備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)考點精講精練第四講 全等、相似三角形（題型突破+專題精練）（含答案與解析）

第第頁→?題型突破←→?專題訓(xùn)練←題型一全等三角形1.如圖，等腰△ABC中，點D，E分別在腰AB，AC上，添加下列條件，不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC2.如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結(jié)論：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）個．A．4 B．3 C．2 D．13.如圖所示，均為等邊三角形，邊長分別為，B、C、D三點在同一條直線上，則下列結(jié)論正確的________________．（填序號）①②③為等邊三角形④⑤CM平分4.如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，將∠A向內(nèi)翻析，點A落在BC上，記為A1，折痕為DE．若將∠B沿EA1向內(nèi)翻折，點B恰好落在DE上，記為B1，則AB＝_____．5.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，則點的坐標為_____________．

6.已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長的取值范圍是________

7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分線，交BC于點E；(要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)（2）在（1）的條件下，連接DE，證明．8.如圖，中，，點在邊上，．求證．9.如圖，點D、E分別是AB、AC的中點，BE、CD相交于點O，∠B＝∠C，BD＝CE．求證：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．10.如圖，點E、F在線段BC上，，，，證明：．11.如圖，矩形中為邊上一點，將沿AE翻折后，點B恰好落在對角線的中點F上．（1）證明：；（2）若，求折痕的長度12.如圖，點A，D，B，E在一條直線上，，．求證：．13.如圖，在矩形中，點在上，，且，垂足為．（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積．14.如圖，在中，點在邊上，，將邊繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接與交于點，且，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．15.在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD．

（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求證：AD＋AB＝AC；（拓展遷移）（2）如圖②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC＝10，求四邊形ABCD的面積．16.已知等邊三角形，過A點作的垂線l，點P為l上一動點（不與點A重合），連接，把線段繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連．

（1）如圖1，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當點P、B在同側(cè)且時，求證：直線垂直平分線段；（3）如圖3，若等邊三角形的邊長為4，點P、B分別位于直線異側(cè)，且的面積等于，求線段的長度．17.如圖①，是等腰的斜邊上的兩動點，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖②，作，垂足為H，設(shè)，不妨設(shè)，請利用（2）的結(jié)論證明：當時，成立．題型二相似三角形18.如圖，與位似，位似中心是點O，若，則與的周長比是（）A． B． C． D．19.如圖，ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且，下列結(jié)論正確的是（）A．DE：BC＝1：2B．ADE與ABC的面積比為1：3C．ADE與ABC的周長比為1：2D．DEBC20.如圖，在中，，，，且，若，點是線段上的動點，則的最小值是（）A． B． C． D．21.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分線CD交AB于點D，則點D是線段AB的黃金分割點．若AC＝2，則BD＝______．22.如圖，矩形中，，，對角線的垂直平分線交于點、交于點，則線段的長為__．23.如圖，在菱形中，點M，N分別是邊，上的點，，．連接，，延長交線段延長線于點E．（1）求證：；（2）若，則的長是__________．24.已知，，．（1）找出與相等的角并證明；（2）求證：；（3），，求．25.已知在ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將AOC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長．26.在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝，D為線段AB上的動點，連接DC，將DC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)得到DE，連接CE，BE．（1）如圖1，當＝60°時，求證：△CAD≌△CBE；（2）如圖2，當tanα＝時，①探究AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC＝5，H是BC上一點，在點D移動過程中，CE＋EH是否存在最小值？若存在，請直接寫出CE＋EH的最小值；若不存在，請說明理由．

