2023年河北省邢臺市名校聯(lián)盟高考數(shù)學模擬試卷

2023年河北省邢臺市名校聯(lián)盟高考數(shù)學模擬試卷（3月份）

（二）

1.已知全集，集合，，則()

A.B.C.D.

2.若復數(shù)z滿足，則z的虛部是()

A.iB.1C.D.

3.下表是足球世界杯連續(xù)八屆的進球總數(shù)：

年份19941998200220062010201420182022

進球總數(shù)141171161147145171169172

則進球總數(shù)的第40百分位數(shù)是()

A.147B.154C.161D.165

4.將英文單詞“rabbit”中的6個字母重新排列，其中字母b不相鄰的排列方法共有

()

A.120種B.240種C.480種D.960種

5.()

A.B.C.D.

6.在四棱臺中，底面是邊長為4的正方形，其余各棱長均

為2，設(shè)直線與直線的交點為P，則四棱錐的外接球的體積為()

A.B.C.D.

7.已知點，圓M：，過點的直線l與圓M交于A，B兩

點，則的最大值為()

A.B.12C.D.

8.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且的一個周期為2，則()

A.1為的周期B.的圖象關(guān)于點對稱

C.D.的圖象關(guān)于直線對稱

9.函數(shù)，

在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則()

A.

B.

第1頁，共19頁

C.

D.

10.在棱長為4的正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱BC，的中點，

則()

A.B.平面DEF

C.平面與平面DEF相交D.點B到平面DEF的距離為

11.已知橢圓E：的左焦點為F，B為E的上頂點，A，C是E上兩點.若

，，構(gòu)成以d為公差的等差數(shù)列，則()

A.d的最大值是

B.當時，

C.當A，C在x軸的同側(cè)時，的最大值為

D.當A，C在x軸的異側(cè)時與B不重合，

12.已知，函數(shù)，則()

A.對任意a，b，存在唯一極值點

B.對任意a，b，曲線過原點的切線有兩條

C.當時，存在零點

D.當時，的最小值為1

13.已知是等比數(shù)列的前n項和，，，則______.

14.某種食鹽的袋裝質(zhì)量X服從正態(tài)分布，隨機抽取10000袋，則袋裝質(zhì)量

在區(qū)間的約有______袋質(zhì)量單位：

附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，

，

15.已知，，且，則的最小值為______.

16.已知拋物線C：的焦點為F，經(jīng)過F的直線l，l與C的對稱軸不垂直，l交C

于A，B兩點，點M在C的準線上，若為等腰直角三角形，則______.

17.已知數(shù)列的前n項和為，滿足

求；

令，證明：，…

第2頁，共19頁

18.如圖，在三棱柱中，側(cè)面和側(cè)面均為正方形，D為

棱BC的中點.

證明：平面平面；

若直線與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值.

19.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，

若，求的面積；

若，求

20.為弘揚體育精神，營造校園體育氛圍，某校組織“青春杯”3V3籃球比賽，甲、乙兩

隊進入決賽.規(guī)定：先累計勝兩場者為冠軍，一場比賽中犯規(guī)4次以上的球員在該場比賽結(jié)束

后，將不能參加后面場次的比賽.在規(guī)則允許的情況下，甲隊中球員M都會參賽，他上場與

不上場甲隊一場比賽獲勝的概率分別為和，且每場比賽中犯規(guī)4次以上的概率為

求甲隊第二場比賽獲勝的概率；

用X表示比賽結(jié)束時比賽場數(shù)，求X的期望；

已知球員M在第一場比賽中犯規(guī)4次以上，求甲隊比賽獲勝的概率.

21.已知雙曲線過點，且P與E的兩個頂點連線的斜

率之和為

求E的方程；

過點的直線l與雙曲線E交于A，B兩點異于點設(shè)直線BC與x軸垂直且交

直線AP于點C，若線段BC的中點為N，證明：直線MN的斜率為定值，并求該定值.

