山東省巨野縣2023年數(shù)學九年級上冊期末經(jīng)典試題含解析

山東省巨野縣2023年數(shù)學九上期末經(jīng)典試題

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.下列說法正確的是（）

A.了解飛行員視力的達標率應使用抽樣調查

B.一組數(shù)據(jù)3,6,6,7,9的中位數(shù)是6

C.從2000名學生中選200名學生進行抽樣調查，樣本容量為2000

D.一組數(shù)據(jù)1,2,3,4,5的方差是10

2.下列命題為假命題的是（）

A.直角都相等B.對頂角相等

C.同位角相等D.同角的余角相等

3.如圖，O是矩形ABCD對角線AC的中點，M是AD的中點，若BC=8,OB=5,則OM的長為（）

A.1B.2C.3D.4

4.已知關于x的方程好+以+。=0有一個根是-a（aWO）,貝!Ia-方的值為（）

A.a-h=lB.a-b=-1C.a-b=0D.a-b=±1

5.如圖，矩形ABCD中，AB=8,BC=1.點E在邊AB上，點F在邊CD上，點G、H在對角線AC上.若四邊形

EGFH是菱形，則AE的長是（）

A.275B.375C.5D.6

6.一元二次方程2/—3%-5=0的根的情況是（）

有兩個不相等實數(shù)根B.有兩個相等實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.無法確定

7.若反比例函數(shù)y=-的圖象上有兩點Pi（1,yi）和P2（2,y）,那么（）

x2

A.yi>yz>0B.yz>yi>0C.yiVy2VoD.yz<yi<0

8.已知拋物線y二如？+8x+c經(jīng)過點（T,w）,（-3,“），若X1,馬是關于工的一元二次方程辦？+法+。=0的兩個

根，且-4<$<-3,x2>0,則下列結論一定正確的是（）

m

A.m+n>0B.m-n<0C.m-n<0D.—>0

n

9.如圖,在同一直角坐標系中,正比例函數(shù)y=kx+3與反比例函數(shù)y=-的圖象位置可能是（）

X

10.分別以等邊三角形的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧，得到封閉圖形就是萊洛三角形，如圖，已知等邊AABC,

AB=2,則該萊洛三角形的面積為（）

2

A.2兀B.-7T-y/3C.2萬一3GD.2萬一2百

3

11.菱形具有而矩形不具有的性質是（）

A.對邊相等B.對角相等C.對角線互相平分D.對角線互相垂直

12.把拋物線.丫=-2/+4》+1的圖象繞著其頂點旋轉180。，所得拋物線函數(shù)關系式是（）

A.y=2x23-4x-lB.y=2x2-4x+5C.y=-2x2+4x-lD.y=-lx1-4x+5

二、填空題（每題4分，共24分）

13.若關于x的一元二次方程2x2-x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為.

14.一組數(shù)據(jù)6,2,-1,5的極差為.

15.如圖，將邊長為4的正方形A8CD沿其對角線AC剪開，再把AABC沿著方向平移，得到V49C,當兩個

三角形重疊部分的面積為3時，則AA'的長為.

17.某種商品的標價為400元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同，則該商品每次降

價的百分率為

18.已知一元二次方程/+攵一3=0有一個根為一2,則A的值為.

三、解答題（共78分）

19.（8分）在平面直角坐標系xOy中，對于點尸⑼和實數(shù)伙女＞0）,給出如下定義：當履+。＞0時，以點尸為圓

心，依+人為半徑的圓，稱為點P的人倍相關圓.

例如，在如圖1中，點P（l,l）的1倍相關圓為以點P為圓心，2為半徑的圓.

（1）在點在（2,1）,鳥（1,一3）中,存在1倍相關圓的點是.,該點的1倍相關圓半徑為

（2）如圖2,若M是x軸正半軸上的動點，點N在第一象限內，且滿足NMON=30°,判斷直線ON與點"的;

倍相關圓的位置關系，并證明.

（3）如圖3,已知點4（0,3）,8（1,加），反比例函數(shù)y=9的圖象經(jīng)過點8,直線/與直線AB關于＞軸對稱.

