滬教版七年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第九章整式

第一節(jié)整式的概念

9.1.2.3、字母表示數(shù)

代數(shù)式：用括號(hào)和運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫

代數(shù)式。單獨(dú)的數(shù)或字母也是代數(shù)式。

代數(shù)式的書寫：1、代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào)通常寫作“*”或省略不寫，

但數(shù)與數(shù)相乘不遵循此原則。

2、數(shù)字與字母相乘，數(shù)字寫在字母前面，而有理數(shù)

要寫在無(wú)理數(shù)的前面。

3、帶分?jǐn)?shù)應(yīng)寫成假分?jǐn)?shù)的形式，除法運(yùn)算寫成分?jǐn)?shù)

形式。

4、相同字母相乘通常不把每個(gè)因式寫出來(lái)，而寫成

幕的形式。

5、代數(shù)式不能含有“=、W、＜、＞、2、W”符號(hào)。

代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式的運(yùn)算關(guān)系

計(jì)算出的結(jié)果，叫代數(shù)式的值。

注意：1、代數(shù)式中省略了乘號(hào)，帶入數(shù)值后應(yīng)添加X(jué)。

2、若帶入的值是負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)添上括號(hào)。

3、注意解題格式規(guī)范，應(yīng)寫“當(dāng)..…時(shí)，原式=....”.

4、在實(shí)際問(wèn)題中代數(shù)式所取的值應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義。

9.4整式

1、由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式稱為單項(xiàng)式。單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字

母

也是單項(xiàng)式。

2、系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。

3、單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單

項(xiàng)

式的次數(shù)。

4、多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。其中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做

多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。

5、多項(xiàng)式的次數(shù)：多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式

的次數(shù)

6、整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

9.5合并同類項(xiàng)

1、同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做

同類項(xiàng)。

2、合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)。

一個(gè)多項(xiàng)式合并后含有幾項(xiàng)，這個(gè)多項(xiàng)式就叫做幾項(xiàng)式。

3、合并同類項(xiàng)的法則是：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加的結(jié)果作為合并后

的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。

第二節(jié)9.6整式的加減:

去括號(hào)法則：

（1）括號(hào)前面是〃+〃號(hào)，去掉〃+〃號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里各項(xiàng)的不變

號(hào)；

（2）括號(hào)前面是〃一〃號(hào)，去掉〃一〃號(hào)和括號(hào)，括號(hào)里的各項(xiàng)都變

號(hào)。

添括號(hào)法則

（1）所添括號(hào)前面是“+”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；

（2）所添括號(hào)前面是“一”號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)。

第三節(jié)整式的乘法9.7同底數(shù)基的乘法、9.8塞的乘方、9.9積的乘

方：

①同底數(shù)幕的乘法

am,an=am+n（m>n都是正整數(shù)）。

同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

②幕的乘方與積的乘方

（am）n=amn（m>n都是正整數(shù)）

幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。

（ab）n=anbn（n都是正整數(shù)）

積的乘方等于各因式乘方的積。

③同底數(shù)幕的除法

am4-an-am-n（a7^0,mn都是正整數(shù)，且m>n）

同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

（aWO）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)幕都等于1。

a-P=(a#O,p是正整數(shù))任何一個(gè)不等零的數(shù)

的-p(p是正整數(shù))指數(shù)幕，等這個(gè)數(shù)的p指數(shù)幕的倒數(shù)。

9.10整式的乘法：

⑴單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于

只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因

式。

⑵單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每

一項(xiàng)，再把所得的積相加，即。

注意：?jiǎn)雾?xiàng)式乘多項(xiàng)式實(shí)際上是用分配率向單項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)化。

⑶多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式

的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，

即(a+b)(m+n)=am+bm+an+bno

第四節(jié)、乘法公式

9.11平方差公式

①內(nèi)容：

(a+b),(a—b)=a2—b2

②意義：

兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的乘積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。

③特征：

I.左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，這兩項(xiàng)中有一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互

為相反數(shù)；

n.右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差；

III.公式中的a和b可以使有理數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。

④幾何意義：

平方差公式的幾何意義也就是圖形變換過(guò)程中面積相等

的表達(dá)式。

⑤拓展：

I.立方和公式：(a+b)(a2—ab+b?)

