期初專題復習六(方程與不等式應用題專項訓練)(含答案)

二元一次方程組與一元一次不等式〔組〕應用題專項訓練第一局部、二元一次方程組指導【知識鏈接】列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為“審、設、列、解、答”五步，即：〔1〕審：通過審題，找出能夠表示題意兩個相等關系；〔2〕設：把實際問題抽象成數(shù)學問題，分析數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù)；〔3〕列：根據(jù)審題得到的兩個相等關系列出方程，進而列出方程組；〔4〕解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；〔5〕答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的根底上，寫出答案.一、數(shù)字問題例1一個兩位數(shù)，比它十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和大9；如果交換十位上的數(shù)與個位上的數(shù)，所得兩位數(shù)比原兩位數(shù)大27，求這個兩位數(shù)．分析：設這個兩位數(shù)十位上的數(shù)為x，個位上的數(shù)為y，那么這個兩位數(shù)及新兩位數(shù)及其之間的關系可用下表表示：十位上的數(shù)個位上的數(shù)對應的兩位數(shù)相等關系原兩位數(shù)xy10x+y10x+y=x+y+9新兩位數(shù)yｘ10y+x10y+x=10x+y+27解方程組，得，因此，所求的兩位數(shù)是14．點評：由于受一元一次方程先入為主的影響，不少同學習慣于只設一元，然后列一元一次方程求解，雖然這種方法十有八九可以奏效，但對有些問題是無能為力的，象此題，如果直接設這個兩位數(shù)為x，或只設十位上的數(shù)為x，那將很難或根本就想象不出關于x的方程．一般地，與數(shù)位上的數(shù)字有關的求數(shù)問題，一般應設各個數(shù)位上的數(shù)為“元”，然后列多元方程組解之．二、利潤問題例2一件商品如果按定價打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，問此商品的定價是多少？分析：商品的利潤涉及到進價、定價和賣出價，因此，設此商品的定價為x元，進價為y元，那么打九折時的賣出價為0.9x元，獲利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折時的賣出價為0.8x元，獲利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程組，解得，因此，此商品定價為200元．點評：商品銷售盈利百分數(shù)是相對于進價而言的，不要誤為是相對于定價或賣出價．利潤的計算一般有兩種方法，一是：利潤=賣出價-進價；二是：利潤=進價×利潤率〔盈利百分數(shù)〕．特別注意“利潤”和“利潤率”是不同的兩個概念．三、配套問題例3某廠共有120名生產工人，每個工人每天可生產螺栓25個或螺母20個，如果一個螺栓與兩個螺母配成一套，那么每天安排多名工人生產螺栓，多少名工人生產螺母，才能使每天生產出來的產品配成最多套？分析：要使生產出來的產品配成最多套，只須生產出來的螺栓和螺母全部配上套，根據(jù)題意，每天生產的螺栓與螺母應滿足關系式：每天生產的螺栓數(shù)×2=每天生產的螺母數(shù)×1．因此，設安排ｘ人生產螺栓，ｙ人生產螺母，那么每天可生產螺栓25ｘ個，螺母20ｙ個，依題意，得，解之，得．故應安排20人生產螺栓，100人生產螺母．點評：產品配套是工廠生產中根本原那么之一，如何分配生產力，使生產出來的產品恰好配套成為主管生產人員常見的問題，解決配套問題的關鍵是利用配套本身所存在的相等關系，其中兩種最常見的配套問題的等量關系是：〔1〕“二合一”問題：如果ａ件甲產品和ｂ件乙產品配成一套，那么甲產品數(shù)的ｂ倍等于乙產品數(shù)的ａ倍，即；〔2〕“三合一”問題：如果甲產品ａ件，乙產品ｂ件，丙產品ｃ件配成一套，那么各種產品數(shù)應滿足的相等關系式是：．