第3頁，共19頁

22.已知，證明：

；

第4頁，共19頁

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：全集，集合，

，

則

故選：

求出集合A，B，利用交集定義能求出

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

2.【答案】D

【解析】解：因為，

所以，

故z的虛部是

故選：

根據(jù)復數(shù)的除法運算求得復數(shù)z，即可確定答案．

本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】C

【解析】解：將連續(xù)八屆的進球總數(shù)從小到大排列為：141，145，147，161，169，171，

171，172，

由于，故進球總數(shù)的第40百分位數(shù)是第4個數(shù)據(jù)

故選：

將數(shù)據(jù)從小到大排列，計算，根據(jù)第40百分位數(shù)的含義，即可確定答案．

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】B

【解析】解：由題意可先排除b之外的其余四個字母，有種排法，

再從這四個字母排完后的5個空中選2個放入b，有種放法，

故字母b不相鄰的排列方法共有種，

故選：

先排除b之外的其余四個字母，再從這四個字母排完后的5個空中選2個放入b即可．

第5頁，共19頁

本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】A

【解析】解：由，

得，

即，

又，

所以

故選：

利用二倍角的正切公式計算即可．

本題主要考查了二倍角公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】A

【解析】解：設(shè)AC與BD相交于點因為四棱臺

為正四棱臺，直線與直線

的交點為P，

所以四棱錐為正四棱錐，

所以平面

四棱錐的外接球的球心O在直線上，連

接BO，

設(shè)該外接球的半徑為

因為平行于，

所以，，

所以，即，

解得，

則四棱錐的外接球的體積為

故選：

先確定四棱錐為正四棱錐，從而得出外接球的球心O在直線上，再由勾股定理

確定半徑，進而得出四棱錐的外接球的體積．

本題考查四棱錐外接球的體積計算，考查運算求解能力，屬于中檔題．

7.【答案】B

第6頁，共19頁

【解析】解：圓M：，

則圓心，圓M的半徑為4，

設(shè)AB的中點，

則，即，

又，

所以，即點D的軌跡方程為E：，圓心，半徑為

1，

所以的最大值為，

因為，

所以的最大值為

故選：

利用中點坐標求出AB的中點的軌跡方程為圓心、半徑為1的圓，得的最大

值，結(jié)合即可求解．

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

8.【答案】C

【解析】解：因為為定義域為R奇函數(shù)，周期為2，

故函數(shù)滿足條件，

令可得，，

函數(shù)的最小正周期為4，對稱中心為，，

函數(shù)沒有對稱軸，

A錯誤，B錯誤，D錯誤；

因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以，

取可得，，

因為的一個周期為2，

所以，

取可得，，

第7頁，共19頁

由可得，函數(shù)為周期為4的函數(shù)，

所以，C正確；

故選：

舉例判斷A，B，D錯誤，再由條件結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)和周期函數(shù)的性質(zhì)列關(guān)系式論證C正確．

本題主要考查了抽象函數(shù)的應用，考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性，屬于中檔題．

9.【答案】BD

【解析】解：由圖象可知，，，選項錯誤，D選項正確；

又由圖象可得，

，又，，選項正確；

，

又，，

，又，

，

，錯誤．

故選：

觀察圖象確定函數(shù)的最值，根據(jù)最值求A，k，觀察函數(shù)的周期，根據(jù)周期公式求，最后找點代

入求，由此確定正確選項．

本題考查根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式，三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，屬中檔題．

