小學(xué)數(shù)學(xué)五年級思維奧數(shù)寒假講義-第5講 排列問題（教師版）

第5講排列問題

【知識梳理】

一、排列問題

在實(shí)際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一

列，計(jì)算有多少種排法，就是排列問題.在排的過程中，不僅與參與排列的事物

有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān).

一般地，從〃個(gè)不同的元素中取出加（MW”）個(gè)元素，按照一定的順序排成一

列，叫做從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的一個(gè)排列.

根據(jù)排列的定義，兩個(gè)排列相同，指的是兩個(gè)排列的元素完全相同，并且元

素的排列順序也相同.如果兩個(gè)排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；

如果兩個(gè)排列中，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的

排列.

排列的基本問題是計(jì)算排列的總個(gè)數(shù).

從〃個(gè)不同的元素中取出m（現(xiàn)〈〃）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從〃個(gè)不

同的元素的排列中取出機(jī)個(gè)元素的排列數(shù)，我們把它記做以1.

根據(jù)排列的定義，做一個(gè)加元素的排列由機(jī)個(gè)步驟完成：

步驟1:從"個(gè)不同的元素中任取一個(gè)元素排在第一位，有“種方法；

步驟2:從剩下的（〃-1）個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第二位，有（力-1）種方

法；

步驟"7：從剩下的［”-（加-1）］個(gè)元素中任取一個(gè)元素排在第加個(gè)位置，有

n-<Lm—X）=n—m+l（種）方法；

由乘法原理，從〃個(gè)不同元素中取出機(jī)個(gè)元素的排列數(shù)是

（n-1）-（n-2）--（n-m+1）,即g"Xn-m+1）,這里，m<n>且

等號右邊從〃開始，后面每個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小1,共有加個(gè)因數(shù)相乘。

二、排列數(shù)

一般地，對于機(jī)=〃的情況，排列數(shù)公式變?yōu)槎?321.

表示從〃個(gè)不同元素中取〃個(gè)元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù).這種〃個(gè)

排列全部取出的排列，叫做〃個(gè)不同元素的全排列.式子右邊是從〃開始，后面

每一個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小1,一直乘到1的乘積，記為加，讀做〃的階乘，則，

還可以寫為：P：：=n\,其中〃!=〃?(〃—1)6-2).-3-21.

【典例精講】

計(jì)算：⑴母;(2)P：一耳.

【答案】(1)20⑵630

【解析】由排歹!J數(shù)公式琛=〃(a-D(i-2)“.(〃一，+l)知:

(1)P；=5x4=20

(2)^=7x6x5x4=840,^=7x6x5=210,所以號-寫=84。一210=630

練習(xí)I)

計(jì)算：⑴母；(2)耳一睨.

【答案】⑴6⑵30

【解析】⑴廳=3x2=6(2)P1-P^=6x5x4-10x9=120-90=30.

有4個(gè)同學(xué)一起去郊游，照相時(shí)，必須有一名同學(xué)給其他3人拍照，共可能有多少種拍

照情況？（照相時(shí)3人站成一排）

【答案】24

【解析】由于4人中必須有一個(gè)人拍照，所以，每張照片只能有3人，可以看成有3個(gè)位置

由這3人來站.由于要選一人拍照，也就是要從四個(gè)人中選3人照相，所以，問題就轉(zhuǎn)化成

從四個(gè)人中選3人，排在3個(gè)位置中的排列問題.要計(jì)算的是有多少種排法.

由排列數(shù)公式，共可能有：6=4x3x2=24（種）不同的拍照情況.

也可以把照相的人看成一個(gè)位置，那么共可能有：^=4x3x2x1=24（種）不同的拍照情況.

￡習(xí)：

4名同學(xué)到照相館照相.他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法？

【答案】24

【解析】4個(gè)人到照相館照相，那么4個(gè)人要分坐在四個(gè)不同的位置上.所以這是一個(gè)從4

個(gè)元素中選4個(gè)，排成一列的問題.這時(shí)〃=4,根=4.

由排列數(shù)公式知，共有￡=4x3x2x1=24（種）不同的排法.