X

①若點C在直線/上，則點。的3倍相關圓的半徑為.

②點。在直線上，點。的;倍相關圓的半徑為R,若點。在運動過程中，以點。為圓心，為半徑的圓與反比

例函數(shù)丫=9的圖象最多有兩個公共點，直接寫出〃的最大值.

X

圖3

20.（8分）2019年第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會在烏鎮(zhèn)召開，小南和小西參加了某分會場的志愿服務工作，本次志愿服務工

作一共設置了三個崗位，分別是引導員、聯(lián)絡員和咨詢員.請你用畫樹狀圖或列表法求出小南和小西恰好被分配到同

一個崗位進行志愿服務的概率.

21.（8分）如圖，在心AABC中，ZACB=90，ZA=3O,以8為頂點在8C邊上方作菱形DBM,使點DE分

別在AB,BC邊上,另兩邊EF,DF分別交AC于點M,N,且點M恰好平分

（1）求證：DMLEF；

（2）請說明：MN?=NF-DN.

22.（10分）如圖，在正方形ABCD中，等邊AAEF的頂點E、F分別在BC和CD上.

（1）、求證：AABEgZ\ADF；

（2）、若等邊AAEF的周長為6,求正方形ABCD的邊長.

23.（10分）如圖，在長為10cm,寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的小正方形，使得留下的圖形（圖中陰影

部分）面積是原矩形面積的80%,求所截去小正方形的邊長.

24.（10分）甲、乙兩人用如圖所示的兩個轉盤（每個轉盤分別被分成面積相等的3個扇形）做游戲，游戲規(guī)則：甲

轉動A盤一次，乙轉動8盤一次，當轉盤停止后，指針所在區(qū)域的數(shù)字之和為偶數(shù)時甲獲勝；數(shù)字之和為奇數(shù)時乙獲

勝.若指針落在分界線上，則需要重新轉動轉盤.請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數(shù)和的所有可能的

結果；并求出甲獲勝的概率.

25.(12分)如圖，在△ABC中，CD±AB,DE±AC,DF±BC,垂足分別為D,E,F.

(1)求證：CE?CA=CF?CB；

(2)EF交CD于點O,求證：△COES/IFOD；

26.（閱讀材料）某校九年級數(shù)學課外興趣探究小組在學習完《第二十八章銳角三角函數(shù)》后，利用所學知識進行深度

探究，得到以下正確的等量關系式：

sin（a+4）=sina?cos（3+cosa?sin尸，sin（a-p）-sina-cos°-cosa?sin夕

cos（a+/?）=cosa-cos尸一sina?sin尸，cos（a-/7）=cosa-cos尸+sina?sin/3

,c、tan￡z+tanZ7,小tana-tanB

tan（?+/?）=---------------,tan?-p）=---------------,

1-tana-tan（31+tana-tan/3

（理解應用）請你利用以上信息求下列各式的值：（Dsin15°;（2）cos1050

（拓展應用）（3）為了求出海島上的山峰A3的高度，在。處和尸處樹立標桿CD和EF,標桿的高都是3丈，D,F

兩處相隔1000步（1步等于6尺），并且和所在同一平面內，在標桿CO的頂端。處測得山峰頂端A的仰

角75。，在標桿￡尸的頂端E處測得山峰頂端A的仰角30。，山峰的高度即AB的長是多少步？（結果保留整數(shù)）（參

考數(shù)據(jù)：V2?1.4,V3?1.7,V5?2.2,76?2.4）

參考答案

一、選擇題(每題4分，共48分)

1,B

【解析】選項A,了解飛行員視力的達標率應使用全面調查，此選項錯誤；

選項B,一組數(shù)據(jù)3,6,6,7,9的數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，故中位數(shù)是處于中間位置的數(shù)6,此選項正確；

選項C,從2000名學生中選200名學生進行抽樣調查，樣本容量應該是200,此選項錯誤；選項D,一組數(shù)據(jù)1,2,

3,4,5的平均數(shù)=；(1+2+3+4+5)=3,方差[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,此選項錯誤.

故答案選B.