→?題型突破←→?專題訓(xùn)練←題型一全等三角形1.如圖，等腰△ABC中，點D，E分別在腰AB，AC上，添加下列條件，不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，然后根據(jù)全等三角形的判定方法對各選項進行判斷．【解析】∵△ABC為等腰三角形，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，∴當AD＝AE時，則根據(jù)“SAS”可判斷△ABE≌△ACD；當∠AEB＝∠ADC，則根據(jù)“AAS”可判斷△ABE≌△ACD；當∠DCB＝∠EBC，則∠ABE＝∠ACD，根據(jù)“ASA”可判斷△ABE≌△ACD．故選：B．2.如圖，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結(jié)論：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）個．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】由SAS證明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正確；由全等三角形的性質(zhì)得出∠OCA＝∠ODB，由三角形的外角性質(zhì)得：∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，①正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示：則∠OGA＝∠OHB＝90°，由AAS證明△OGA≌△OHB（AAS），得出OG＝OH，由角平分線的判定方法得出OM平分∠AMD，④正確；假設(shè)OM平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△OMD，得AO＝OD，而OC＝OD，所以O(shè)A＝OC，而OA＜OC，故③錯誤；即可得出結(jié)論．【解析】∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，OA=OB∠AOC=∠BOD∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正確；∵∠OCA＝∠ODB，由三角形的外角性質(zhì)得：∠CMD+∠OCA＝∠COD+∠ODB，得出∠CMD＝∠COD＝36°，∠AMB＝∠CMD＝36°，故①正確；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如圖所示，則∠OGA＝∠OHB＝90°，在△OGA和△OHB中，∵∠OGA=∠OHB=90°∠OAG=∠OBH∴△OGA≌△OHB（AAS），∴OG＝OH，∴OM平分∠AMD，故④正確；假設(shè)OM平分∠AOD，則∠DOM＝∠AOM，在△AMO與△DMO中，∠AOM=∠DOMOM=OM∴△AMO≌△OMD（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③錯誤；正確的個數(shù)有3個；故選：B．3.如圖所示，均為等邊三角形，邊長分別為，B、C、D三點在同一條直線上，則下列結(jié)論正確的________________．（填序號）①②③為等邊三角形④⑤CM平分【答案】①②③⑤【解析】【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，則∠ACE＝60°，利用“SAS”可判斷△ACD≌△BCE，則AD＝BE；②過E作,根據(jù)等邊三角形求出ED、CN的長，即可求出BE的長；③由等邊三角形的判定得出△CMN是等邊三角形；④證明△DMC∽△DBA，求出CM長；⑤證明M、F、C、G四點共圓，由圓周角定理得出∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，得出∠BMC＝∠DMC，所以CM平分∠BMD.【詳解】解：連接MC，F(xiàn)G，過點E作EN⊥BD，垂足為N，①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE＝120°，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；①正確；②∵△CDE都是等邊三角形，且邊長為3cm.∴CN=cm，EN=cm.∵BC=5cm.∴，②正確；③∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，在△ACG和△BCF中，∴△ACG≌△BCF（ASA），∴CG＝CF而∠GCF＝60°，∴△CMN是等邊三角形，③正確；⑤∵∠EMD＝∠MBD＋∠MDB＝∠MAC＋∠MDB＝60°＝∠FCG，∴M、F、C、G四點共圓，∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，∴∠BMC＝∠DMC，∴CM平分∠BMD，⑤正確；④∵∠DMC=∠ABD，∠MDC=∠BDA∴△DMC∽△DBA∴∴∴CM=.④錯誤.故答案為：①②③⑤.【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．4.如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，將∠A向內(nèi)翻析，點A落在BC上，記為A1，折痕為DE．若將∠B沿EA1向內(nèi)翻折，點B恰好落在DE上，記為B1，則AB＝_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)△A1DB1≌△A1DC（AAS），即可得出A1C＝A1B1，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，即可得到A1C＝BC＝2，最后依據(jù)勾股定理進行計算，即可得到CD的長，即AB的長．【詳解】解：由折疊可得，A1D＝AD＝4，∠A＝∠EA1D＝90°，∠BA1E＝∠B1A1E，BA1＝B1A1，∠B＝∠A1B1E＝90°，∴∠EA1B1+∠DA1B1＝90°＝∠BA1E+∠CA1D，∴∠DA1B1＝∠CA1D，又∵∠C＝∠A1B1D，A1D＝A1D，∴△A1DB1≌△A1DC（AAS），∴A1C＝A1B1，∴BA1＝A1C＝BC＝2，∴Rt△A1CD中，CD＝＝，∴AB＝.故答案為：．【點睛】本題考查矩形與折疊，準確判斷合適的全等三角形求出A1C＝BC＝2是解題的關(guān)鍵.5.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，將點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，則點的坐標為_____________．

【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，易證明，求出OE、BE的長即可求出B的坐標．【詳解】解：如圖所示，點繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，過點A作x軸垂線，垂足為D，過點B作x軸垂線，垂足為E，

∵點的坐標為，點的坐標為，∴CD=2，AD=3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，AC=BC，∵，∴，∵，∴，∴，∴AD=CE=3，CD=BE=2，∴OE=2，BE=2，故答案為：．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)變換和三角形全等的判定與性質(zhì)，證明是解題關(guān)鍵．6.已知，如圖1，若是中的內(nèi)角平分線，通過證明可得，同理，若是中的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在中，是的內(nèi)角平分線，則的邊上的中線長的取值范圍是________