6名小朋友A、B、C、D、E、尸站成一排，若A,2兩人必須相鄰，一共有多少種不同

的站法？若A3兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？

【答案】A、B相鄰共240種;A、B不相鄰共480種

【解析】排列之捆綁法：若46兩人必須站在一起，那么可以用“捆綁”的思想考慮，甲

和乙兩個(gè)人占據(jù)一個(gè)位置，但在這個(gè)位置上，可以甲在左乙在右，也可以甲在右乙在左.因

此站法總數(shù)為P；x丹=2X120=240（種）

46兩個(gè)人不能相鄰與46兩個(gè)人必須相鄰是互補(bǔ)的事件，因?yàn)椴患尤魏螚l件的站法總數(shù)

為琮=720（種），所以46兩個(gè)人不能相鄰的站法總數(shù)為720-240=480（種）.

第習(xí)I）

將4B、aD、E、F、G七位同學(xué)在操場排成一列，其中學(xué)生方與C必須相鄰.請問共

有多少種不同的排列方法？

【答案】1440種

【解析】（法1）七人排成一列，其中3要與C相鄰，分兩種情況進(jìn)行考慮.

若3站在兩端，3有兩種選擇，C只有一種選擇，另五人的排列共有6種，所以

這種情況有2xlxW=240種不同的站法.若3站在中間，3有五種選擇，3無論

在中間何處，C都有兩種選擇.另五人的排列共有片種，所以這種情況共有

5x2x7^=1200種不同的站法.

所以共有240+1200=1440種不同的站法.

（法2）由于3與C必須相鄰，可以把3與C當(dāng)作一個(gè)整體來考慮，這樣相當(dāng)于6

個(gè)元素的全排列，另外注意3、C內(nèi)部有2種不同的站法，

所以共有2x16=1440種不同的站法.

（）

在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號.如

有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時(shí)升起表示一定的信號，問這樣總共可以

表示出多少種不同的信號？

【答案】6

【解析】方法一：這里三面不同顏色的旗子就是三個(gè)不同的元素，紅、黃、綠三面旗子按一

定順序的一個(gè)排法表示一種信號，也就是從三個(gè)元素中選三個(gè)的全排列的問題.

由排列數(shù)公式，共可以組成H=3x2xl=6（種）不同的信號.

方法二：首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個(gè)，有

3種方法；

其次，確定中間位置的旗子，當(dāng)最高位置確定之后，中間位置的旗子只能

從余下的兩面旗中去取，有2種方法.剩下那面旗子，放在最低位置.

根據(jù)乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時(shí)升起表示出所有信號種數(shù)是：

3x2xl=6（種）.

【補(bǔ)充說明】這個(gè)問題也可以用乘法原理來做，一般，乘法原理中與順序有關(guān)的問題常常可

以用排列數(shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問題時(shí)，可避免一步步地分析考慮，使

問題簡化.

t號習(xí)〕

有紅、黃、藍(lán)三種信號旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號，問共可

以組成多少種不同的信號？

【答案】6

【解析】廳=3x2=6.

【能力提升】

用2、3、5、7、9可以組成多少個(gè)沒重復(fù)數(shù)字且百位不為3的三位數(shù)？

【答案】48個(gè)

【解析】（法1）本題中要注意的是3不能放在百位，因此，百位上的數(shù)字只能從2、5、7、

9這四個(gè)數(shù)字中選擇一個(gè)，有4種方法；十位和個(gè)位上的數(shù)字可以從余下的4個(gè)數(shù)字中任選

兩個(gè)進(jìn)行排列，有母種方法.由乘法原理得，此種三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：4xK=48（個(gè)）.

（法2）：從2、3、5、7、9中任選三個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列，再減去其中不合要求的，

即百位是°的.從2、3、5、7、9這五個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為月3,其

中百位是3的三位數(shù)有廳個(gè).三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：

=5x4x3-4x3=48（個(gè)）

本題不是簡單的全排列，有一些其它的限制，這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況，要

么直接在排列的時(shí)候考慮這些限制因素.

【課后鞏固】

1.計(jì)算：用-用；

【答案】2002

【解析】P^-P^=14x13x12-14x13=2002

2.計(jì)算：3耳_耳

【答案】2154

【解析】3耳-4=3x（6x5x4x3x2）-3x2x1=2154.

