離散型隨機(jī)變量的分布

關(guān)于離散型隨機(jī)變量的分布第一節(jié)

二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)分布的定義P98(BinomialDistribution)二項(xiàng)分布是從著名的貝努里實(shí)驗(yàn)中推導(dǎo)出來(lái)的。所謂貝努里實(shí)驗(yàn)是指只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。二項(xiàng)分布是一種應(yīng)用非常廣泛，也非常重要的一種分布。第2頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們以投硬幣為例，投一次硬幣，只有兩種結(jié)果，正面朝上或反面朝上，單次實(shí)驗(yàn)就形成一個(gè)二點(diǎn)分布；正面朝上的次數(shù)取值只有兩個(gè)，要么1次，要么0次；我們這樣來(lái)表達(dá)：P(X=1)=p，P(X=0)=q接下來(lái)，我們來(lái)四次擲幣，每次拋幣都不會(huì)影響下一次拋幣的結(jié)果，所以是獨(dú)立實(shí)驗(yàn)；正面朝上的次數(shù)這個(gè)隨機(jī)變量的取值就不會(huì)只是兩個(gè)，而是會(huì)有4＋1個(gè)取值。即：正面出現(xiàn)0次和1、2、3、4次。我們用小p來(lái)表示正面朝上的概率，用q來(lái)表示反面朝上的概率，我們把X的取值相應(yīng)寫成：X=0,X=1,X=2,X=3,X=4，來(lái)求這個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布。第3頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天（1）X=0時(shí)，P(X＝0)＝1/2*1/2*1/2*1/2=q*q*q*q=1/16＝0.0625（2）X=1時(shí)，P(X=1)=p*q*q*q*4==1/4＝0.25（3）X=2時(shí)，P(X=2)=p*p*q*q*6==6/16＝0.375（4）X=3時(shí)，P(X=3)=p*p*p*q*4==1/4＝0.25（5）X=4時(shí)，P(X=4)=p*p*p*p==1/16＝0.0625第4頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天我們推廣到n次，則可以寫出一般性的二項(xiàng)分布的概率分布公式：

(X共有n+1個(gè)取值)第5頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天二項(xiàng)分布的定義如果在相同條件下進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)只有2種可能的結(jié)果，事件A出現(xiàn)的概率P(A)=p,事件A不出現(xiàn)的概率P()=q,那么，n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)次數(shù)（隨機(jī)變量X）的概率分布為：