四、行程問題例4在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛去，結果往B站駛來的團伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團伙經過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪團伙的車的速度各是多少？分析：設巡邏車、犯罪團伙的車的速度分別為x、y千米/時，那么，整理，得，解得，因此，巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團伙的車的速度是40千米/時．點評：“相向而遇”和“同向追及”是行程問題中最常見的兩種題型，在這兩種題型中都存在著一個相等關系，這個關系涉及到兩者的速度、原來的距離以及行走的時間，具體表現(xiàn)在：“相向而遇”時，兩者所走的路程之和等于它們原來的距離；“同向追及”時，快者所走的路程減去慢者所走的路程等于它們原來的距離．五、貨運問題例5某船的載重量為300噸，容積為1200立方米，現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運，其中甲種貨物每噸體積為6立方米，乙種貨物每噸的體積為2立方米，要充分利用這艘船的載重和容積，甲、乙兩重貨物應各裝多少噸？分析：“充分利用這艘船的載重和容積”的意思是“貨物的總重量等于船的載重量”且“貨物的體積等于船的容積”．設甲種貨物裝x噸，乙種貨物裝y噸，那么，整理，得，解得，因此，甲、乙兩重貨物應各裝150噸．點評：由實際問題列出的方程組一般都可以再化簡，因此，解實際問題的方程組時要注意先化簡，再考慮消元和解法，這樣可以減少計算量，增加準確度．化簡時一般是去分母或兩邊同時除以各項系數(shù)的最大公約數(shù)或移項、合并同類項等．六、工程問題例6某服裝廠接到生產一種工作服的訂貨任務，要求在規(guī)定期限內完成，按照這個服裝廠原來的生產能力，每天可生產這種服裝150套，按這樣的生產進度在客戶要求的期限內只能完成訂貨的；現(xiàn)在工廠改良了人員組織結構和生產流程，每天可生產這種工作服200套，這樣不僅比規(guī)定時間少用1天，而且比訂貨量多生產25套，求訂做的工作服是幾套？要求的期限是幾天？分析：設訂做的工作服是x套，要求的期限是y天，依題意，得，解得.點評：工程問題與行程問題相類似，關鍵要抓好三個根本量的關系，即“工作量=工作時間×工作效率”以及它們的變式“工作時間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時間”．其次注意當題目與工作量大小、多少無關時，通常用“1”表示總工作量．第二局部、一元一次不等式〔組〕指導【知識鏈接】用一元一次不等式組解決實際問題的步驟：題，找出不等關系；⑵設未知數(shù)；出不等式；⑷求出不等式的解集；出符合題意的值；作答。識別不等式〔組〕類應用題的幾個標志，供解題時參考.一.以下情況列一元一次不等式解應用題1.應用題中只含有一個不等量關系,文中明顯存在著不等關系的字眼,如“至少”、“至多”、“不超過”等.例1．為了能有效地使用電力資源，寧波市電業(yè)局從1月起進行居民峰谷用電試點，每天8：00至22：00用電千瓦時0.56元(“峰電”價),22：00至次日8：00每千瓦時0.28元(“谷電”價),而目前不使用“峰谷”電的居民用電每千瓦時0.53元.當“峰電”用量不超過每月總電量的百分之幾時,使用“峰谷”電合算?分析：此題的一個不等量關系是由句子“當‘峰電’用量不超過每月總電量的百分之幾時,使用‘峰谷’電合算”得來的，文中帶加點的字“不超過”明顯告訴我們該題是一道需用不等式來解的應用題.解:設當“峰電”用量占每月總用電量的百分率為x時,使用“峰谷”電合算,月用電量總量為y.依題意得0.56xy+0.28y(1－x)＜0.53y.解得x＜89℅答：當“峰電”用量占每月總用電量的89℅時，使用“峰谷”電合算．2．應用題仍含有一個不等量關系，但這個不等量關系不是用明顯的不等字眼來表達的，而是用比擬隱蔽的不等字眼來表達的,需要根據(jù)題意作出判斷．例2．周未某班組織登山活動，同學們分甲、乙兩組從山腳下沿著一條道路同時向山頂進發(fā)．設甲、乙兩組行進同一段路程所用的時間之比為2：3．⑴直接寫出甲、乙兩組行進速度之比；⑵當甲組到達山頂時，乙組行進到山腰Ａ處，且Ａ處離山頂?shù)穆烦躺杏?.2千米．試問山腳離山頂?shù)穆烦逃卸噙h？