3.有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號，問：共可以表示多

少種不同的信號？

【答案】60

【解析】這里五面不同顏色的小旗就是五個(gè)不同的元素，三面小旗表示一種信號，就是有三

個(gè)位置.我們的問題就是要從五個(gè)不同的元素中取三個(gè)，排在三個(gè)位置的問題.由于信號不

僅與旗子的顏色有關(guān)，而且與不同旗子所在的位置有關(guān)，所以是排列問題，且其中〃=5,

m=3.由排列數(shù)公式知，共可組成^=5x4x3=60（種）不同的信號.

4.由數(shù)字0,1,3,9可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位自然數(shù)？

【答案】18

【解析】（法1）本題中要注意的是。不能為首位數(shù)字，因此，百位上的數(shù)字只能從1,3,9

這三個(gè)數(shù)字中選擇一個(gè)，有3種方法；十位和個(gè)位上的數(shù)字可以從余下的3個(gè)數(shù)

字中任選兩個(gè)進(jìn)行排列，有片=3x2=6種方法.

（法2）：從°、1、3、9中任選三個(gè)數(shù)字進(jìn)行排列，再減去其中不合要求的，即首位是°的.從

°、1、3、9這五個(gè)數(shù)字中任選三個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為月，其中首位是°的三位數(shù)有哥個(gè).三

位數(shù)的個(gè)數(shù)是：6一年=4x3x2-3x2=18（個(gè)）.

本題不是簡單的全排列，有一些其它的限制，這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況，要

么直接在排列的時(shí)候考慮這些限制因素.

5.班集體中選出了5名班委，他們要分別擔(dān)任班長，學(xué)習(xí)委員、生活委員、宣傳委員和體育

委員.問：有多少種不同的分工方式？

【答案】120種

【解析】廳=120（種）.

6.由0,2,5,6,7,8組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個(gè)?

【答案】300

【解析】方法一：先考慮從六個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為皮=6x5x4x3=360,由

于。不能在千位

上，而以0為千位數(shù)的四位數(shù)有泛=5x4x3=60,它們的差就是由0,2,

5,6,7,8組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)，即為：360-60=300個(gè).

方法二：完成這件事一一組成一個(gè)四位數(shù)，可分為4個(gè)步驟進(jìn)行，

第一步：確定千位數(shù)；第二步：確定百位數(shù)；

第三步：確定十位數(shù)；第四步：確定個(gè)位數(shù)；

這四個(gè)步驟依次完成了，“組成一個(gè)四位數(shù)”這件事也就完成了，從而這

個(gè)四位數(shù)也完全確定了，思維過程如下：

千位百位十位個(gè)位

s第一步：珀定千位數(shù)第三步:均宜十位數(shù)

由十首位不能%團(tuán)為千位和石■也已從

\0,所以只能從2.5.口，2.5.6,7,8中

；6.7.8中任選一個(gè)用去2個(gè)歙牛.所以十位

\數(shù)豐,共點(diǎn)5時(shí)庭法.只筵從制下的敦豐中庭

擇，共有4種庭法.

?菖二步:地支百位數(shù)第四步：珀定個(gè)位數(shù)

內(nèi)十?dāng)?shù)半不允許重復(fù)使用，因?yàn)榍?百位和十

\所以千代周過的歙半百位不能再

位已從。,2,5.6.7,

:用，然而百位可以是0,所以在8中防古3個(gè)數(shù)豐,所以

：中古律千位個(gè)位只能從軻下眄教:豐中

■2?5.6.7.8

\用占附一個(gè)數(shù)半，百代共腐5林法:探,共?有3種咫法.

i選法.

根據(jù)乘法原理，所求的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是：5x5x4x3=300（個(gè)）.

7.一列往返于北京和上海方向的列車全程?？?4個(gè)車站（包括北京和上海），這條鐵路線共

需要多少種不同的車票.

【答案】182種

【解析】吊=14x13=182（種）.

8.4個(gè)男生2個(gè)女生6人站成一排合影留念，有多少種排法?

【答案】720

【解析】4男2女6人站成一排相當(dāng)于6個(gè)人站成一排的方法，可以分為六步來進(jìn)行，第一

步，確定第一個(gè)位置的人，有6種選擇；第二步，確定第二個(gè)位置的人，有5種選擇；第三

步，排列第三個(gè)位置的人，有4種選擇，依此類推，第六步，最后一個(gè)位置只有一種選擇.根

據(jù)乘法原理，一共有6x5x4x3x2x1=720種排法.

9.4男2女6個(gè)人站成一排合影留念，要求2個(gè)女的緊挨著有多少