【答案】【分析】根據(jù)題意得到，反向延長中線至，使得，連接，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解題．【詳解】如圖，反向延長中線至，使得，連接，是的內(nèi)角平分線，由三角形三邊關(guān)系可知，故答案為：．

【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．7.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分線，交BC于點E；(要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)（2）在（1）的條件下，連接DE，證明．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）首先以A為圓心，小于AC長為半徑畫弧，交AC、AB于N、M，再分別以N、M為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點Q，再畫射線AQ交CB于E；（2）依據(jù)證明得到，進一步可得結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，為所作的平分線；（2）證明：如圖．連接DE，由(1)知：在和中∵∴，∴又∵∴，∴【點睛】此題主要考查了基本作圖，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是得到．8.如圖，中，，點在邊上，．求證．【答案】證明見解析．【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段的和差可得，然后根據(jù)三角形的判定與性質(zhì)即可得證．【詳解】，，，，即，在和中，，，，即．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，熟練掌握三角形全等的判定定理與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9.如圖，點D、E分別是AB、AC的中點，BE、CD相交于點O，∠B＝∠C，BD＝CE．求證：（1）OD＝OE；（2）△ABE≌△ACD．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE可以用“AAS”證明△DOB≌△EOC，再由全等三角形的性質(zhì)，即可得到OD=OE；(2)根據(jù)D、E分別是AB、AC的中點，可以得到AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC，再根據(jù)BD=CE，即可得到AB=AC，AD=AE，再由∠A=∠A即可用“SAS”證明兩個三角形全等.【詳解】解：(1)∵∠B=∠C，∠DOB=∠EOC，BD=CE∴△DOB≌△EOC（AAS）∴OD=OE；(2)∵D、E分別是AB、AC的中點∴AB=2BD，AC=2CE，AD=BD，AE=EC又∵BD=CE∴AB=AC，AD=AE∵∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（SAS）【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.10.如圖，點E、F在線段BC上，，，，證明：．【答案】見解析【分析】利用AAS證明△ABE≌△DCF，即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴∠B=∠C，∵，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴．【點睛】此題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．11.如圖，矩形中為邊上一點，將沿AE翻折后，點B恰好落在對角線的中點F上．（1）證明：；（2）若，求折痕的長度【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由折疊的性質(zhì)證明再證明從而可得結(jié)論；（2）利用折疊與三角形全等的性質(zhì)求解再利用的余弦求解即可.【詳解】解：（1）矩形，由對折可得：為的中點，（2），由折疊可得：【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，靈活應(yīng)用以上知識解題是解題的關(guān)鍵.12.如圖，點A，D，B，E在一條直線上，，．求證：．【答案】見詳解【分析】由題意易得，進而易證，然后問題可求證．【詳解】證明：∵，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．13.如圖，在矩形中，點在上，，且，垂足為．（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1）見詳解；（2）4-8【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得∠D=90°，AB∥CD，從而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，進而即可得到結(jié)論；（2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，進而即可求解．【詳解】（1）證明：∵在矩形中，∴∠D=90°，AB∥CD，∴∠BAN=∠AMD，∵，∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，又∵，∴（AAS），（2）∵，∴AN=DM=4，∵，∴，∴AB=，∴矩形的面積=×2=4，又∵，∴四邊形的面積=4-4-4=4-8．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握AAS證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．14.如圖，在中，點在邊上，，將邊繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接與交于點，且，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）見詳解；（2）【分析】（1）由題意易得，，則有，然后問題可求證；（2）由（1）可得，然后可得，進而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進行求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∴根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，∴，由（1）可得，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．15.在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD．

（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求證：AD＋AB＝AC；（拓展遷移）（2）如圖②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．①猜想AB、AD、AC三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC＝10，求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）見解析；（2）①AD＋AB＝AC，見解析；②【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根據(jù)直角三角形中是斜邊的一半即可寫出數(shù)量關(guān)系；（2）①根據(jù)第一問中的思路，過點C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，構(gòu)造證明△CFB△CED，根據(jù)全等的性質(zhì)得到FB＝DE，結(jié)合第一問結(jié)論即可寫出數(shù)量關(guān)系；②根據(jù)題意應(yīng)用的正弦值求得的長，然后根據(jù)的數(shù)量關(guān)系即可求解四邊形ABCD的面積．【詳解】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，∴∠DAC＝∠BAC＝，∵∠ADC＝∠ABC＝，∴∠ACD＝∠ACB＝，∴AD＝．∴AD＋AB＝AC，（2）①AD＋AB＝AC，理由：過點C分別作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．，∵AC平分∠BAD，∴CF＝CE，∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，∴∠FBC＝∠EDC，又∠CFB＝∠CED＝，∴△CFB△CED，∴FB＝DE，∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，在四邊形AFCE中，由⑴題知：AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC；②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝∴∠DAC＝∠BAC＝，又∵AC＝10，∴CE＝A，∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，∴＝．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解直角三角形，關(guān)鍵是辨認出本題屬于角平分線類題型，作垂直類輔助線．16.已知等邊三角形，過A點作的垂線l，點P為l上一動點（不與點A重合），連接，把線段繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連．