2、C

【解析】根據(jù)直角、對頂角的概念、同位角的定義、余角的概念判斷.

【詳解】解：A、直角都相等，是真命題；

B、對頂角相等，是真命題；

C、兩直線平行，同位角相等，則同位角相等是假命題；

D、同角的余角相等，是真命題；

故選：C.

【點睛】

本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中

的性質定理.

3、C

【分析】由O是矩形ABCD對角線AC的中點，可求得AC的長，然后運用勾股定理求得AB、CD的長，又由M是

AD的中點，可得OM是△ACD的中位線，即可解答.

【詳解】解：是矩形ABCD對角線AC的中點，OB=5,

.*.AC=2OB=10,

CD=AB=7AC2-BC2=A/102-82=6，

???M是AD的中點，

/.OM=—CD=1.

2

故答案為C.

【點睛】

本題考查了矩形的性質、直角三角形的性質以及三角形中位線的性質，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

是解題的關鍵.

4、B

【分析】把*=-a代入方程得到一個二元二次方程，方程的兩邊都除以a,即可得出答案.

【詳解】把*=-a代入方程得：（-a）2-ab+a=O,

a2-ab+a=O,

Va^O,

工兩邊都除以a得：a-b+l=0,

即a-b=-1,

故選:B.

【點睛】

此題考查一元二次方程的解，是方程的解即可代入方程求其他未知數(shù)的值或是代數(shù)式的值.

5、C

【解析】試題分析：連接EF交AC于點M,由四邊形EGFH為菱形可得FM二EM,EF±AC；利用"AAS或ASA”

易證AFMC絲ZXEMA,根據(jù)全等三角形的性質可得AM=MC；在RtAABC中，由勾股定理求得AC=4j^，且

BC11/-EM1(-

tanZBAC=——=-；在RtAAME中，AM=—AC=245,tanZBAC=------=-可得EM=45;在RtAAME中,

AB22AM2

由勾股定理求得AE=2.故答案選C.

考點：菱形的性質：矩形的性質；勾股定理；銳角三角函數(shù).

6、A

【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式即可得出△=49>0,由此即可得出方程有兩個不相等的實數(shù)根.

【詳解】解：???在方程2f—3x—5=0中，A=(-3>-4倉必(-5)W9X),

A方程—3x-5=0有兩個不相等的實數(shù)根.

故選:A.

【點睛】

本題考查了根的判別式，熟練掌握“當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關鍵.

7、A

【詳解】???點Pi(byi)和P2(2,y2)在反比例函數(shù)v=」的圖象上，

X

y2=g，

?"?yi>y2>1.

故選A.

8、C

【分析】根據(jù)a的符號分類討論，分別畫出對應的圖象，然后通過圖象判斷m和n的符號，找到這兩種情況下都正確

的結論即可.

【詳解】解：當a>0時，如下圖所示，

由圖可知：當為<》<￡時，y<0;當或時，y>0

?:-4<<-3<0<x2

Am>0,n<0,

此時：加+〃不能確定其符號，故A不一定成立;

j篦一〃>0,故B錯誤；

m-n<0,故C正確；

rvi

-<o,故D錯誤.

n

當a<0時，如下圖所示，

由圖可知：當演<》<￡時，y>o；當XV*或時，y<0

?:—4<玉v—3VOV/

.?.mVO,n>0,

此時：機+〃不能確定其符號，故A不一定成立；

m-n<0,故B正確；

m?n<0,故C正確；

-<0,故D錯誤.

n

綜上所述：結論一定正確的是C.

故選C.

【點睛】

此題考查的是二次函數(shù)的圖象及性質，掌握二次函數(shù)的圖象及性質與二次項系數(shù)的關系、分類討論的數(shù)學思想和數(shù)形

結合的數(shù)學思想是解決此題的關鍵.

9,A

【解析】先根據(jù)一次函數(shù)的性質判斷出k取值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質判斷出k的取值，二者一致的即為正確答案.

【詳解】當k>0時，有丫=1?+3過一、二、三象限，反比例函數(shù)y=七的過一、三象限，A正確；

X

由函數(shù)y=kx+3過點（0,3）,可排除B、C；

當k<0時，y=kx+3過一、二、四象限，反比例函數(shù)y=A的過一、三象限，排除D.

x

故選A.

