備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)精講精練第三講 特殊三角形及其性質(zhì)(含解直角三角形)（考點(diǎn)精析+真題精講）（含答案與解析）

第第頁(yè)【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】第3講特殊三角形及其性質(zhì)→?考點(diǎn)精析←→?真題精講←考向一直角三角形考向二等腰三角形第3講特殊三角形及其性質(zhì)→?考點(diǎn)精析←一、等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．1．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸．2．等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．4．等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則<a．5．等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．二、等邊三角形1．定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．2．性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．3．判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．4．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．5．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸．6．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．三、直角三角形與勾股定理1．直角三角形定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余；（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．判定：（1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．→?真題精講←題型一直角三角形1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)．若點(diǎn)在邊上，且，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或22.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若∠B=30°，BD=6，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．3.（2023·云南初二月考）直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為cm和cm，則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_________.4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國(guó)民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長(zhǎng)為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_________．

5．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）矩形中，M為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上，且．當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．6．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，G，H分別為，的中點(diǎn)），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___________，最大值為_(kāi)__________________．

7．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖①．在矩形．，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，連續(xù)．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（）

(1)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，線段的長(zhǎng)為_(kāi)_________；(2)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求；(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對(duì)稱四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．題型二等腰三角形8.下列推理中，錯(cuò)誤的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形9.（2023·四川省武勝縣萬(wàn)善初級(jí)中學(xué)初二月考）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為A．40°，100° B．70°，70° C．60°，80° D．40°，100°或70°，70°10.（2023·延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二期末）如圖，在中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是A．ADBC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC11．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線與交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線段上，動(dòng)點(diǎn)N在直線上，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_______

12.（2023·山東初二期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C=60°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，若BE=1，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．13．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)到，使，連接．若，則________________．（結(jié)果保留根號(hào)）

14．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫(xiě)出的大小，并證明．15．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．17．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等邊中，于點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），連接，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接交于點(diǎn)，連接，，與所在直線交于點(diǎn)，求證：；(3)如圖3，連接交于點(diǎn)，連接，，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，將沿所在直線翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，．若，直接寫(xiě)出的最小值．

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3講特殊三角形及其性質(zhì)№考向解讀第3講特殊三角形及其性質(zhì)№考向解讀?考點(diǎn)精析?真題精講?題型突破?專題精練第四章三角形第3講特殊三角形及其性質(zhì)→?考點(diǎn)精析←→?真題精講←考向一直角三角形考向二等腰三角形第3講特殊三角形及其性質(zhì)→?考點(diǎn)精析←一、等腰三角形1．等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．1．等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它有1條或3條對(duì)稱軸．2．等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°．3．等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．4．等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則<a．5．等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=．二、等邊三角形1．定義：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．2．性質(zhì)：等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．3．判定：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．4．等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì)．5．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸．6．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．三、直角三角形與勾股定理1．直角三角形定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．性質(zhì)：（1）直角三角形兩銳角互余；（2）在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；（3）在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．判定：（1）兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．2．勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．→?真題精講←題型一直角三角形1．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)．若點(diǎn)在邊上，且，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，①當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，如圖，

∴，②當(dāng)點(diǎn)E為的四等分點(diǎn)時(shí)，如圖所示：

∴，綜上所述：或2；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若∠B=30°，BD=6，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】3【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°．又AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD=6，∴CD=AD=3，故答案為：3．3.（2023·云南初二月考）直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為cm和cm，則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)_________.【答案】cm【解析】∵直角邊長(zhǎng)為:cm和cm，∴斜邊=（cm），∴周長(zhǎng)=（cm）.故答案為:cm【名師點(diǎn)睛】本題考查了二次根式與三角形邊長(zhǎng)，面積的綜合運(yùn)用.熟練掌握勾股定理的計(jì)算解出斜邊是關(guān)鍵4．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）七巧板是我國(guó)民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學(xué)用邊長(zhǎng)為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個(gè)等腰直角三角形，1個(gè)正方形和1個(gè)平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_________．