⑶在題⑵所述內容〔除最后的問句外〕的根底上，設乙組從Ａ處繼續(xù)登山，甲組到達山頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰B處與乙組相遇．請你先根據(jù)以上情景提出一個相應的問題，再給予解答〔要求：①問題的提出不得再增添其他條件；②問題的解決必須利用上述情景提供的所有條件〕．解：⑴甲、乙兩組行進速度之比為3：2．⑵設山腰離山頂?shù)穆烦虨閤千米，依題意得方程為，解得x＝〔千米〕．經檢驗x＝是所列方程的解，答：山腳離山頂?shù)穆烦虨榍祝强商釂栴}：“問B處離山頂?shù)穆烦绦∮诙嗌偾?？”再解答如下：設B處離山頂?shù)穆烦虨椋砬住玻恚?〕甲、乙兩組速度分別為3k千米／時，2k千米／時〔k＞0〕依題意得＜，解得ｍ＜0.72(千米).答:B處離山頂?shù)穆烦绦∮?.72千米.說明:此題由于所要提出的問題被兩個條件所限制,因此,所提問題應從句子“乙組從A處繼續(xù)登山，甲組到達山頂后休息片刻，再從原路下山，并且在山腰B處與乙組相遇”去突破,假設注意到“甲組到達山頂后休息片刻”中加點的四個字,我們就可以看出題中隱含著這樣一個不等關系:乙組從A處走到B處所用的時間比甲組從山頂下到B處所用的時間來得少,即可提出符合題目要求的問題且可解得正確的答案.二.以下情況列一元一次不等式組解應用題1.應用題中含有兩個(或兩個以上,下同)不等量的關系.它們是由兩個明顯的不等關系表達出來,一般是講兩件事或兩種物品的制作、運輸?shù)?例3.服裝廠現(xiàn)有A種布料70米,B種布料52米,現(xiàn)方案用這兩種面料生產M,N兩種型號的時裝共80套.做一套M型號的時裝需用A種布料0.6米,B種布料0.9米,可獲利45元;做一套N型號的時裝需用A種布料1.1米,B種布料0.4米,可獲利潤50元.假設設生產N型號碼的時裝套數(shù)為x,用這批布料生產這兩種型號的時裝所獲的總利潤為y元.(1)求y(元)與x(套)的函數(shù)關系式,并求出自變量x的取值范圍;(2)服裝廠在生產這批時裝中,當N型號的時裝為多少套時,所獲利潤最大?最大利潤是多少?分析:此題存在的兩個不等量關系是:①合計生產M、N型號的服裝所需A種布料不大于70米;②合計生產M、N型號的服裝所需B種布料不大于52米.解:(1),即.依題意得解之,得40≤x≤44.∵x為整數(shù),∴自變量x的取值范圍是40,41,42,43,44.(2)略2.兩個不等關系直接可從題中的字眼找到,這些字眼明顯存在著上下限.例4.某校為了獎勵在數(shù)學競賽中獲勝的學生,買了假設干本課外讀物準備送給他們.如果每人送3本,那么還余8本;如果前面每人送5本,那么最后一人得到的課外讀物缺乏3本.設該校買了m本課外讀物,有x名學生獲獎.請答復以下問題:(1)用含x的代數(shù)式表示m;(2)求出該校的獲獎人數(shù)及所買課外讀物的本數(shù).分析:不等字眼“缺乏3本”即是說全部課外讀物減去5(x－1)本后所余課外讀物應在大于等于0而小于3這個范圍內.解:(1)m=3x+8(2)由題意,得∴不等式組的解集是:5<x≤∵x為正整數(shù),∴x=6.把x=6代入m=3x+8,得m=26.答:略例5.某城市的出租汽車起步價為10元(即行駛距離在5千米以內都需付10元車費),到達或超過5千米后,每行駛1千米加1.2元(缺乏1千米也按1千米計).現(xiàn)某人乘車從甲地到乙地,支付車費17.2元,問從甲地到乙地的路程大約是多少?分析:此題采用的是“進一法”,對于不等關系的字眼“缺乏1千米也按1千米計”,許多同學在解題時都視而不見,最終都列成了方程類的應用題,事實上,顧客所支付的17.2元車費是以上限11公里來計算的,即顧客乘車的范圍在10公里至11公里之間.理論上收費是按式子10+1.2(x-5)來進行的,而實際收費是取上限值來進行的.解:設從甲地到乙地的路程大約是x公里,依題意,得10+5×1.2＜10+1.2(x-5)≤17.2解得10＜x≤11答:從甲地到乙地的路程大于10公里,小于或等于11公里.一元一次不等式〔組〕題型分類一、積分問題例1、某次數(shù)學測驗共20道題〔總分值100分〕。評分方法是：答對1道給5分，答錯1道扣2分，不答不給分。某學生有1道未答。那么他至少答對幾道題才能及格？分析：因為總共有20道題，一道未答，那么總共答了19道題。