【點睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質和一次函數(shù)的圖象性質，關鍵是由k的取值確定函數(shù)所在的象限.

10、D

【分析】萊洛三角形的面積為三個扇形的面積相加，再減去兩個等邊三角形的面積，代入已知數(shù)據(jù)計算即可.

【詳解】解：如圖所示，作AD_LBC交BC于點D,

???△ABC是等邊三角形，

.*.AB=AC=BC=2,ZBAC=ZABC=ZACB=60°

VAD±BC,

.*.BD=CD=1,AD=百，

AS=-BC-AD=-x2xyf3=2yf3,

ABCC22

_60TTX22_2?

扇形MC-360F

...萊洛三角形的面積為3s扇形BAC—2SABC=3X了-26=24-20

故答案為D.

【點睛】

本題考查了不規(guī)則圖形的面積的求解，能夠得出“萊洛三角形的面積為三個扇形的面積相加，再減去兩個等邊三角形

的面積”是解題的關鍵.

11、D

【分析】根據(jù)菱形和矩形都是平行四邊形，都具備平行四邊形性質，再結合菱形及矩形的性質，對各選項進行判斷即

可.

【詳解】解：因為菱形和矩形都是平行四邊形，都具備平行四邊形性質，即對邊平行而且相等，對角相等，對角線互

相平分.

A、對邊平行且相等是菱形矩形都具有的性質，故此選項錯誤；

8、對角相等是菱形矩形都具有的性質，故此選項錯誤；

C、對角線互相平分是菱形矩形都具有的性質，故此選項錯誤；

。、對角線互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性質，故此選項正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查了平行四邊形、矩形及菱形的性質，屬于基礎知識考查題，同學們需要掌握常見幾種特殊圖形的性質及特點.

12、B

【分析】根據(jù)圖象繞頂點旋轉180。，可得函數(shù)圖象開口方向相反，頂點坐標相同，可得答案.

［詳解］y=-2x2+4x+l

=-2(f—2x+l—1)+1

=—2(x—1)~+3)

.?.該拋物線的頂點坐標是(1,3),

...在旋轉之后的拋物線解析式為：

y=2(x-l)2+3=2x2-4x+5.

故選:B.

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象的平移和旋轉，解決本題的關鍵是理解繞拋物線的頂點旋轉180°得到新函數(shù)的二次項的系

數(shù)符號改變，頂點不變.

二、填空題(每題4分，共24分)

1

13、—

8

【解析】根據(jù)“關于X的一元二次方程2x2-x+m=0有兩個相等的實數(shù)根”，結合根的判別式公式，得到關于m的一元一

次方程，解之即可.

【詳解】根據(jù)題意得：

△=l-4x2m=0,

整理得：l-8m=0,

解得：m=-,

8

故答案為：—.

O

【點睛】

本題考查了根的判別式，正確掌握根的判別式公式是解題的關鍵.

14、7

【解析】根據(jù)極差的定義，一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差為極差，所以這組數(shù)據(jù)的極差是7,故答案為:7.

15、1或1

【分析】設AC、A"交于點E,DC、AC交于點F,且設=則4石=加'=x,4〃=4一x,列出方

程即可解決問題.

【詳解】設AC、A9交于點E,DC,AC'交于點F,且設A4'=x,則，夕=AA'=x,A'D=4-x，

重疊部分的面積為x(4-x),

由x(4-x)=3,

解得x=l或1.

即A4'=l或1.

故答案是1或1.

【點睛】

本題考查了平移的性質、菱形的判定和正方形的性質綜合，準確分析題意是解題的關鍵.

16>x(x-2)

【分析】提取公因式X,整理即可.

【詳解】解:X2-2x=x(x-2).

故答案為：x(x-2).

【點睛】

本題考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式.

17、10%

【解析】設該種商品每次降價的百分率為X%,根據(jù)“兩次降價后的售價=原價x(L降價百分比)的平方”，即可得出

關于x的一元二次方程，解方程即可得出結論.