【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，以及七巧板的特點(diǎn)，求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

依題意，，∴圖中陰影部分的面積為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）矩形中，M為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上，且．當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】2或【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別進(jìn)行討論求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，

∵四邊形矩形，∴，則，由平行線分線段成比例可得：，又∵M(jìn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∴，即：，∴，當(dāng)時(shí)，

∵M(jìn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，∴為的垂直平分線，∴，∵四邊形矩形，∴，則，∴∴，綜上，的長(zhǎng)為2或，故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質(zhì)等，畫(huà)出草圖進(jìn)行分類討論是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明將一張斜邊為4的等腰直角三角形硬紙片剪切成如圖所示的四塊（其中D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，G，H分別為，的中點(diǎn)），小明將這四塊紙片重新組合拼成四邊形（相互不重疊，不留空隙），則所能拼成的四邊形中周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___________，最大值為_(kāi)__________________．

【答案】8【分析】根據(jù)題意，可固定四邊形，平移或旋轉(zhuǎn)其它圖形，組合成四邊形，求出周長(zhǎng)，判斷最小值，最大值．【詳解】

如圖1，，，∴四邊形周長(zhǎng)=；

如圖2，∴四邊形周長(zhǎng)為；故答案為：最小值為8，最大值.【點(diǎn)睛】本題考查圖形變換及勾股定理，通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)組成滿足要求的四邊形是解題的關(guān)鍵．7．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖①．在矩形．，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，連續(xù)．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（）

(1)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，線段的長(zhǎng)為_(kāi)_________；(2)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求；(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對(duì)稱四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)見(jiàn)解析(4)或或【分析】（1）證明四邊形是矩形，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．（2）證明，得出；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明得出，即可得出結(jié)論（4）分三種情況討論，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，③當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)與點(diǎn)重合，則是正方形，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，

∵四邊形是矩形∴∵，∴四邊形是矩形，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，∴，在中，，故答案為：．（2）如圖所示，

∵，，∴，∴∴，∴，∵，，∴；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，則四邊形是矩形，∴又∵∴，∴∴∴是等腰直角三角形；（4）①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，

∵，在中，，則，∵，則，，在中，，∴解得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在矩形內(nèi)部，符合題意，∴符合題意，②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，

則，，在中，，解得：，③當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)與點(diǎn)重合，則是正方形，此時(shí)

綜上所述，或或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，求正切，軸對(duì)稱的性質(zhì)，分類討論，分別畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．題型二等腰三角形8.下列推理中，錯(cuò)誤的是A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形【答案】B【解析】A，∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等邊三角形，故正確；B，條件重復(fù)且條件不足，故不正確；C，∵∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等邊三角形60°，故正確；D，根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可以得到，故正確．故選B．9.（2023·四川省武勝縣萬(wàn)善初級(jí)中學(xué)初二月考）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為40°，則其余兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為A．40°，100° B．70°，70° C．60°，80° D．40°，100°或70°，70°【答案】D【解析】①若等腰三角形的頂角為40°時(shí)，另外兩個(gè)內(nèi)角=（180°–40°）÷2=70°；②若等腰三角形的底角為40°時(shí)，它的另外一個(gè)底角為40°，頂角為180°–40°–40°=100°．所以另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為：40°、100°或70°、70°．故選D．【名師點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和為180o，解題關(guān)鍵是分情況進(jìn)行討論①已知角為頂角時(shí)；②已知角為底角時(shí)．10.（2023·延安市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二期末）如圖，在中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是A．ADBC B．∠B=∠CC．AB=2BD D．AD平分∠BAC【答案】C【解析】因?yàn)椤鰽BC中，AB=AC，D是BC中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，A．AD⊥BC，故A選項(xiàng)正確；B．∠B=∠C，故B選項(xiàng)正確；C．無(wú)法得到AB=2BD，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．AD平分∠BAC，故D選項(xiàng)正確．故選C．【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題關(guān)鍵熟練運(yùn)用等腰三角形的三線合一性質(zhì).11．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、點(diǎn)A，直線與交于點(diǎn)D．與y軸交于點(diǎn)E．動(dòng)點(diǎn)M在線段上，動(dòng)點(diǎn)N在直線上，若是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為_(kāi)_______

