2023-2024學年山東省德州市高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題（含解析）

2023-2024學年山東省德州市高二上冊期末數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.在空間直角坐標系中，已知點P(L3,5),則點尸關于x軸的對稱點的坐標是()

A.(-1,-3,5)B.(-1,3,-5)

C.(1,-3,—5)D.(-1,-3,—5)

【正確答案】C

【分析】直接根據(jù)空間點關于x軸對稱的結論即可得到答案.

【詳解】根據(jù)空間點關于x軸對稱，則x軸上坐標不變，N，z軸上坐標取相反數(shù)，

故點P關于x軸的對稱點的坐標是。,-3,-5).

故選：C.

2.已知直線個x+("4)y+l=0,七八+5夕+5=0且/J//2,則實數(shù)a的值為()

A.5B.lC.5或-1D.—1

【正確答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，列出方程求解，再驗證判斷作答.

【詳解】直線4：x+(a-4)y+l=0,l2iax+5y+5=0,由-4)-5=0解得。=5或

a=-1,

當a=5時，直線小x+丁+1=0與4：5x+5y+5=0重合，不符合題意，

當a=-l時，直線4：x-5y+l=O與4:x-5y-5=0平行，

所以實數(shù)。的值為-1.

故選：D

3.電子設備中電平信號用電壓的高與低來表示，高電壓信號記為數(shù)字1,低電壓信號記為

數(shù)字0,一串由0和1組成的不同排列代表不同的電平信號,所用數(shù)字只有0和1,例如001100

就是一個信息.某電平信號由6個數(shù)字構成，已知其中至少有四個0,則滿足條件的電平信

號種數(shù)為()

A.42B.22C.20D.15

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定的信息，利用組合知識分類列式求解作答.

【詳解】依題意，求電平信號種數(shù)可以有3類辦法，電平信號的6個數(shù)字中有4個0,有C：

種，

電平信號的6個數(shù)字中有5個0,有C：種，電平信號的6個數(shù)字中有6個0,有C：種，

由分類加法計數(shù)原理得滿足條件的電平信號種數(shù)為C：+C：+C：=15+6+1=22.

故選：B

4.已知尸（8）=0.3,P（B|A）=0.9,P（B\A）=0.2,則P（彳）=（）

6fl-I-1

A.-B.-C.-D.—

77310

【正確答案】A

【分析】根據(jù)已知利用全概率公式得以8）=?（"），（B\A）+貝可?耳,即可求解P（A）.

【詳解】由全概率公式可得：尸（8）=*/）.尸（團勾+耳司.尺8司

可得0.3=P（Z）x0.9+（l-P（N））x0.2,解得,2（/）=；

則依力一）=號6

故選:A.

5.已知每門大炮擊中目標的概率都是0.5,現(xiàn)有10門大炮同時對某一目標各射擊一次.記

恰好擊中目標3次的概率為/；若擊中目標記2分，記10門大炮總得分的期望值為8,則/,

B的值分別為（）

15151515

A.----,5B.----,10C.-----,5D.-----,10

128128256256

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意得其機種次數(shù)和期望符合二項分布，利用其期望公式即可得到8值，再利

用其概率公式計算A值即可.

【詳解】設10門大炮擊中目標的次數(shù)為X,則根據(jù)題意可得X?8（10,目，

.?.10門大炮總得分的期望值為5-10x1x2=10,

2

.?.3吠=3）=例（升（1-m=裝,

故選：B.

6.羽毛球單打實行“三局兩勝”制（無平局）.甲乙兩人爭奪比賽的冠軍.甲在每局比賽中獲

勝的概率均為3:，且每局比賽結果相互獨立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了三局的

4

概率為（）

1224

A.-B.—C."D.一

3535

【正確答案】A

【分析】求出甲獲勝的概率、甲獲得冠軍且比賽進行了三局的概率，利用條件概率公式求概

率即可.