=a3+b3；

II.立方差公式：(a—b)(a?+ab+b2)=a3—b3。

22

(a—b)(a+ab+abH---Pab+ab+b)=a-b0

9.12完全平方公式：

①內(nèi)容：

(a+b)2=a2+b2+2ab；

222

(a-b)=a+b-2ab0

②意義：

兩數(shù)和的平方，等于它們的平方和，加上它們積的2倍。

兩數(shù)差的平方，等于它們的平方和，減去它們積的2倍。

③特征：

I.左邊是一個(gè)二項(xiàng)式的完全平方，右邊是一個(gè)二次三項(xiàng)式，其

中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，另一項(xiàng)是左邊二

項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，可簡(jiǎn)記為“首平方，尾平方，積的2

倍在中央?！?/p>

II.公式中的a、b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

④推廣：

I.(a+b+c)

2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

II.(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2；

33322

III.(a-b)=a-b-3ab+3ab0

第五節(jié)因式分解

⑴因式分解的意義：

把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式積的形式，這種變形叫做把這個(gè)

多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式，即多項(xiàng)式化為

幾個(gè)整式的積。

注意：①因式分解的要求：

I.結(jié)果一定是積的形式，分解的對(duì)象是多項(xiàng)式；

II.每個(gè)因式必須是整式；

III.各因式要分解到不能分解為止。

②因式分解與整式乘法的關(guān)系：

是兩種不同的變形過(guò)程，即互逆關(guān)系。

9.13提取公因式法：

①提公因式法分解因式：

ma+mb+mc=m(a+b+c),這個(gè)變形就是提公因

式法分解因式。

這里的m可以代表單項(xiàng)式，也可以代表多項(xiàng)式，m稱為公因式。

確定公因式方法：

系數(shù)：取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)。

字母(或多項(xiàng)式因式)：取各項(xiàng)都含有的字母(或多項(xiàng)式因式)

的最低次幕。

9.14公式法

②利用公式法分解因式：

I.平方差公式：a2—b2=(a+b)?(a—b)□

II.完全平方公式：a2+b2+2ab=(a+b)2；

222

a+b-2ab=(a-b)0

III.立方和與立方差公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

3322

a-b=(a-b)(a+ab+b)o

注意：(1)公式中的字母a、b可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或

一個(gè)多項(xiàng)式。

(2)選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)

式

應(yīng)考慮平方差或立方和、立方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式,

可

考慮用完全平方公式。

9.15.十字相乘法：利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解

因式的方法叫做十字相乘法。

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。

9.16分組分解法：

I.將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)?shù)姆纸M后，組與組之間能提公因式或運(yùn)用公

式分解。

II.適用范圍：適合四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的分解。

分組的標(biāo)準(zhǔn)為：分組后能提公因式或分組后能運(yùn)用公式。

④其他方法：

.求根公式法：若aW+bx+cuO(aW0)的兩根是x1、x2,

ax2+bx+c-a(x-x1)(x-x2i

⑶因式分解的一般步驟及注意問(wèn)題：

①對(duì)多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式時(shí)，應(yīng)先提供因式。

②多項(xiàng)式各項(xiàng)沒(méi)有公因式時(shí)，如果是二項(xiàng)式就考慮是否符合平方差

公式；如果是三項(xiàng)式就考慮是否符合完全平方公式或二次三項(xiàng)式

的

因式分解；如果是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，通常采用分組分解

法。

分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止。

第6節(jié)整式除法：

9.17同底數(shù)塞的除法

同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

任何不等于零的數(shù)的零次幕為1,既：

9.18單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則：

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕分別相除，作為商的因式，

對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

注意：①兩個(gè)單項(xiàng)式相除，只要將系數(shù)及同底數(shù)幕分別相除即可。

②只在被除式里含有的字母不不要漏掉。

9.19多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除：

多項(xiàng)式與單項(xiàng)式相除的法則：

一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這

個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加，

即(ma+mb+mc+dm)4-ir^am4-m+bm4-m+cm4-m+dm4-m0

注意：這個(gè)法則的使用范圍必須是多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，反之，單項(xiàng)