x=(0,1,2,….n)，可以簡(jiǎn)寫為：B(n，p)(BinomialDistribution)，其中n為獨(dú)立試驗(yàn)次數(shù)，p為每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率。第6頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天由于p＋q＝1，所以只要知道了n和p，該二項(xiàng)分布就已經(jīng)被確定。我們可以不用計(jì)算，而是通過(guò)查表的方法非常方便的了解隨機(jī)變量的概率分布的全貌。二項(xiàng)分布表的用法。第7頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天隨機(jī)變量取值在某一區(qū)間內(nèi)的概率：（1）事件A至多（最多）出現(xiàn)m的概率：（2）事件A至少出現(xiàn)m次概率：（3）事件A出現(xiàn)次數(shù)不少于a，不大于b的概率為：（4）事件A出現(xiàn)的全部概率之和：第8頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、二項(xiàng)分布的討論（1）二項(xiàng)分布是離散型隨機(jī)變量的分布。X的取值有n+1個(gè)。（2）二項(xiàng)分布的圖形當(dāng)p=0.5時(shí)是對(duì)稱的；當(dāng)p≠0.5時(shí)則是非對(duì)稱的。但是當(dāng)n越大的時(shí)候，越趨向于對(duì)稱。（3）二項(xiàng)分布的特征值：（4）二項(xiàng)分布由概率p和實(shí)驗(yàn)次數(shù)n兩個(gè)參數(shù)決定，也可以簡(jiǎn)單記為B(n，p)。（5）二項(xiàng)分布的概率值即可以通過(guò)公式計(jì)算，也可以通過(guò)查表求得。（6）二項(xiàng)分布的特點(diǎn)是，已經(jīng)知道兩種結(jié)果發(fā)生的概率，實(shí)際上對(duì)總體的情況已經(jīng)有所了解。這是求抽樣時(shí)（任何樣本量下）每得到一個(gè)樣本個(gè)體的概率。第9頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天【例】根據(jù)生命表，年齡為60歲的人，可望活到下年的概率是0.95。設(shè)某單位年齡為60歲的人共有10人，問：（1）其中9人活到下年的概率為多少？（2）至少有9人活到下年的概率是多少？解：任選一人能否活到下一年與他人無(wú)關(guān)，因此是獨(dú)立事件。因?yàn)橹挥袃煞N結(jié)果，所以符合二項(xiàng)分布。n=10，p=0.95第10頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天【例2】一場(chǎng)火星文的考試，共10道單項(xiàng)選擇題（五選一），你隨機(jī)猜測(cè)答案。試問：（1）能夠及格的概率是多少？（2）一道也答不對(duì)的概率是多少？（3）答對(duì)1－3道的概率是多少？（4）答對(duì)的期望值和方差。解：由題意得，p=0.2，n=10，第11頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天【練習(xí)1】按照以往的經(jīng)驗(yàn)，你在5點(diǎn)半到5點(diǎn)40這段晚高峰內(nèi)等到公共汽車的概率是90％。一個(gè)星期內(nèi)（周一到周五）你每天下班（5：30）時(shí)等車都不會(huì)超過(guò)10分鐘概率時(shí)多少？至少有2天等車會(huì)超過(guò)10分鐘的概率是多少？求期望值和方差?！揪毩?xí)2】設(shè)離散型隨機(jī)變量

，概率

，求：（1）參數(shù)p值；（2）概率P(X=2)；（3）數(shù)學(xué)期望；（4）方差【例3】某人在每天上班途中要經(jīng)過(guò)3個(gè)設(shè)有紅綠燈的十字路口。設(shè)每個(gè)路口遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，且紅燈持續(xù)24秒而綠燈持續(xù)36秒。試求他途中遇到紅燈的次數(shù)的概率分布及其期望值和方差、標(biāo)準(zhǔn)差。第12頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天【練習(xí)1】按照以往的經(jīng)驗(yàn)，你在5點(diǎn)半到5點(diǎn)40這段晚高峰內(nèi)等到公共汽車的概率是90％。一個(gè)星期內(nèi)（周一到周五）你每天下班（5：30）時(shí)等車都不會(huì)超過(guò)10分鐘概率時(shí)多少？至少有2天等車會(huì)超過(guò)10分鐘的概率是多少？求期望值和方差。第13頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天第14頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天第二節(jié)超幾何分布

（Hypergeometricdistribution）一、超幾何分布二項(xiàng)分布的適用有一個(gè)非常重要的條件，那就是獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，只有在大群體的情況下，這種獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的要求才能近似的得到滿足。但如果研究對(duì)象不是社區(qū)、大群體，而是一個(gè)小群體，比如是一個(gè)班組或者一個(gè)科室等等，這時(shí)總體不大，一般最多只有幾十個(gè)人。假定總體分為兩類A和非A，如果這是從總體中抽取n名，那么每個(gè)抽取對(duì)象出現(xiàn)A類的概率將不再恒定，也就是不滿足二項(xiàng)分布所要求的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的條件。超幾何分布將適合這類小群體研究。第15頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天【例1】設(shè)小組共有10名成員，7男3女。任抽3名，問其中男性的概率分布?！窘狻扛鶕?jù)題意有N＝10男7女3n＝3第16頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天超幾何分布定義定義：總體性質(zhì)共分兩類：A類與非A類?？傮w總數(shù)為N，A類K個(gè)，設(shè)從總體中任抽n個(gè)（n≤N-K），則n中含有A類個(gè)數(shù)X的概率分布為：注意：（1）為什么是n≤N-K？

