湖北省荊州市沙市中學2023-2024學年高二下學期3月月考數(shù)學試題

2023—2024學年度下學期2022級3月月考數(shù)學試卷命題人：葉世安審題人：冷勁松考試時間：2024年3月21日一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.“”是“為橢圓方程”是A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】依題意有,解得,故選.2.已知拋物線的焦點坐標為，則拋物線的標準方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用拋物線的標準方程的相關知識即可得解.【詳解】依題意，設拋物線方程為，由焦點坐標為，得，即，所以拋物線的標準方程為.故選：B.3.在等差數(shù)列中，，那么該數(shù)列的前14項和為（）A.20 B.21 C.42 D.84【答案】B【解析】【分析】設等差數(shù)列的過程為d，利用基本量代換，求出，代入前n項和公式即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的過程為d，因為，所以，即，所以，所以.故選：B4.設等比數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的通項公式及求和公式求解即可．【詳解】解：設數(shù)列的公比為，∵，∴，解得，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前項和，屬于基礎題．5.已知點D在確定的平面內(nèi)，O是平面外任意一點，正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間四點共面的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因為，且四點共面，由空間四點共面的性質(zhì)可知，即，又，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：B.6.若函數(shù)有零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】通過導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到其最小值，令最小值小于等于零進行求解即可.【詳解】已知函數(shù)，則，，當時，；當時，.在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，則，又，所以.故選：C.7.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若的零點為，極值點為，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】令可求得其零點，即的值，再利用導數(shù)可求得其極值點，即的值，從而可得答案．【詳解】解：，當時，，即，解得；當時，恒成立，的零點為．又當時，為增函數(shù)，故在，上無極值點；當時，，，當時，，當時，，時，取到極小值，即的極值點，．故選：C．【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點，考查分段函數(shù)的應用，突出分析運算能力的考查，屬于中檔題．8.直線經(jīng)過橢圓的左焦點，且與橢圓交于兩點，若為線段中點，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到，結(jié)合點差法相關知識計算求得，進而求得離心率.【詳解】如圖所示，因為，所以，所以，設，則，兩式相減得，則，因為直線，為線段中點，，所以，，代入上式得，則，所以橢圓的離心率.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多頂符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分;若只有3個正確選項，每選對一個得2分9.已知函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.偶函數(shù)B.是周期函數(shù)C.在區(qū)間上，有且只有一個極值點D.過作y=的切線，有無數(shù)條【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)的解析式，分別其對稱性，周期性，單調(diào)性以及切線方程作出分析.【詳解】顯然，A正確；顯然不是周期函數(shù)，B錯誤；對于C，，令，當時，，則單調(diào)遞減，又，故在上只有一個解，C正確;對于D，設切點為，則切線方程為，代入(0，0)，有，得t=0或，若，則切線方程為；若，則切線方程為，故有且僅有3條切線，D錯誤；故選：AC.10.某數(shù)學興趣小組的同學經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，設其焦點為，若為其圖象上任意一點，則（）A.是它的一條對稱軸 B.它的離心率為C.點是它的一個焦點 D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意可知反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，進一步分別計算出離心率以及即可逐一判斷求解.【詳解】反比例函數(shù)的圖象為等軸雙曲線，故離心率為，容易知道是實軸，是虛軸，坐標原點是對稱中心，聯(lián)立實軸方程與反比例函數(shù)表達式得實軸頂點，所以，其中一個焦點坐標應為而不是，由雙曲線定義可知．故選：ABD.11.設函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.定義域是（0，+）B.x∈（0，1）時，圖象位于x軸下方C.存在單調(diào)遞增區(qū)間D.有且僅有兩個極值點【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)可得定義域，即可判斷；通過當時，可判斷；【詳解】由題意函數(shù)滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域為，所以A不正確；由，當時，，∴，所以在上圖象都在軸的下方，所以B正確；∵，設，所以，函數(shù)單調(diào)增，，，所以在定義域上有解，所以函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以C是正確的；則函數(shù)只有一個根，使得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有一個極小值，所以D不正確；故選：BC.