式除以多項(xiàng)式是不能這樣計(jì)算的。

⑶整式的混合運(yùn)算：

關(guān)鍵是注意運(yùn)算順序，先乘方，在乘除，后加減，有括號(hào)時(shí)，先

去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，先做括號(hào)里的。

X內(nèi)容整理

am?an=am+n

幕

mnmn

(a)=a單項(xiàng)式的乘法->因A提公因式法

的

式

運(yùn)多項(xiàng)式的乘法T"

(ab)n=anbn分

算乘法公式

解

4公式法

nmQn=?m-n—?多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式

單項(xiàng)式的除法

第十章分式

10.1、⑴、分式的意義

兩個(gè)整式A/B相除，即A+B時(shí)，可以表示為A/B.如果B

中含有字母，那么A/B叫做分式。A叫做分式的分子，B叫做

分式的分母。

如果一個(gè)分式的分母為零，那么這個(gè)分式無(wú)意義。

10.2(2)、分式的基本性質(zhì)f整式

整式和分式統(tǒng)稱為有理式：：即有理X

分式

分式的分子和分母同時(shí)乘以(或除以)同一個(gè)不為。的整式,

分式的值不變。用式子表示為：A/B=A*C/B*CA/B=A+C/B+C

(A,B,C為整式，且B、C邦)

①約分:把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，這種變形稱為分式

的約分.

②分式的約分步驟：

(1)如果分式的分子和分母都是或者是幾個(gè)乘積的形式，將它們的

公因式約去

(2)分式的分子和分母都是將分子和分母分別，再將公因式約去.

注:公因式的提取方法:取分子和分母系數(shù)的，字母取分子和分

母共有的字母，指數(shù)取公共字母的最小指數(shù),即為它們的公因式.

③一個(gè)分式的分子和分母沒(méi)有公因式時(shí)這個(gè)分式稱為最簡(jiǎn)分式約分

時(shí)，一般將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式

④通分：把幾個(gè)異分母分式分別化為與原分式值相等的同分母分式,

叫做分式的通分。

⑤分式的通分步驟:先求出所有分式分母的最簡(jiǎn)公分母，再將所有分

式的分母變?yōu)樽詈?jiǎn)公分母.同時(shí)各分式按照分母所擴(kuò)大的倍數(shù)，相應(yīng)

擴(kuò)大各自的分子.

注:最簡(jiǎn)公分母的確定方法:系數(shù)取各因式系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字

母的及單獨(dú)字母的幕的乘積。

注:(1)約分和通分的依據(jù)都是分式的基本性質(zhì)。

(2)分式的約分和通分都是互逆運(yùn)算過(guò)程。

10.3、分式的運(yùn)算：

①分式的乘法法則:兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把

分母相乘的積作為積的分母.用字母表示為：a/b*c/d=ac/bd

②分式的除法法則：

I.兩個(gè)分式相除把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式方睞

：a/b+c/d=ad/bc

II.除以一個(gè)分式，等于乘以這個(gè)分式的倒數(shù):a/b+c/d=a/b*d/c異分

母分式通分時(shí)，關(guān)鍵是確定公分母，通常取各分母所有因式的最

高次幕的積作為公分母，這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母。

10.4分式的加減

③同分母分式加減法則:同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加

減.用字母表示為：a/c±b/c=a±b/c

④異分母分式加減法則:異分母的分式相加減，先通分,化為同分母的

分式，然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算用字母表示為：

a/b±c/d=ad土cb/bd

10.5分式方程:

①分式方程的意義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

②分式方程的解法：

I.去分母（方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，將分式方程化為整式方

程）；

II.按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值；

ni.驗(yàn)根（求出未知數(shù)的值后必須驗(yàn)根,因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎?/p>

方程的過(guò)程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根）.