10.【答案】BCD

【解析】解：建系如圖，則根據(jù)題意可得：

，，，，，

，，，，，

對A選項，，，

，與DF不垂直，選項錯誤；

對B選項，，，，

設(shè)平面DEF的法向量為，

第8頁，共19頁

則，取，

，平面DEF，選項正確；

對C選項，，，

又由B選項分析知平面DEF的法向量為，

設(shè)平面的法向量為，

則，取，

，與不平行，

平面與平面DEF相交，選項正確；

對D選項，，

又由B選項分析知平面DEF的法向量為，

點B到平面DEF的距離為，選項正確，

故選：

建系，利用空間垂直向量的坐標表示判斷A；利用線面平行的向量法判斷B；利用面面平行的向

量法判斷C；利用向量法求出點到平面的距離公式判斷

本題考查向量法判斷線線垂直問題，向量法判斷線面平行問題，向量法判斷面面平行問題，向量

法求解點面距問題，屬中檔題．

11.【答案】ABC

【解析】解：由橢圓方程可得，，

則，

對于選項A，由橢圓的性質(zhì)可得，，又，

，構(gòu)成以d為公差的等差數(shù)列，

則d的最大值是，即選項A正確；

當時，設(shè)，，，又點A在

橢圓上，

聯(lián)立方程組解得或舍去，A的坐標為，

同理可得C的坐標為，A，C關(guān)于y軸對稱，可得，可得，

當A，C關(guān)于原點對稱時，可得，，故B正確；

第9頁，共19頁

，，構(gòu)成以d為公差的等差數(shù)列，，C關(guān)于y軸對稱，

設(shè)，

，

當且僅當時取等號，故C正確；

當A，C在x軸的異側(cè)時，可得A，C關(guān)于原點對稱，

設(shè)，則，

，故D錯誤．

故選：

由橢圓的性質(zhì)可得，，可得d的最大值判斷A；

由，可求A，C的坐標，進而可得，可判斷B；由A，C關(guān)于y軸對稱，

可得，可求最大值判斷C；設(shè)，則，

，計算可判斷

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查運算求解能力，屬中檔題．

12.【答案】ABD

【解析】解：對于A，由已知，函數(shù)，可得，

令，所以，

則即在R上單調(diào)遞增，

令，則，

當時，作出函數(shù)，的大致圖象如圖：

當時，作出函數(shù)，的大致圖象如圖：

第10頁，共19頁

可知，的圖象總有一個交點，即總有一個根，

當時，；當時，，

此時存在唯一極小值點，故A正確；

對于B，由于，故原點不在曲線上，且，

設(shè)切點為，，則，

即，即，

令，，

當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

故，

當時，的值趨近于0，趨近于無窮大，故趨近于正無窮大，

當時，的值趨近于正無窮大，趨近于無窮大，故趨近于正無窮大，

故在和上各有一個零點，即有兩個解，

故對任意a，b，曲線過原點的切線有兩條，故B正確；

對于C，當時，，，

故，該函數(shù)為R上單調(diào)增函數(shù)，，

，

故，使得，即，

結(jié)合A的分析可知，的極小值也即最小值為

，

令，則，且為增函數(shù)，

當時，，當且僅當時取等號，

故當時，，則在上單調(diào)遞增，

故，令，則，所以，

第11頁，共19頁

此時的最小值為，無零點，故C錯誤；

對于D，當時，為偶函數(shù)，考慮視情況；

此時，，，

結(jié)合A的分析可知在R上單調(diào)遞增，，

故時，，則在上單調(diào)遞增，

故在上單調(diào)遞減，為偶函數(shù)，

故，故D正確．

故選：

對于A，求出函數(shù)導數(shù)，數(shù)形結(jié)合，判斷導數(shù)正負，從而判斷函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)極值點；對

于B，設(shè)切點為，，利用導數(shù)的幾何意義可得方程，結(jié)合方程的根的

個數(shù)，判斷切線的條數(shù)；對于C，利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值，根據(jù)最值情況判斷函

數(shù)的零點情況；對于D，由于為偶函數(shù)，故先判斷時函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)，

即可判斷的單調(diào)性，進而求得函數(shù)最值．

本題綜合性較強，綜合考查了導數(shù)的幾何意義以及極值點、零點、最值問題，計算量較大；難點

在于利用導數(shù)解決函數(shù)的零點問題時，要能構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，結(jié)合零點存在定理判斷導數(shù)值的情

況，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得最值，解決零點問題．

13.【答案】

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，

由，，

可得，，

解方程得，或，

當時，，

當時，，

所以

故答案為：

由條件結(jié)合等比數(shù)列通項公式求首項和公比q，再利用求和公式求

本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，屬于基礎(chǔ)題．

第12頁，共19頁

14.【答案】8186

【解析】解：由題意知，，

所以，，

得

，

所以袋裝質(zhì)量在區(qū)間的約有袋．

故答案為：

根據(jù)正態(tài)分布的概率分布原則可得，，

進而求出即可求解．

本題主要考查正態(tài)分布，屬于中檔題．

15.【答案】

【解析】解：因為，解得：，

則，

當且僅當，時取等號．

故答案為：

利用等式求解b，代入計算，結(jié)合基本不等式，即可求得的最小值．

本題主要考查了基本不等式在最值求解中的應用，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：拋物線的焦點為，準線方程為