（2）X的取值是n+1或者K＋1，取小的那個(gè)。第17頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差：如果用p=K/Nq=1-p，則有：第18頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天【例1】以隨機(jī)方式自5男3女的小群體中選出5人組成一個(gè)委員會(huì)，求該委員會(huì)中女性人數(shù)的概率分布，期望值和變異數(shù)。第19頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天【練習(xí)1】班里學(xué)生30名,兄弟民族有13名,問任抽5名,抽中兄弟民族人數(shù)的概率分布。解：由題意得：N=30，K=13，n=5，X有6個(gè)取值，代入超幾何分布公式：第20頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系超幾何分布適合小群體研究，但如果群體規(guī)模逐漸增大，以致抽樣個(gè)體間的改變可以忽略不計(jì)，這時(shí)也可以采用二項(xiàng)分布來(lái)討論。且兩種分布計(jì)算的結(jié)果應(yīng)該是逐漸的接近。數(shù)學(xué)上也可以證明，當(dāng)N很大（N→∞）時(shí)超幾何分布將趨向于二項(xiàng)分布。第21頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天第三節(jié)

泊松分布

（PoissonDistribution）一、泊松分布泊松分布是由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松SimeonDenisPoisson提出的，Poisson對(duì)于小概率事件特別著迷，特別是許多情況下可能出現(xiàn)的事件。他研究了在那個(gè)騎兵仍舊騎馬而不是用坦克的時(shí)代里普魯士士兵被馬踢死的人數(shù)的數(shù)據(jù)。他的成果發(fā)表于1837年。第22頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天泊松利用二項(xiàng)分布的公式推導(dǎo)出泊松分布的公式：x＝0，1，2，。。。(e=2.718)泊松分布只有一個(gè)參數(shù)λ，確定了λ，就確定了泊松分布。第23頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天二、泊松分布的性質(zhì)（1）泊松分布隨機(jī)變量X的取值為0和一切正整數(shù)。比如被馬踢死了幾個(gè)人。（2）泊松分布圖形是非對(duì)稱的，但是隨著λ的增大，圖形將變得接近對(duì)稱。（3）泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差：E(X)=λD(X)=λ泊松分布的這個(gè)性質(zhì)很重要，在N較大，p較小的情況下，我們只要確定了X的期望值（出現(xiàn)概率最大的那個(gè)值）實(shí)際上就是λ,這時(shí)就可以確定這個(gè)隨機(jī)變量的分布了。第24頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天【例】見張彥教材P131，發(fā)生在1875－1894年普魯士軍隊(duì)中，10個(gè)師團(tuán)被馬踢死士兵的事故記錄如下表。試與泊松理論分布相比較。分析：要了解泊松分布的理論分布，必須要知道參數(shù)λ，根據(jù)泊松分布的非常重要的性質(zhì)λ=E(X)=D(X)，如果我們知道了數(shù)學(xué)期望或者方差就可以知道λ了。第25頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天【例】已知任抽一張卡片，上面的錯(cuò)字?jǐn)?shù)服從泊松分布。現(xiàn)在有1000張卡片，一共有錯(cuò)字300個(gè)，求所抽卡片上錯(cuò)字?jǐn)?shù)的概率分布?！窘狻縓＝一張卡片上的錯(cuò)字?jǐn)?shù)，x=0,1,2,…..300，λ=E(X),平均每張卡片上出現(xiàn)的錯(cuò)字?jǐn)?shù)實(shí)際上是X的期望值，E(X)=0.3介紹表的查法，VERYTRICKY!這個(gè)表中的X實(shí)際上指的是“至少X”第26頁(yè),共28頁(yè)，2024年2月25日，星期天三、二項(xiàng)分布和泊松分布的關(guān)系泊松發(fā)現(xiàn)，二項(xiàng)分布下