10.6整數(shù)指數(shù)幕及其運(yùn)算

內(nèi)容整理

第十一章圖形的運(yùn)動(dòng)

1、平移定義和規(guī)律

(1)平移的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距

離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移(Translation)□平移后各對(duì)應(yīng)點(diǎn)之

間的距離叫做圖形平移的距離。

關(guān)鍵：a.平移不改變圖形的形狀和大小(也不會(huì)改變圖形的方向，

但改變圖形的位置)。

b.圖形平移三要素：原位置、平移方向、平移距離。

(2)平移的規(guī)律(性質(zhì))：經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等,

對(duì)應(yīng)線段平行且相等、對(duì)應(yīng)角相等。

注意：平移后，原圖形與平移后的圖形全等。

(3)簡(jiǎn)單的平移作圖：

平移作圖要注意：①方向；②距離。整個(gè)平移作圖，就是把整

個(gè)圖案的每一個(gè)特征點(diǎn)按一定方向和一定的距離平行移動(dòng)。

2、旋轉(zhuǎn)的定義和規(guī)律

(1)旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形饒一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)

動(dòng)一個(gè)角度，這樣的運(yùn)動(dòng)叫做圖形的旋轉(zhuǎn)(Circumrotate)。這個(gè)

定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心；轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱為旋轉(zhuǎn)角。

關(guān)鍵：a.旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大小(但會(huì)改變圖形的方向，也

改變圖形的位置)。

b.圖形旋轉(zhuǎn)四要素：原位置、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角。

（2）旋轉(zhuǎn)的規(guī)律（性質(zhì)）：

經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形上的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向轉(zhuǎn)動(dòng)了

相同的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)

角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)線段

相等、對(duì)應(yīng)角相等。）

注意：旋轉(zhuǎn)后，原圖形與旋轉(zhuǎn)后的圖形全等。

（3）簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)作圖：

旋轉(zhuǎn)作圖要注意：①旋轉(zhuǎn)方向；②旋轉(zhuǎn)角度。整個(gè)旋轉(zhuǎn)作圖，

就是把整個(gè)圖案的每一個(gè)特征點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心按一定的旋轉(zhuǎn)方向和一

定的旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)移動(dòng)。

3、圖案的分析與設(shè)計(jì)

①首先找到基本圖案，然后分析其他圖案與它的關(guān)系，即由它作何

種運(yùn)動(dòng)變換而形成。

②圖案設(shè)計(jì)的基本手段主要有：軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)三種方法。

4、旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度a后，

與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)

對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角（旋轉(zhuǎn)角a滿足0<a<360）

5、中心對(duì)稱圖形：如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與

初始圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱

中心。

6、把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180后，與另一個(gè)圖形重合，那

么叫做這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對(duì)稱，也叫做這兩個(gè)圖形成中興對(duì)稱，

這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱

點(diǎn)。

7、軸對(duì)稱知識(shí)回顧

(1)軸對(duì)稱圖形定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊后，直線兩

旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形(Axially

SymmetricFigure)0折痕所在的直線叫做對(duì)稱軸。

(2)兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱：如果把一個(gè)圖形沿某一條直

線翻，能與另一個(gè)圖形重合，那么叫做這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線成

軸對(duì)稱，這條直線就是對(duì)稱軸，兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于這條

直線的對(duì)稱點(diǎn)。

(3)注意：

①軸對(duì)稱是說(shuō)兩個(gè)圖形的位置關(guān)系；而軸對(duì)稱圖形是說(shuō)一個(gè)具有特

殊形狀的圖形。

②成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形，必定是全等圖形。

(4)軸對(duì)稱的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱軸垂直平分；對(duì)應(yīng)線

段相等；對(duì)應(yīng)角相等。

(3)簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱作圖：

求作一個(gè)幾何圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形，可以轉(zhuǎn)化為求作這個(gè)