【詳解】設該種商品每次降價的百分率為X%,

依題意得：400X(1-X%)2=324,

解得：x=得,或x=190(舍去).

答：該種商品每次降價的百分率為10%.

故答案為：10%

【點睛】

本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是根據(jù)數(shù)量關系得出關于x的一元二次方程.

18、-1

【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義，即可求解.

【詳解】???一元二次方程》2+k—3=0有一個根為-2,

(-2)2+k-3=0,解得:k=-l,

故答案是：-1.

【點睛】

本題主要考查一元二次方程方程根的定義，掌握一元二次方程根的定義，是解題的關鍵.

三、解答題(共78分)

19、(1)解：耳，3(2)解：直線ON與點M的J倍相關圓的位置關系是相切.(3)①點C的3倍相關圓的半徑是

3；②〃的最大值是土叵.

10

【分析】(1)根據(jù)點尸的攵倍相關圓的定義即可判斷出答案；

(2)設點”的坐標為(無,0),求得點M的!倍相關圓半徑為‘X,再比較與點M到直線直線ON的距離即可判斷;

22

(3)①先求得直線/的解析式，

【詳解】(1)4(2,1)的1倍相關圓，半徑為：lx2+l=3,

6(1,—3)的1倍相關圓，半徑為：1x1-3=—2,不符合，

故答案為：々，3；

(2)解：直線ON與點"的1倍相關圓的位置關系是相切，

證明：設點"的坐標為(X,O),過/點作MP_LON于點P,

：.OM=x,

,：AMON=30°,MPLON,

...點”的;倍相關圓半徑為MP,

直線ON與點M的!倍相關圓相切，

2

(3)①???反比例函數(shù)V=9的圖象經(jīng)過點8,

X

:?m=—=6,

1

...點B的坐標為：(1,6),

,??直線經(jīng)過點A(o,3)和3(1,6),

設直線AB的解析式為y=kx+3,

把3(1,6)代入得：k=T,

???直線A8的解析式為：y=x+3,

■:直線/與直線AB關于y軸對稱，

直線/的解析式為：y=-x+3,

?.?點C在直線/上，

設點C的坐標為：(。,一3。+3),

.?.點C的3倍相關圓的半徑是：3a+(-3a+3)=3,

故點C的3倍相關圓的半徑是3；

②〃的最大值是題.

10

【點睛】

本題是圓的綜合題，主要考查了新定義，理解和應用新定義解決問題，點和圓的位置關系、直線和圓的位置關系，還

涉及到平面坐標系內，一次函數(shù)的性質，反比例函數(shù)的性質，兩點間的距離公式，解題的關鍵是靈活運用所學知識解

決問題，熟練掌握待定系數(shù)法，屬于中考壓軸題.

1

20、-

3

【分析】分別用字母A,B,C代替引導員、聯(lián)絡員和咨詢員崗位，利用列表法求出所有等可能結果，再根據(jù)概率公式

求解可得.

【詳解】分別用字母A,B,C代替引導員、聯(lián)絡員和咨詢員崗位，用列表法列舉所有可能出現(xiàn)的結果：

小西

ABc

小南

A(A,A)(A,B)(A,C)

B(B,A)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(C,C)

由表中可以看出，所有可能的結果有9種，并且這9種結果出現(xiàn)的可能性相等，所有可能的結果中，小南和小西恰好

被分配到同一個崗位的結果有3種，即AA,BB,CC,

31

.?.小南和小西恰好被分配到同一個崗位進行志愿服務的概率.

【點睛】

考查隨機事件發(fā)生的概率，關鍵是用列表法或樹狀圖表示出所有等可能出現(xiàn)的結果數(shù)，用列表法或樹狀圖的前提是必

須使每一種情況發(fā)生的可能性是均等的.

21、(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(D根據(jù)四邊形。8石廠是菱形，得到。歹=所，又NF=NB=60

推出OE=OF,又點M恰好平分M,三線合一,DM±EF

(2)可證=再證ADNM^MNF,從而求得

【詳解】證明：

(1)連接OE,

VZACB=9Q，ZA=30,

；?N8=ZACB—ZA=90-30=60.