【詳解】由甲獲勝的概率為：33133313三27,

4444444432

而甲獲得冠軍且比賽進行了三局，對應概率為1=x3=3+3=13=9,

44444432

9271

所以在甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了三局的概率為《十三=9

32323

故選：A

7.3D打印是快速成型技術的一種，通過逐層打印的方式來構造物體.如圖所示的筆筒為3D

打印的雙曲線型筆筒，該筆筒是由離心率為3的雙曲線的一部分圍繞其旋轉軸逐層旋轉打印

得到的，已知該筆筒的上底直徑為6cm,下底直徑為8cm,高為8cm（數(shù)據(jù)均以外壁即筆筒

外側表面計算），則筆筒最細處的直徑為（）

A.?mB.里cmD."m

884

【正確答案】C

【分析】畫出筆筒的軸截面，建立平面直角坐標系，設出雙曲線的方程，根據(jù)題意寫出點的

坐標，把點的坐標代入雙曲線方程即可求解.

【詳解】該塔筒的軸截面如圖所示，以。為筆筒對應雙曲線的實軸端點,

以oc所在直線為x軸，過點。且與oc垂直的直線為夕軸,

建立平面直角坐標系，設A與8分別為上，下底面對應點.

由題意可知X4=3,4=4,左一為=8,設4(3,小)，則5(4,〃?-8),

所以6=2缶，所以方程可化簡為8x2-/=8/(*),

1

m=—

72-w2=8a22

將A和8的坐標代入(*)式可得，,、22,解得

128-(8-w)-=8/7574

a=--------

8

則筆筒最細處的直徑為2〃=孥

故選：C.

8.已知。(0,0),4(3,0),P(a,b)滿足|PO|=2|P/|,則|。+26-14|的最小值為()

A.y/5B.4C.275-2D.10-2君

【正確答案】D

【分析】由|PO|=2|R4|可整理得到尸點軌跡方程，設a=4+2cos。，6=2sind,可將所求

式子化為卜/^泊伊+功-同，由此可得最小值.

【詳解】由|PO|=2|/訓得：/+/=4[(“一3)2+用，整理可得：(”4)2+/=4,

則可令a=4+2cos?,6=2sin6,0e[0,2?t),

|a+2ft-14|=|4+2cos0+4sin0-14|=|2A/5sin(0+^>)-1o|(其中tan?=；),

則當sin(e+Q)=l時，|a+2Z,-14|m.n=10-275.

故選：D.

二、多選題

9.已知方程7MX?+〃_/=1,其中機2+"2二0,則（）

A.機〃>0時，方程表示橢圓

B.時，方程表示雙曲線

C.〃=0時，方程表示拋物線

D.">加>0時，方程表示焦點在x軸上的橢圓

【正確答案】BD

工+J

當機〃<0時，111表示雙曲線，"7>0,”<0時表示焦點在x軸上的雙曲線，m<0,n>0

mn

表示焦點在y軸上的雙曲線；當機>〃>0時表示焦點在y軸上的橢圓，當〃〉加>0時表示

焦點在x軸上的橢圓.

【詳解】若"<0,〃<0,則加/+犯，2=1不表示橢圓，故A錯誤；

2222

y__

若陽>0,〃<0,則T_1-1表示焦點在X軸上的雙曲線，若加<0,〃>0,則丁表

tnnntn

示焦點在y軸上的雙曲線，故B正確；

當〃=0時，若m片0,則方程表示兩條垂直于x軸的直線，若機=0則不表示任何圖形，故

C錯誤；

11片+片=1_

">,">0時，0<—<—,11表小焦點在X軸上的橢圓，D正確.

nm——

mn

故選：BD

本題考查圓錐曲線的標準方程，由標準方程判斷焦點的位置，屬于基礎題.

10.下列四個關系式中，一定成立的是（）

A.C；=C；

C.(〃+I)Ar=A：：；

D.若m,?eN,?且機<“42023,則C嬴cC^

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)組合數(shù)性質與排列數(shù)性質判斷.

【詳解】由組合數(shù)性質知C；=G一定成立，A正確；

C^C^+-+C^=C^C^+C>-+C^-1=C：+C>-+C^-1=-=C；OI-UB錯；

(w+l)A"'=(n+l)n(n-l)---(/i-w+l)=(/?+1)/?(M-1)???[(?+l)-(w+1)+1]=A?*,1,C正確；

由組合數(shù)性質知〃eN*且力W2023，當14〃41012時，C嬴遞增，當10124〃42023時，C嬴

遞減，因此D錯.

故選：AC.

11.若隨機變量X服從兩點分布，其中尸(X=0)=；,￡(%),D(X)分別為隨機變量X的

均值與方差，則下列結論正確的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4

C.O(3X+2)=4D.D(X)=-

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)隨機變量X服從兩點分布推出P(X=1)=|,根據(jù)公式先計算出E(X)、D(X),

由此分別計算四個選項得出結果.