圖形上的特征點(diǎn)關(guān)于這條直線對(duì)稱的點(diǎn)。后依次連結(jié)各特征點(diǎn)即可。

圖形的平移

C旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形

Y

圖形的運(yùn)動(dòng)\圖形的旋轉(zhuǎn)

I中心對(duì)稱

r軸對(duì)稱圖形

〔圖形的翻折v

軸對(duì)稱

軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系

軸對(duì)稱軸對(duì)稱圖形

區(qū)①指兩個(gè)圖形而言；①對(duì)一個(gè)圖形而言；

別②指兩個(gè)圖形的一種形狀與位置關(guān)系。②指一個(gè)圖形的特殊形狀。

聯(lián)①都有一條直線，都要沿這條直線折疊重合；

系②把兩個(gè)成軸對(duì)稱的圖形看成一個(gè)整體，就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；反過(guò)來(lái)，把軸對(duì)稱圖

形沿對(duì)稱軸分成兩部分，這兩部分關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。

軸對(duì)稱幾何圖形的對(duì)稱軸

名稱是否是軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸有幾條對(duì)稱軸的位置

線段是2條垂直平分線或線段所在的直線

角是1條角平分線所在的直線

長(zhǎng)方形是2條對(duì)邊中線所在的直線

正方形是4條對(duì)邊中線所在的直線和對(duì)角線所在的直線

圓是無(wú)數(shù)條直徑所在的直線

平行四邊形不是。條

第十二章實(shí)數(shù)

第一節(jié)實(shí)數(shù)的概念

12.1實(shí)數(shù)的概念

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

實(shí)數(shù)按如下方式分類：

'正有理數(shù)]

有理數(shù)Q零I有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)

負(fù)有理數(shù)J

實(shí)數(shù)J

]正無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

I\負(fù)無(wú)理數(shù)”

實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，即每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)

點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)實(shí)數(shù)。

正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。

兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而小。

無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。

第二節(jié)數(shù)的開方

12.2平方根和開平方

如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也就做

二次方根。

求一個(gè)數(shù)。的平方跟的運(yùn)算叫做開平方，a叫做被開方數(shù)。

一個(gè)正數(shù)a的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。零的平方根是零;

負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。

正數(shù)。的兩個(gè)平方根可以用“土表示，其中&表示。的正的平

方根（又叫算術(shù)平方根），讀作“根號(hào)a”；一行表示a的負(fù)平方根，

讀作“負(fù)根號(hào)a”。

零的平方根記作S,A/0=0.

（1）當(dāng)a>0時(shí)，（&）2=a,（一而）2=a.

（2）當(dāng)aNO時(shí)，77=a;

當(dāng)a<0時(shí),C=一。

12.3立方根和開立方

如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，用“

始”表示，讀作“三次根號(hào)a”。痣中的。叫做被開方數(shù)，“3”

叫做根指數(shù)。

求一個(gè)數(shù)。的立方根的運(yùn)算叫做開立方。

正數(shù)的立方是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方是一個(gè)負(fù)數(shù)，零的立方等于

零，所以正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，

零的立方根是零。

任意一個(gè)實(shí)數(shù)都有立方根，而且只有一個(gè)立方根。

12.4n次方根

如果一個(gè)數(shù)的n次方（n是大于1的整數(shù)）等于。，那么這個(gè)數(shù)叫

做。的n次方根，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為C的奇次方根；當(dāng)n為

偶數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為。的偶次方根

求一個(gè)數(shù)。的n次方跟的運(yùn)算叫做開n次方，a叫做被開方數(shù)，

n叫做根指數(shù)。

實(shí)數(shù)。的奇次方根有且只有一個(gè)，用“折”表示，其中被開方數(shù)

a是任意一個(gè)實(shí)數(shù),根指數(shù)n是大于1的奇數(shù)。

正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，正n次方根用

“后”表示，負(fù)n次方根用“一折”表示，其中被開方數(shù)。＞0,根

指數(shù)n是正偶數(shù)（當(dāng)n=2時(shí)，在土/i中省略n）

負(fù)數(shù)的偶次方根不存在。

零的n次方根等于零，表示為五=0

“指”讀作"n次根號(hào)a”

第三節(jié)實(shí)數(shù)的運(yùn)算

12.5用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)

有理數(shù)范圍內(nèi)絕對(duì)值、相反數(shù)意義：

一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。實(shí)

數(shù)a的絕對(duì)值記作IaI.