，

過點的斜率為0的直線與拋物線C有且只有一個交點，不

滿足條件，

設(shè)直線l的方程為，

聯(lián)立，消x得，

，

設(shè)，，，，

第13頁，共19頁

設(shè)AB的中點為，

則，，，

所以，

因為為等腰直角三角形，

當點A為直角頂點時，

過點A作x軸的垂線，過點M作，垂足為

，

過點B作，垂足為，

因為，，

，

所以，

所以，，

所以，又，，，

所以，即，

所以，所以，，

所以，

當B為直角頂點時，同理可得，

當M為直角頂點時，則點M在以AB為直徑的圓上，

因為AB的中點坐標為，

所以以AB為直徑的圓的方程為，

取，可得，此時MN與x平行，與矛盾，

所以，

故答案為：

聯(lián)立方程組，利用設(shè)而不求法，結(jié)合條件，通過討論求出直線的斜率，由此可求弦長．

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，平面幾何知識的應用，設(shè)而不求法與韋

達定理的應用，屬中檔題．

17.【答案】解：因為，

所以由，

第14頁，共19頁

可得，

所以，，

即，

即

證明：，當時，

當時，，

故

綜上，，

【解析】利用，結(jié)合條件可得，再利用等差數(shù)列的求

和公式計算即可．

結(jié)合可知，利用放縮，再結(jié)合裂項相消求和即可證明．

本題主要考查數(shù)列遞推式，數(shù)列的求和，考查運算求解能力，屬于中檔題．

18.【答案】解：證明：因為側(cè)面、側(cè)面

均為正方形，

所以，，又，AB、平

面ABC，

所以平面ABC，又，所以平面ABC，

又平面ABC，所以

由，D為棱BC的中點，所以，

又，BC、平面，

因此平面，又平面，

故平面平面；

由得是與側(cè)面所成角，即，

令，所以，又，

所以，，，

則，，

以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建系如圖，

則，，

所以，，

第15頁，共19頁

設(shè)是平面的一個法向量，

則即取

易知是平面的一個法向量，

則，

所以平面與平面的夾角的余弦值為

【解析】根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面ABC，即平面ABC，進而

，再次利用線面垂直的判定定理可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即

可證明；

建立如圖空間直角坐標系，利用向量法求出平面的法向量，結(jié)合面面角的向量求法即

得．

本題考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解面面角問題，向量夾角公式的

應用，屬中檔題．

19.【答案】解：在中，由余弦定理可得，

，

所以；

設(shè)，則，，

在中，由正弦定理可得，

即，

所以，，

于是，解得或舍，

所以，

故

【解析】根據(jù)余弦定理求出，利用誘導公式求出，結(jié)合

三角形的面積公式計算即可求解；

第16頁，共19頁

設(shè)，根據(jù)正弦定理和誘導公式可得、，

解得，同角的三角函數(shù)關(guān)系求出即可求解．

本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：設(shè)為“第i場甲隊獲勝“，為“球員M第i場上場比賽“，，2，

3，

根據(jù)全概率公式可得

；

由題意可得，3，

又，由知，

，，

，

，

；

，此時，

所求概率為：

【解析】根據(jù)全概率公式，即可求解；

由題意可得，3，從而再根據(jù)對立事件的概率與獨立事件的概率公式，數(shù)學期望的概念，

即可求解；

根據(jù)對立事件與獨立事件的概率公式，條件概率公式，即可求解．

本題考查全概率公式，對立事件的概率公式，離散型隨機變量的期望的求解，屬中檔題．

第17頁，共19頁

21.【答案】解：雙曲線的兩頂點為，所以，即，

將代入E的方程可得，，

故E的方程為；

證明：依題意，可設(shè)直線l：，，，

聯(lián)立方程，整理得，

所以，，解得