12

【詳解】隨機變量X服從兩點分布，其中P(X=0)=『.?.P(x=l)=(,

122

E(X)=0x—+lx—=—,

333

2,12,22

DW=(0--)2X-+(1--)2X-=-,

在A中，P(X=1)=E(X),故A正確；

2

在B中，E(3X+2)=3E(X)+2=3x§+2=4,故B正確：

2

在C中，O(3X+2)=9D(X)=9x§=2,故C錯誤；

2

在D中，D(X)=-,故D錯誤.

故選:AB.

12.已知正方體初中，AB=2,P為正方體表面及內部一點，且

AP=AAB+^ADt,其中pe[O,l],則（）

A.當a+〃=1時，的最小值為偵

3

B.當22+〃=1時，存在點P,使得/P_L8。

C.當〃=；時，直線力產(chǎn)與平面所成角正切值的取值范圍是1,1

D.當2=；時，，三棱錐尸-5G。的體積為定值

【正確答案】ABD

【分析】當幾+"=1時,點尸在80上，求出的最小值判斷A,取48的中點K,連接

KR,AC，43,P是KR上的動點，8。1平面ZCG4,可判斷B,取陽，圖的中點分別

為N,M,當〃=；時，點尸的軌跡是上的動點，可求直線/P與平面48CZ）所成角正

切值的取值范圍判斷C,取AG的中點G,H,當4=g時，點尸的軌跡是G”上的動

點，可證G”〃平面8CQ,判斷D.

【詳解】當人+〃=1時,點尸在8鼻上，如圖，

在80。中sinN〃8D=—L=—,==―,

'BDt2也3

；.PD1映時,PD取得最小值為BDxsinNRBD=2亞T=當,故A正確；

取4B的中點K,連接KO|,NC，4G,萬=2次，4=2/MK+〃/q

當22+"=1時，P是K0上的動點，在正方體中8。1平面/CG4,故存在點P為

平面/CG4與KR的交點時，使故B正確；

如圖,

Cl

取陽,g的中點分別為M",當〃=；時，點尸的軌跡是上的動點，易得A/N〃平面

ABCD,故尸到平面的距離為定值1,設直線NP與平面N5CQ所成角為a,當P點在N時

NF

4P的投影最小，a最大，此時tana=F=l,當點尸在N時ZP的投影最大，。最小，此

AF

ME1Js

時tana=翳==紜,故直線AP與平面ABCD所成角正切值的取值范圍是

4EV22+l25

咚,1,故C錯誤；

取N5,2G的中點G,H,當4時，點尸的軌跡是G"上的動點，易得GH〃BC],GHu

平面8CQ,8。1<=平面5。0,，64〃平面8a。，故點尸到平面8Go的距離為定值，二

三棱錐尸-8CQ的體積為定值，故D正確.

故選：ABD

三、填空題

13.已知隨機變量X服從正態(tài)分布且尸(X>20)=0.5,P(X>30)=0.24,貝

P(10<^<30)=.

13

【正確答案】0.52##—

【分析】先根據(jù)對稱性得到"=20,結合尸(X>30)=0.24求出答案.

【詳解】由對稱性可知，〃=20,ni0<^<30)=1-2P(X>30)=1-2x0.24=0.52.

故0.52

14.如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對稱軸，當水面在

/時，拱頂離水面2米，水面寬4米.當水位下降，水面寬為6米時，拱頂?shù)剿娴木嚯x為

米.

2m\II

<-----4m-------?

9

【正確答案】4.5##-

【分析】建立平面直角坐標系，設拋物線方程為x2=wy,求出拋物線的方程，再代點的坐

標即得解.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，設拋物線方程為一=少，

將/(2,-2)代入丁=叼,得加=一2,所以產(chǎn)=_2夕.

設8(3,%),代入9=-2%,得為=T.5.

所以拱橋到水面的距離為4.5m.

15.在正六棱柱4cA耳耳中，若底面邊長為1,高為3,則8c到平面NOG4

的距離為.

【正確答案】獨1##之如

1313

【分析】取AD,BC,4G的中點N,證明8C//平面ADCtB、,平面OMN±平面ADC.B,,

再求出RLAQWV斜邊上的高作答.