絕對(duì)值相等，符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)記作互為相反數(shù)；

零的相反數(shù)是零。非零實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是一a。

實(shí)數(shù)大小的比較：

負(fù)數(shù)小于零；零小于正數(shù)。

兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較小。

從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)大。

兩點(diǎn)間的距離；

在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A、點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b,那么

A、B兩點(diǎn)的距離AB=|a—b|.

12.6實(shí)數(shù)的運(yùn)算

設(shè)a>0,b>0,可知(a,)=(a)2.(<h)2=ab。

根據(jù)平方根的意義，得1?湎。

同理：4二b

近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度即近似程度。對(duì)近似程度的要求，叫做精

確度。

對(duì)于一個(gè)近似數(shù)，從左邊第一個(gè)不是零的數(shù)字起，往右到末位數(shù)字為

止的所有數(shù)字，叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字。

第四節(jié)分?jǐn)?shù)指數(shù)募

分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

(a>0)

■“■二八(a>0)其中m、n為正整數(shù)，n>l.

有理數(shù)指數(shù)塞有下列性質(zhì)：

設(shè)Q>b,b>0,P、q為有理數(shù)，那么

(2)S)'二十

本章小結(jié)

「有理數(shù)

f實(shí)數(shù)的分類——?Y

I無(wú)理數(shù)

實(shí)數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)

C運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)

實(shí)數(shù)的運(yùn)算------.<

近似數(shù)及近似計(jì)算

數(shù)的開方f分?jǐn)?shù)指數(shù)幕f有理數(shù)指數(shù)幕一?運(yùn)算性質(zhì)

第十三章相交線、平行線

第1節(jié)相交線

13.1鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角

相交線的定義：

在同一平面內(nèi)，如果兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩條直線

叫做相交線。

對(duì)頂角的定義：

一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，這兩個(gè)

角叫做對(duì)頂角。

對(duì)頂角的拄照對(duì)頂角相等。

鄰補(bǔ)角的定義：

有公共頂點(diǎn)和一條公共邊，并且互補(bǔ)的兩個(gè)角稱為鄰補(bǔ)角。

鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)。

垂線的定義：

垂直是相交的一種特殊情形，兩條直線互相垂直，其中的一

條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。

垂線的性質(zhì)：

性質(zhì)2：垂線段最短。

點(diǎn)到直線的距離：

'直線加一點(diǎn)到短條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

同位角：

兩個(gè)角都在兩條被截線同側(cè)，并在截線的同旁，這樣的一

對(duì)角叫做同位角。

內(nèi)錯(cuò)角：

兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線的兩旁，這樣的

一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角。

同旁內(nèi)角：

兩個(gè)角都在兩條被截線之間，并且在截線的同旁，這樣的

一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角。

平行線的概念

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。

平行公理的推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條

直

線也平行。

13.2垂線

1.垂線與斜線

通過(guò)操作實(shí)踐，所得到的結(jié)果說(shuō)明垂線有這樣的基本性質(zhì)：

在平面內(nèi)經(jīng)過(guò)直線上或直線外地一點(diǎn)作已知直線的垂線可以作一

條，并且只能作一條。

2.點(diǎn)到直線的距離

聯(lián)結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)得所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)單

地說(shuō)：垂線段最短。

直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的

距離。

13.3同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角（三線八角）

第2節(jié)平行線

13.4平行線的判定

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直

線平行。（同位角相等，兩直線平行）

平行線具有以下基本性質(zhì)：

經(jīng)過(guò)直線外地一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。

兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直

線平行。（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條

直線平行。（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

13.5平行線的性質(zhì)

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。（兩直線平行，同

位角相等）

兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。（兩直線平行，內(nèi)