（1）如圖1，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當點P、B在同側(cè)且時，求證：直線垂直平分線段；（3）如圖3，若等邊三角形的邊長為4，點P、B分別位于直線異側(cè)，且的面積等于，求線段的長度．【答案】（1）AP=BQ；（2）見詳解；（3）或或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，可得CP=CQ，∠ACP=∠BCQ，AC=BC，進而即可得到結(jié)論；（2）先證明是等腰直角三角形，再求出∠CBD=45°，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；（3）過點B作BE⊥l，過點Q作QF⊥l，根據(jù)，可得AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，設(shè)AP=x，則BQ=x，MQ=x-，QF=(x-)×，再列出關(guān)于x的方程，即可求解．【詳解】（1）證明：∵線段繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴CP=CQ，∠PCQ=60°，∵在等邊三角形中，∠ACB=60°，AC=BC，∴∠ACP=∠BCQ，∴，∴=；（2）∵，CA⊥l，∴是等腰直角三角形，∵，∴是等腰直角三角形，∠CBQ=90°，∵在等邊三角形中，AC=AB，∠BAC=∠ABC=60°，∴AB=AP，∠BAP=90°-60°=30°，∴∠ABP=∠APB=(180°-30°)÷2=75°，∴∠CBD=180°-75°-60°=45°，∴PD平分∠CBQ，∴直線垂直平分線段；（3）①當點Q在直線上方時，如圖所示，延長BQ交l與點E，過點Q作與點F，由題意得，，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，即，解得或，即AP的長度為或；②當點Q在直線l下方時，過點B作BE⊥l，過點Q作QF⊥l，由（1）小題，可知：，∴AP=BQ，∠CAP=∠CBQ=90°，∵∠ACB=60°，∠CAM=90°，∴∠AMB=360°-60°-90°-90°=120°，即：∠BME=∠QMF=60°，∵∠BAE=90°-60°=30°，AB=4，∴BE=，∴BM=BE÷sin60°=2÷=，設(shè)AP=x，則BQ=x，MQ=x-，QF=MQ×sin60°=(x-)×，∵的面積等于，∴AP×QF=，即：x×(x-)×=，解得：或（不合題意，舍去），∴AP=．綜上所述，AP的長為：或或．

【點睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，根據(jù)題意畫出圖形，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵．17.如圖①，是等腰的斜邊上的兩動點，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖②，作，垂足為H，設(shè)，不妨設(shè)，請利用（2）的結(jié)論證明：當時，成立．【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）證明見詳解．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，由CD⊥BC，可求∠DCA=∠ABE即可；（2）由△ABE≌△ACD，可得∠FAD=∠EAF，可證△AEF≌△ADF（SAS），可得EF=DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，即可；（3）將△ABE逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，由△ABC為等腰直角三角形，可求∠DCF=90°，由，在Rt△ABC中由勾股定理，由AH⊥BC，可求BH=CH=AH=，可表示EF=tanα+tanβ,BE=1-tanα,CF=1-tanβ，可證△AEF≌△ADF（SAS），得到EF=DF，由可得，整理即得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵CD⊥BC，∴∠DCB=90°，∴∠DCA=90°-∠ACB=90°-45°=45°=∠ABE，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），（2）證明∵△ABE≌△ACD，∴∠BAE=∠CAD，AE=AD，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAC=90°-∠EAF=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠FAC+∠CAD=∠FAC+∠BAE=45°=∠EAF，在△AEF和△ADF中，，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，在Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理，，即；（3）證明：將△ABE逆時針繞點A旋轉(zhuǎn)90°到△ACD，連結(jié)FD，∴∠BAE=∠CAD，BE=CD，AE=AD，∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=∠B=∠ACD=45°，∠DCF=∠DCA+∠ACF=45°+45°=90°，∵，∴AC=，在Rt△ABC中由勾股定理∵AH⊥BC，∴BH=CH=AH=，∴EF=EH+FH=AHtanα+AHtanβ=tanα+tanβ,BE=BH-EH=1-tanα,CF=CH-HF=1-tanβ，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠CAF=90°-∠EAF=45°，∴∠DAF=∠DAC+∠CAF=∠BAE+∠CAF=45°=∠EAF，在△AEF和△ADF中，，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，在Rt△CDF中，即，∴，整理得，即，∴，∴，∴．