【詳解】在正六棱柱/8CDE尸后居中，取/Z),8C,4G的中點0,〃,N,連接

MN,OM,ON,如圖,

B.CJIBCHAD,8。<2平面/。6；4，力。＜=平面/。6；4，則8c〃平面”。。出，

MN11BB、,BB、1平面ABCDEF,則MN1平面ABCDEF,ADu平面ABCDEF,

即MV_Z/Z),而。M_L8C,即有OMC\MN=M,OM,仞Vu平面OMV,

則4DJL平面OA/N,又4Du平面/DC4,因此平面OWN_L平面/DC4,

在平面OM7V內過M作_LON于，，而平面OMNCl平面NOC/i=ON,

于是M"，平面4DCe,線段M段長即為5c到平面4DCe的距離，

OM=lxcos30°=也，MN=3,RtAOW't',ON=>JOM2+MN2=—>

22

百x3r-

所以8c到平面ADC}B}的距離MH=叫？=_^_=萼

CJN-y3913

F

故跡

13

四、雙空題

⑹如圖，我們把由半橢圓巨/叱。）和半橢唬+（=2。）合成的曲線稱作“果

圓，，.F、，F(xiàn)”店是相應半橢圓的焦點，則與F?6的周長為,直線y=f與“果圓”交

于A,B兩點，且Z8中點為“，點M的軌跡方程為

2

【正確答案】8+2近x2+^=l(x>0)

16

【分析】根據(jù)各半橢圓方程可得耳，尸2，鳥的坐標，再根據(jù)兩點間距離公式求得距離及周

長；分別表示點A,8的坐標，利用中點公式表示消參即可得到點得軌跡方程.

【詳解】由耳，F(xiàn)2,乙是相應半橢圓的焦點，

可得耳倒,近)，乙(0,-4)，石(3,0),

所以山國=2近，山周="3-0)2+(。-6『=4,優(yōu)"|=J(3-0)2+(0+0『=4,

故所求周長為4+4+2近=8+2"；

設M(x,y),

聯(lián)立直線^=，與廣+『=1(x40),得X—J16-。,

169V'4

即點,

聯(lián)立直線^=，與《+廿=l(x>0),得*,

2516v'4

即點8gjl6-f2,4,且48不重合，即塊4,

又M為AB中點，

-：J16-r+；J16"716-Z2

X--------------------------------=-----------

所以24,

t+t

y=-----=t

I2

即x=J16y,x>0,整理可得x2+zi=i,x>0,

416

故8+2"x2+—=l(x>0).

五、解答題

17.已知的展開式中，所有項的系數(shù)之和是512.

（1）求展開式中含/項的系數(shù);

（2x7）"的展開式中的常數(shù)項.

【正確答案】（1）27

⑵17

【分析】（1）利用賦值法得所有項的系數(shù)和，求解力然后利用二項式展開式通項公式求解

即可；

（2）把式子化簡為（2x-爐+色苴，然后分別利用二項式展開式通項公式求解常數(shù)項即

可.

【詳解】（1）因為的展開式中，所有項的系數(shù)之和是512.

所以令x=l,得2"=512,所以"=9,

所以的展開式通項公式為=Q（3』廣’卜）=539-（7）'%",

令|一9=3,解得r=8,所以展開式中含/項為1=以3|（-1）,3=271,

所以展開式中含V項的系數(shù)為27.

（2）由（1）知，"=9,從而（1+1]（2》一1）"=（2》一1）9+僅工-1）,

因為（2x-爐的展開式的通項為卻|=C；（2x）”'（-1丫,

所以（2x-爐的常數(shù)項為幾=C；（2x）°（-if=-1

又（2尸）：的常數(shù)項為0：（2/-（T）*=[&,

所以（

（2x7）9的展開式中的常數(shù)項為-1+18=17.

18.已知拋物線C:/=2px（p>0）經(jīng)過點尸伍,“）（。>0）,尸為拋物線的焦點，且|尸尸|=5.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)過點“(4,0)的直線/與拋物線C相交于A,8兩點，求/8。面積的最小值(。為坐標

原點)

【正確答案】⑴V=4x

⑵16

【分析】(1)首先求出拋物線的焦點坐標與準線方程，將點P坐標代入拋物線方程求出

a=2p,再根據(jù)焦半徑公式計算可得；

(2)分直線力8的斜率不存在與存在兩種情況討論，當直線48的斜率存在時，設直線45的

方程為y=Mx-4)(kwO),方B(x2,y2),聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，列出韋達

定理，根據(jù)面積公式計算可得.