錯(cuò)角相等）

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（兩直線平行，

同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平

行。（對(duì)于直線a、b、C,如果4〃“b//c,那么a//c。被稱為平行

的傳遞性）

兩條平行線中，任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線的距離

是一個(gè)定值，這個(gè)定值叫做這兩條平行線間的距離。

第十四章三角形

第1節(jié)三角形的有關(guān)概念與性質(zhì)

14.1三角形的有關(guān)概念

1.三角形的有關(guān)線段

三角形的高，中線，角平分線

2.三角形的分類

銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，不等邊三角形，等腰

三角形，等邊三角形

14.2三角形的內(nèi)角和

三角形的內(nèi)角和等于180、

三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；

三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。

三角形的外角和等于360、

第2節(jié)全等三角形

14.3全等三角形的概念與性質(zhì)

能夠重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。

兩個(gè)三角形是全等形，就說(shuō)它們是全等三角形。兩個(gè)全等三角

形，經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)后一定重合，相互重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；相互重

合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；相互重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。

14.4全等三角形的判定

判定方法1在兩個(gè)三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對(duì)

應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為S.A.S）。

判定方法2在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角及它們的夾邊對(duì)

應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為A.S.A）。

判定方法3在兩個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的

對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為A.A.S）。

判定方法4在兩個(gè)三角形中，如果有三條邊對(duì)應(yīng)相等，那么這

兩個(gè)三角形全等（簡(jiǎn)記為S.S.S）。

斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡(jiǎn)寫螭邊、

直角邊”和“HL”。

SSA、AAA不能識(shí)別兩個(gè)三角形全等，識(shí)別兩個(gè)三角形全等

時(shí)，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊

的夾角。|三角形全等的證明思路

J找夾角一一SAS

I.已知兩邊［找直角—HL

找另一邊—SSS

＜找邊的對(duì)角——AAS

II.已知一邊一角［邊為角的鄰邊〔找夾角的另一邊一一SAS

找夾邊的另一角——ASA

邊為角的對(duì)邊—找任意一角—AAS

III.已知兩角找夾邊—ASA

找任意一邊——AAS

第3節(jié)等腰三角形

14.5等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”）。

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重

合（簡(jiǎn)稱為“等腰三角形的三線合一”）。

等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是頂角平分線所在的直線。

14.6等腰三角形的判定

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等,

這個(gè)三角形是等腰三角形（簡(jiǎn)稱為“等角對(duì)等邊”）。

14.7等邊三角形

等邊三角形是特殊的等腰三角形，它的三邊都相等。

等邊三角形的性質(zhì)：

等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角等于60、

判定等邊三角形的方法：

（1）三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形。

（2）有一個(gè)角等于60口的等腰三角形是等邊三角形。

SSA、AAA不能識(shí)別兩個(gè)三角形全等，識(shí)別兩個(gè)三角形全等

時(shí)，必須有邊的參與，如果有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩

邊的夾角。

1、I線段的垂直平分綢:

定理：

⑴線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端距離相等。

與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。

注意：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三個(gè)

頂點(diǎn)的距離相等。

2、|等腰三角形|：

SS1：

①等腰三角形兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角”。

②等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊

推論：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等，每一個(gè)內(nèi)角都等于60°。

礴:

如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊相等，簡(jiǎn)

稱“等角對(duì)等邊”。

廨:①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。②有一個(gè)角是

60°的等腰三角形是等邊三角形。

礴:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的

直角邊等于斜邊的一半。

3、|角的平分線|：

礴:

①角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

②在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線

上。

第十五章平面直角坐標(biāo)系

第1節(jié)平面直角坐標(biāo)系

15.1平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)取一點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。畫兩條互相垂直的數(shù)軸，且使它們

以點(diǎn)。為公共原點(diǎn)。這樣，就在平面內(nèi)建立了一個(gè)直角坐標(biāo)系。通

常，所畫的兩條數(shù)軸中，有一條是水平放置的，它的正方向向右，

這條數(shù)軸叫做橫