解：設答對X道，那么答錯〔19-X〕道題。根據(jù)題意得：

5X-2(19-X)≥60

7X≥98

X≥14

答：至少答對14題及格。二、比擬問題例2、暑假期間，兩名家長方案帶著假設干名學生去旅游，他們聯(lián)系了報價均為每人500元的兩家旅行社，經協(xié)商，甲旅行社的優(yōu)惠條件是：兩名家長全額收費，學生都按七折；乙旅行社的優(yōu)惠條件是：家長，學生都按八折收費。這兩位家長應該怎樣選擇旅行社？解：設有X名學生去旅游。

當甲旅行社收費高于乙旅行社時：500×2+0.7×500X>0.8×500〔X+2〕，X<4當甲旅行社收費等于乙旅行社時：500×2+0.7×500X=0.8×500〔X+2〕，X＝4當甲旅行社收費小于乙旅行社時：500×2+0.7×500X<0.8×500〔X+2〕，解得X>4

答：當學生人數(shù)少于4人時，乙旅行社廉價；當學生人數(shù)等于4人時，甲乙旅行社一樣廉價；當學生人數(shù)大于4人時，甲旅行社廉價。三、行程問題例3、抗洪搶險，向險段運送物資，共有120公里原路程，需要1小時送到，前半小時已經走了50公里后，后半小時速度多大才能保證及時送到？解：設后半小時的速度至少為x千米/小時

50+〔1-1/2〕x≥120

50+1/2x≥120

1/2x≥70

x≥140

答：后半小時的速度至少是140千米/小時。拓展：爆破施工時，導火索燃燒的速度是0.8cm/s，人跑開的速度是5m/s，為了使點火的戰(zhàn)士在施工時能跑到100m以外的平安地區(qū)，導火索至少需要多長？假設導火索長為X厘米

人要跑100米，速度為5m/s，那么人就要跑100/2=20秒，

導火索長為xcm，速度為0.8cm/s，那么導火索燃燒的時間就是X/0.8秒

導火索燃燒的時間必須要大于人拋開的時間才會平安，就是：≥20∴x≥16四、車費問題例4、出租汽車起價是10元(即行駛路程在不超過5km以內需付10元車費),超過5km后,每增加1km加價1.2元(缺乏1km局部按1km計),現(xiàn)在某人乘這種出租汽車從甲地到乙地支付車費17.2元,從甲地到乙地的路程大約是多少km?解：設甲地到乙地的路程大約是xkm,

據(jù)題意,得17.2－1.2<10+1.2(x-5)≤17.2,

解之,得10<x≤11

答：從甲地到乙地路程大于10km,小于或等于11km.仿練：某種出租車的收費標準是：起步價7元〔即行駛距離不超過3km都需要7元車費〕，超過3km，每增加1km，加收2.4元〔缺乏1km按1km計〕。某人乘這種出租車從A地到B地共支付車費19元。設此人從A地到B地經過的路程最多是多少km？解：設此人從甲地到乙地經過的路程是xkm，據(jù)題意,得19-2.4＜7+2.4〔x-3〕≤19

解之,得7＜x≤8

答：此人從甲地到乙地經過的路程是7—8km〔不含7千米，含8千米〕。五、工程問題例5、用每分鐘抽1.1噸水的A型抽水機來抽池水，半小時可以抽完；如果改用B型抽水機，估計20分鐘到22分可以抽完。B型抽水機比A型抽水機每分鐘約多抽多少噸水？解：設B型抽水機每分鐘抽x噸水，那么：≤x≤0.4≤x-1.1≤0.55答：B型抽水機比A型抽水機每分鐘約多抽0.4至0.55噸水六、增減問題例6、一根長20cm的彈簧，一端固定，另一端掛物體。在彈簧伸長后的長度不超過30cm的限度內，每掛1㎏質量的物體，彈簧伸長0.5cm.求彈簧所掛物體的最大質量是多少？設最多可掛重物為mkg，那么0.5m≤30-20m≤20(kg)

答：彈簧所掛物體的最大質量是20kg七、銷售問題例7、水果店進了某種水果1t，進價是7元/kg。售價定為10元/kg，銷售一半以后，為了盡快售完，準備打折出售。如果要使總利潤不低于2000元，那么余下的水果可以按原定價的幾折出售？解：設按原價的x折出售

得：1000××10+1000××10×≥7×1000+2000

解得：x≥8

答：余下的水果至少按原定價的八折出售。八、數(shù)字問題例8、有一個兩位數(shù)，其十位上的數(shù)比個位上的數(shù)小2，這個兩位數(shù)大于20且小于40，求這個兩位數(shù)分析：這題是一個數(shù)字應用題，題目中既含有相等關系，又含有不等關系，需運用不等式的知識來解決。題目中有兩個主要未知數(shù)------十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)；一個相等關系：個位上的數(shù)=十位上的數(shù)+2,一個不等關系：20<原兩位數(shù)<40