【詳解】(1)拋物線C：/=2px(p>0)的焦點為尸(多0),準線方程為x=-^,

由拋物線C;y2=2px(p>0)經(jīng)過點,(a>0),

可得〃2=2p4,即〃=2p,

又|PF|=5,可得。+5=5,

解得P=2,a=4,

故拋物線C的標準方程為V=4x.

(2)當直線的斜率不存在時，直線方程為x=4,

由；_4，解得V=±4,此時|4四=8,所以48。的面積S=QX8X4=16.

當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=%(x-4)(%w0).

y=攵（工-4）

由得如2_4了一16%=0,A=16+64%2>0.

y2=4x

4

設力(XQJ,/々必)，由根與系數(shù)的關系得弘+為=工，乂%=-16,

所以SNB0=S^OM+SWOM=,|必一為

=J（必+為『-4%必

2店+64>16,

n2

綜上所述，/8O面積的最小值為16.

19.2022年是共青團建團一百周年，為了銘記歷史、緬懷先烈、增強愛國主義情懷，某學

校組織了共青團團史知識競賽活動.在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道

有關團史的問題，己知甲回答正確的概率為,，甲、丙兩人都回答正確的概率是:，乙、丙

Jz

兩人都回答正確的概率是:.每個人回答是否正確互不影響.

（1）若規(guī)定三名同學都需要回答這個問題，求甲、乙、丙三名同學中至少1人回答正確的概率;

2

（2）若規(guī)定三名同學需要搶答這道題，已知甲搶到答題機會的概率為《，乙搶到答題機會的

1_2

概率為《，丙搶到的概率為《，求這個問題回答正確的概率.

【正確答案】（1）9

1O

19

⑵而

【分析】（1）根據(jù)獨立事件概率乘法公式可求得乙、丙回答正確的概率，結合對立事件概率

公式可求得結果;

（2）根據(jù)全概率公式直接計算即可.

【詳解】（1）記甲回答正確為事件A,乙回答正確為事件3,丙回答正確為事件C,則事件

45,C相互獨立；

711

由題意知：P（⑷=9P（/C）=],P（fiC）=-,

尸(佝=5=3P(BC)_4_]_

vP(C)=二尸（8）=-

尸⑷14P?-J3

34

則甲、乙、丙三名同學中至少1人回答正確的概率

（2）記該問題回答正確為事件。，甲、乙、丙搶到答題機會分別為事件4,4,4,

71071Q

則尸(4)=丁尸(4)=『P('J=于外44)=§，P(M4)=§，P(C|4)=“

.?.尸(0=「(a4)尸⑷+P(5⑷尸⑷+P(C⑷尸⑷=+￡+吳++]=]

JJJJ■J

20.如圖，已知直角梯形/BCD,ABI/CD,AD=DC=C，AB=2DC,ZADC=90°,

四邊形4FCE為正方形，且平面NCFEL平面N8co.

（1）求證：BC_L平面ZC/芯；

（2）點用為線段E尸的中點，求直線BF與平面M48所成角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

【分析】（1）由余弦定理得到8C2=4,再由勾股定理逆定理得到8c±AC,結合面面垂直

得到線面垂直；

（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解線面角的正弦值.

【詳解】（1）已知直角梯形/SCO,AB//CD,AD=DC=4i，

ZADC=90°,所以/立。。為等腰直角三角形，

可得/C=,2+2=2，NCAB=45°,AB=2>/2）

所以在△C4S中，由余弦定理得5c2=8+4-2x2&x2-cos45°=4，

所以4爐=/C?+8C?,得BC1AC.

因為平面/CFE_L平面月8cD,平面/CFfc平面/8C￡）=/C,8Cu平面458,

所以8C_L平面力CFE.

（2）根據(jù)（1）中所證可得：C4c8,（方兩兩垂直，

故以C為坐標原點，C4c8,3分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系：

則4（2,0,0）,5（0,2,0）,"（1,0,2）,尸（0,0,2）.

在=(-2,2,0),麗=(1,-2,2),旃=(0,-2,2),

B

設而=(x,y,z)為平面MAB的一個法向量,

in-AB=^x,y,z)-^-2,2,0)=-2x+2y=0

由，取x=2,貝Ijy=2,z=1,

in-BM=(x,y,z)?(1,-2,2)=x-2y+2z=0

故方=(2,2,1),

設直線BF與平面MAB所成角為。，

則sinHcos加明=回殂」(2,2，1)?(0，：2,2)|_2_

?'\tn\-\BF|J4+4+1xJ4+4v8xV96

即直線8尸與平面M48所成角正弦值為也.

6

21.新冠疫情不斷反彈，各大商超多措并舉確保市民生活貨品不斷檔，超市員工加班加點工

作.某大型超市為答謝各位員工一年來的銳意進取和辛勤努力，擬在年會后，通過摸球兌獎

的方式對500位員工進行獎勵，規(guī)定：每位員工從一個裝有5種面值獎券的箱子中，一次隨

機摸出2張獎券，獎券上所標的面值之和就是該員工所獲得的獎勵額.

(1)若箱子中所裝的5種面值的獎券中有2張面值為100元，其余3張均為50元，試比較員

工獲得100元獎勵額與獲得150元獎勵額的概率的大小；

(2)公司對獎勵總額的預算是7萬元，預定箱子中所裝的5種面值的獎券有兩種方案：第一

方案是3張面值30元和2張面值130元；第二方案是3張面值50元和2張面值100元.為

了使員工得到的獎勵總額盡可能地符合公司的預算且每位員工所獲得的獎勵額相對均衡，請

問選擇哪一種方案比較好？并說明理由.

【正確答案】(1)員工獲得100元獎勵額的概率小于獲得150元獎勵額的概率

(2)應選擇第二種方案，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)超幾何分布求出員工獲得100元獎勵額與獲得150元獎勵額的概率，比較

大小即可得出答案；

（2）分別求出選擇方案一和方案二的分布列，進而求出對應的數(shù)學期望和方差，比較方差

和期望的大小即可得出答案.

【詳解】（1）用X表示員工所獲得的獎勵額.

因為P（X=100）=||q,P（為=150）=等=哥,

所以P（X=100）＜P（X=150）,

故員工獲得100元獎勵額的概率小于獲得150元獎勵額的概率.

（2）第一種方案：設員工所獲得的獎勵額為X一則式的分布列為

X60160260

331

P

10510

331

所以M的數(shù)學期望為E（Xj=60xm+160x1+260x^=140,

33I

M的方差為￡＞（XJ=（60-140）2X—+（160-140）2x-+（260-140）2x—=3600；

第二種方案：設員工所獲得的獎勵額為工，則工的分布列為

100150200

331

P

io5io

所以占的數(shù)學期望為￡（匕）=100'總3+150x23+200x=1=140,

X2的方差為。（丫2）=（100740）2x奈+（150-140）2x|+（200-140）2x2=900,

又因為500E（Xj=500E（X2）=70000（元），

所以兩種方案獎勵額的數(shù)學期望都符合要求，但第二種方案的方差比第一種方案的小,

故應選擇第二種方案.

22.已知橢圓C:5+^=l(a>6>0)的短軸長為4,且過點?1,3).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)直線與橢圓C相交于P、。兩點，以尸。為直徑的圓過點A,求點A到直線/距離的最大

值.

22

【正確答案】⑴匕+'=1

124

(2)|A/2

【分析】(1)根據(jù)橢圓過點A,結合短軸長列方程，解方程即可:

(2)法一：當直線斜率不存在時，設點P與。的坐標，根據(jù)ZP1N。，解方程可得直線方

程，當斜率存在時，設直線方程為>=去+加，聯(lián)立直線與橢圓，結合韋達定理及

k3

可得，〃=萬+5,即可得直線過定點，進而確定距離的最值.法二：將橢圓方程轉化為

(^-3)2+6(^-3)+3(x-iy+6(r-l)=0,設直線方程為加"-1)+〃3-3)=1,與橢圓聯(lián)立

'所以則左=&=合，

構造齊次式得(6N+1)-——+(f>m+6m)-——有6m+3=0

&=的°=三=是方程的兩個根，則左/="出=-1,即3m=-3〃-2,代入直線方程,

x2-16/7+1

可得直線過定點，進而確定距離的最值.

【詳解】(1)橢圓C的短軸長為4,所以2b=4,b=2,

gi

代入點4(1,3),得：=所以/=12

a4

橢圓C的方程為或