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，銳角三角函數(shù)及其公式推導(dǎo)，掌握上述知識、靈活應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型二相似三角形18.如圖，與位似，位似中心是點O，若，則與的周長比是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△，，進而得出△，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【解析】解：與△位似，△，，△，，與△的周長比為，故選：．【點睛】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似圖形是相似圖形、位似圖形的對應(yīng)邊平行是解題的關(guān)鍵．19.如圖，ABC中，點D、E分別在AB、AC上，且，下列結(jié)論正確的是（）A．DE：BC＝1：2B．ADE與ABC的面積比為1：3C．ADE與ABC的周長比為1：2D．DEBC【答案】D【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進行逐一判斷即可．【解析】解：∵，∴AD：AB=AE：AC=1：3，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴DE：BC=1：3，故A錯誤；∵△ADE∽△ABC，∴△ADE與△ABC的面積比為1：9，周長的比為1：3，故B和C錯誤；∵△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC．故D正確．故選：D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．20.如圖，在中，，，，且，若，點是線段上的動點，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，得到，，過B作于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，當時，PQ的值最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】解：，，，解得：（負值舍去），，，，，，，，過B作于H，，，，，當時，PQ的值最小，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔21.如圖，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分線CD交AB于點D，則點D是線段AB的黃金分割點．若AC＝2，則BD＝______．【答案】【分析】先根據(jù)AB=AC，∠B=72°求出∠A的度數(shù)，再根據(jù)CD是∠CAB的角平分線得到∠A=∠ACD，即AD=CD，再根據(jù)大角對大邊得到AD>BD，最后利用黃金分割公式計算求解即可.【解析】解：∵AB=AC，∠B=72°∴∠ACB=∠B=72°∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°∵CD是∠CAB的角平分線∴∠ACD=∠BCD=∴∠A=∠ACD∴AD=CD在△ABC與△CBD中∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B∴△ABC∽△CBD∴在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°∴∠CDB=72°∴∠CDB=∠B=72°∴AD=CD=BC∴即∴D點為AB的黃金分割點在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°∴CD>BD（大角對大邊）∴AD>BD∵D是AB的黃金分割點，AD>BD∴∴故答案為：.【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，黃金分割點，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.22.如圖，矩形中，，，對角線的垂直平分線交于點、交于點，則線段的長為__．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出EF即可．【解析】解：如圖：四邊形是矩形，，又，，，是的垂直平分線，，，又，，，，解得，，四邊形是矩形，，，，是的垂直平分線，，，在和中，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握矩形的四個角是直角、對邊相等以及線段垂直平分線的定義是解題的關(guān)鍵．23.如圖，在菱形中，點M，N分別是邊，上的點，，．連接，，延長交線段延長線于點E．（1）求證：；（2）若，則的長是__________．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，根據(jù)，，可得，利用即可證明；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)可證明，根據(jù)相似的性質(zhì)可求得的長度，進而可求．【解析】解：（1）證明：四邊形為菱形，，，，，，在和中，，，（2）四邊形為菱形，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，通過菱形的性質(zhì)得到是關(guān)鍵．24.已知，，．（1）找出與相等的角并證明；（2）求證：；（3），，求．【答案】（1）（2）見解析（3）【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)直接求解即可；（2）在BF上截取BP，使AE=BP，即可證明，進一步證明和均為等腰三角形且頂角相等，即可證明；（3）由（2）可得，即可得，設(shè)，則，根據(jù)，可求得，即可證明，列比例求出，代入以上數(shù)據(jù)即可求得的值．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，，，；（2）如圖，在BF上截取BP，使AE=BP，由（1）得，即，在和中，，，，，，，即，，，和均為等腰三角形，又，，和為頂角相等的等腰三角形，，；（3）又（1）可知，，，設(shè)，則，，，，則，，，，，，即，由此得，則，．【點睛】本題主要考查三角形綜合，涉及到的知識點有，等腰三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意用含字母的式子表示出AE和MF的值是解題關(guān)鍵．25.已知在ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將AOC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA