

證明：∵F，G，M是△ABC的三邊AC，BC，AB的中點，∴FM=BC=CG，F(xiàn)M∥BC，MG=AC=CF，MG∥AC．∴四邊形CFMG是平行四邊形，∴∠AFM=∠FMG=∠ACB=∠MGD=90°．∵∠AEC=∠BDC=90°，F(xiàn)，G是AC，BC的中點，∴EF=AF=FC=AC，CG=BG=DG=BC．∴∠2=∠CEF，∠1=∠CDG，EF=MG，DG=FM．∴∠3=∠2+∠CEF=2∠2，∠4=∠1+∠CDG=2∠1.∵∠2+∠EAC=90°，∠1+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD=60°，∴∠1=∠2=30°．∴∠3=∠4=60°．∴∠EFM=∠3+∠AFM=150°，∠DGM=∠4+∠CGM=150°∴∠EFM=∠DGM．

又∵EF=MG，F(xiàn)M=DG，∴△MEF≌△DMG．∴EM=DM，∠EMF=∠MDG=15°．∴∠EMD=90°+2×15°=90°30°=120°；（3）△DEM是等腰三角形，∠EMD=2α．證明：取AC，BC的中點F，G，連接MF，MG，EF，DG，同（2）證法相同，可證出EF=MG，DG=F