解法:設十位上的數(shù)為x,那么個位上的數(shù)為(x+2),原兩位數(shù)為10x+(x+2),

由題意可得：20<10x+(x+2)<40,

解這個不等式得，1<x<3,

∵x為正整數(shù)，∴1<x<3的整數(shù)為x=2或x=3，

∴當x=2時，∴10x+(x+2)=24,

當x=3時，∴10x+(x+2)=35,

答：這個兩位數(shù)為24或35

九、方案選擇與設計原料維生素C及價格甲種原料乙種原料維生素C/〔單位/千克〕600100原料價格/〔元/千克〕84例9、某廠有甲、乙兩種原料配制成某種飲料，這兩種原料的維生素C含量及購置這兩種原料的價格如下表：現(xiàn)配制這種飲料10千克，要求至少含有4200單位的維生素C，并要求購置甲、乙兩種原料的費用不超過72元，〔1〕設需用千克甲種原料，寫出應滿足的不等式組。〔2〕假設按上述條件購置甲種原料的質量為整數(shù)，有幾種購置方案？請寫出購置方案．解：〔1〕；〔2〕解不等式組得：∴整數(shù)為7、8當＝7時，10－＝3，當＝8時，10－＝2答：有兩種購置方案：方案一：甲種原料為7kg，乙種原料為3kg；方案二：甲種原料為8kg，乙種原料為2kg．例10、某校準備組織290名學生進行野外考察活動，行李共有100件．學校方案租用甲、乙兩種汽車共8輛，經了解，甲種汽車每輛最多能載40人和10件行李，乙種汽車每輛最多能載30人和20件行李．〔1〕設租用甲種汽車x輛，請你幫助學校設計所有可能的租車方案；〔2〕如果甲、乙兩種汽車每輛的租車費用分別為2000元、1800元，請你選擇最省錢的一種租車方案解：〔1〕設租用甲種汽車x輛，那么租用乙種汽車〔8-x〕輛，由題意得：解得：5≤x≤6．∴整數(shù)為5、6當＝5時，8－＝3，當＝6時，8－＝2答：共有2種租車方案：第一種是租用甲種汽車5輛，乙種汽車3輛；第二種是租用甲種汽車6輛，乙種汽車2輛．〔2〕方法一：第一種租車方案的費用為5×2000+3×1800=15400元；第二種租車方案的費用為6×2000+2×1800=15600元．15400＜15600答：第一種租車方案——租用甲種汽車5輛，乙種汽車3輛；更省費用．方法二：設租用甲種汽車x輛，總費用為W那么W＝2000x+1800〔8－x〕＝200x+14400∴W隨x的增大百增大，∴x＝5時費用最少答：選擇租用甲種汽車5輛，乙種汽車3輛；更省費用．例11、某商場經銷甲、乙兩種商品，甲商品每件進價15元，售價20元．乙商品每件進價35元，售價45元．〔1〕假設該商場同時購進甲、乙兩種商品共100件，恰好用去2700元，求能購進甲、乙兩種商品各多少件？〔2〕該商場為使甲、乙兩種商品共100件的利潤不少于750元，且不超過760元，請你幫助該商場設計相應的進貨方案．分析：此題第一問中兩種商品進貨價恰好用去2700元，所以可以列方程直接解出．但是第二問中的利潤給的是一個范圍，我們只能列不等式組，找出它們的公共局部〔即解集〕，再分析其全部的方案．解：〔1〕設該商場能購進甲種商品x件，那么購進乙商品〔100－x〕件．由題意得：15x+35(100－x)=2700x=40〔件〕100－x＝60〔件〕〔2〕設該商場購進甲商品a件，那么購進乙商品〔100－a〕件．由題意得：〔〔不等式可列為〕解這個不等式組得：48≤a≤50∵a是正整數(shù)，∴a的取值可以取48、49、50三種情況．當a＝48時，100－a＝52，當a＝49時，100－a＝51，當a＝50時，100－a＝50答：進貨方案有三種：方案1：購進甲商品48件，乙商品52件方案2：購進甲ZYB高溫齒輪油泵商品49件，乙商品51件方案3：購進甲商品50件，乙商品50件第三局部、作業(yè)穩(wěn)固1．是方程的解，那么的值是〔〕A．2B．C．1D．2．不等式x－2＜0的正整數(shù)解是()A．1B．0，1C．1，2D．0，1，2-1013．--101-101-1-101-101A．B．C．D．4．以下方程組中，屬于二元一次方程組的是〔〕A．B． C． D．