【答案】或【分析】如圖，由是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，可得在以為直徑的圓上，，可得是圓與直線的交點(diǎn)，當(dāng)重合時(shí)，符合題意，可得，當(dāng)N在的上方時(shí)，如圖，過(guò)作軸于，延長(zhǎng)交于，則，，證明，設(shè)，可得，，而，則，再解方程可得答案．【詳解】解：如圖，∵是以點(diǎn)N為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴在以為直徑的圓上，，∴是圓與直線的交點(diǎn)，

當(dāng)重合時(shí)，∵，則，∴，符合題意，∴，當(dāng)N在的上方時(shí)，如圖，過(guò)作軸于，延長(zhǎng)交于，則，，∴，

∵，，∴，∴，∴，設(shè)，∴，，而，∴，解得：，則，∴，∴；綜上：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，本題屬于填空題里面的壓軸題，難度較大，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．12.（2023·山東初二期末）如圖，在△ABC中，∠B=∠C=60°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥BC于E，若BE=1，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】4【解析】∵DE⊥BC，∠B=∠C=60°，∴∠BDE=30°，∴BD=2BE=2，∵點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AC=AB=4，故答案為：4．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用直角三角形的性質(zhì)求得AB=2BD是解題的關(guān)鍵.13．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，．過(guò)點(diǎn)作，延長(zhǎng)到，使，連接．若，則________________．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】/【分析】如圖，過(guò)作于，設(shè)，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，

設(shè)，∵，，∴，∵，∴，，為等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．14．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫(xiě)出的大小，并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長(zhǎng)到H使，連接，，可得是的中位線，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點(diǎn)；（2）；證明：如圖2，延長(zhǎng)到H使，連接，，∵，∴是的中位線，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設(shè)，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖①，和是等邊三角形，連接，點(diǎn)F，G，H分別是和的中點(diǎn)，連接．易證：．若和都是等腰直角三角形，且，如圖②：若和都是等腰三角形，且，如圖③：其他條件不變，判斷和之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想，并利用圖②或圖③進(jìn)行證明．

【答案】圖②中，圖③中，證明見(jiàn)解析【分析】圖②：如圖②所示，連接，先由三角形中位線定理得到，，再證明得到，則，進(jìn)一步證明，即可證明是等腰直角三角形，則；圖③：仿照?qǐng)D②證明是等邊三角形，則．【詳解】解：圖②中，圖③中，圖②證明如下：如圖②所示，連接，∵點(diǎn)F，G分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴；

圖③證明如下：如圖③所示，連接，∵點(diǎn)F，G分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，同理可得，∵和都是等腰三角形，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①，證明過(guò)程略；②當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，(3)【分析】（1）連接，當(dāng)時(shí)，，即，證明，從而得到即可解答；（2）①過(guò)的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)，可得是等腰直角三角形，，根據(jù)（1）中結(jié)論可得，再根據(jù)，，即可得到；②分類討論，即當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，畫(huà)出圖形，根據(jù)①中的原理即可解答；（3）如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，可得的軌跡長(zhǎng)度即為的長(zhǎng)度，可利用建系的方法表示出的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)公式求出，最后利用勾股定理即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

當(dāng)時(shí)，，即，，，，,，，即，，，在與中，，，，；（2）①證明：如圖，過(guò)的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，即，是的中點(diǎn)，，，，，，，是等腰直角三角形，且，，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，；故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；②解：當(dāng)點(diǎn)F在射線上時(shí)，如圖，在上取一點(diǎn)使得，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

同①，可得，，，，，同①可得，，即線段之間數(shù)量關(guān)系為；當(dāng)點(diǎn)F在延長(zhǎng)線上時(shí)，如