???四邊形。龐萬是菱形，

AEF//AB,DF=EF,NF=NB=60

:.ADEF是等邊三角形.

是所的中點，

ADM±EF

(2)VDMA.EF,

二ZDMF=90.

二ZMDE=90-ZF=30.

VEF//AB,

二NNMF=ZA=3D.

二4MDE=4NMF=30.

AZNMF=ZA=30.

：.ZDMN=ZF.

M)NMAMNF.

?_M__N___D__N_

,?而一訴.

MN2=NF-DN.

【點睛】

本題考查了菱形的性質、三線合一以及相似三角形的性質.

22、（1）證明見解析；（2）叵!巫.

2

【解析】試題分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB=AD,NB=ND=90。，再根據(jù)△AEF是等邊三角形，

得出AE=AF,最后根據(jù)HL即可證出4ABE^AADF；

（2）根據(jù)等邊4AEF的周長是6,得出AE=EF=AF的長，再根據(jù)（1）的證明得出CE=CF,ZC=90°,從而得出AECF

是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理得出EC的值，設BE=x,貝!]AB=x+0,在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,求出

x的值，即可得出正方形ABCD的邊長.

試題解析：（1）證明：,??四邊形ABCD是正方形，

.*.AB=AD,

???△AEF是等邊三角形，

，AE=AF,

在RtAABE和RtAADF中，

VAB=AD,AE=AF

ARtAABE^RtAADF；

（2）;等邊△AEF的周長是6,

/.AE=EF=AF=2,

XVRtAABE^RtAADF,

ABE=DF,

/.CE=CF,ZC=90°,

即AECF是等腰直角三角形，

由勾股定理得CE2+CF2=EF2,

/.EC=V2，

設BE=x,貝！jAB=x+0,

在RtAABE中，AB2+BE2=AE2,即（x+/）2+x2=4,

—

Agzs-A/2+>/65/2—>/6,仝土、

解得X尸----------或X2=---------------（舍去），

22

...AB=。捶.+0=&+#,

22

二正方形ABCD的邊長為也+的.

2

考點：1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質;

23、截去的小正方形的邊長為2cm.

【分析】由等量關系：矩形面積-四個全等的小正方形面積=矩形面積x80%,列方程即可求解

【詳解】設小正方形的邊長為xcm,由題意得

10x8-1X2=80%X10X8,

80-1x2=61,

叱=16,

解得：X1=2,X2=-2,

經(jīng)檢驗a=2符合題意，X2=-2不符合題意，舍去;

所以x=2.

答：截去的小正方形的邊長為2cm.

24、見解析，,

9

【分析】先列表或畫出樹狀圖，再根據(jù)表格或樹狀圖得出所有可能出現(xiàn)的結果，然后找出結果為偶數(shù)的，利用概率公

式計算即可.

【詳解】由題意，列表或樹狀圖表示所有可能如下所示:

"甲■□ihflun和

Ld(1.))4

二4<1.4)3

(L$>6

r-i□?y(2,$

開的?一2一4(2>4)6

(2.S)

■】7

7《3?)).

.44)7

□□<1.4)*

由此可知，共有9種可能的結果，每一種可能性相同，其中和為偶數(shù)的結果有5種

所以甲獲勝的概率為，.

9

【點睛】

本題考查了利用列舉法求概率，依據(jù)題意，正確列出表格或畫出樹狀圖是解題關鍵.

25、(1)證明見解析；(2)證明見解析

【分析】(1)本題首先根據(jù)垂直性質以及公共角分別求證△CEDsaCDA,ACDF-ACBD,繼而以CD?為中間變

量進行等量替換證明本題.

(2)本題以第一問結論為前提證明△CEFs^CBA,繼而根據(jù)垂直性質證明NOFD=ZECO,最后利用“角角”判定

證明相似.

【詳解】(D由已知得：NCED=NCDA=90。，ZECD=ZDCA,

.,.△CED^ACDA,

CECD,

—=—,即anCD2=CE?CA,

CDCA

又,.?NCFD=