【點睛】本題主要考考查了求函數(shù)的定義域以及符號，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分．12.已知函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】求出導函數(shù)，建立與的方程，求出，利用極限的運算及導數(shù)的定義求解即可.【詳解】當時，，所以，又，則，解得，由定義可知，.故答案為：13.已知直線與圓：交于，兩點，寫出滿足“是等邊三角形”的的一個值：______.【答案】（或，答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關系以及弦長公式求解.【詳解】因為是等邊三角形，所以，設圓心到直線的距離為，則根據(jù)弦長公式可得：，解得：.即，解得.故答案為：（或，答案不唯一）14.在正方體中，，點平面，點F是線段的中點，若，則當?shù)拿娣e取得最小值時，_____________．【答案】##【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，設，根據(jù)，結(jié)合數(shù)量積運算，求得，進而表示出的面積，結(jié)合面積有最小值即可求得，即可求得答案.【詳解】以點D為坐標原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，設，則，因為，故，即，由于平面，平面，故，所以的面積為，而，故，當時，取最小值，即S最小，此時，則，故，即，故答案為：【點睛】方法點睛：由于是在正方體中求解線段長，因此可以建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算結(jié)合面積最小，求出參數(shù)，即E點的坐標，從而解決問題.四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若對任意，成立，求實數(shù)m的最大值．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，極小值，無極大值（2）4【解析】【分析】（1）求導，再根據(jù)導函數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可求出極值；（2）對任意，成立，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可得解.【小問1詳解】由，得，令，得；令，得，∴的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是，故在處有極小值，無極大值；【小問2詳解】由及，得恒成立，令，則，由，由，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，因此，所以m的最大值是4．16.在三棱臺中，底面，底面是邊長為2的等邊三角形，且，D為的中點．（1）證明：平面平面.（2）平面與平面的夾角能否為？若能，求出的值；若不能，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）不能，理由見解析【解析】【分析】（1）說明，再推出，即可證明平面，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，設，求出相關點坐標，求出平面與平面的法向量，假設平面與平面的夾角能為，根據(jù)空間角的向量求法可得方程，根據(jù)該方程解的情況，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】因為底面是邊長為2的等邊三角形，D為的中點，故；又底面，底面，故，又平面，故平面，又平面，故平面平面；【小問2詳解】由已知可知，，且D為的中點，則，即四邊形為平行四邊形，故，由底面，得底面，因為平面，所以，以D為坐標原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，則，結(jié)合（1）可知平面的法向量可取為；設平面的一個法向量為，而，故，即，令，則，假設平面與平面的夾角能為，則，即，此方程無解，假設不成立，即平面與平面的夾角不能為.17.已知橢圓方程，左右焦點分別，.離心率，長軸長為4.（1）求橢圓方程.（2）若斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點，與以，為直徑的圓交于C，兩點.若，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，設，的坐標分別為，，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，解可得、的值，計算可得的值，將其代入橢圓的方程即可得答案；（2）假設存在斜率為1的直線，設其方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關系分析，用表示，計算可得的值，分析可得結(jié)論．【小問1詳解】根據(jù)題意，設，的坐標分別為，，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得，解得，，則，故橢圓的方程為．【小問2詳解】假設存在斜率為的直線，那么可設為，則由（1）知，的坐標分別為，，可得以線段為直徑的圓為，圓心到直線的距離，得，即，則，聯(lián)立得，設，，，，則，得，故，，，，由可得解得，得．即存在符合條件的直線．18.固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線．1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為，其中為參數(shù)．當時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)．它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì)．（1）類比正、余弦函數(shù)導數(shù)之間的關系，，，請寫出，具有的類似的性質(zhì)（不需要證明）；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）求的最小值．【答案】18.,19.20.0【解析】【分析】（1）求導即可得結(jié)論;（2）構(gòu)造函數(shù),求導,并結(jié)合分類討論確定函數(shù)的最小值即可求解;（3）多次求導最終判斷函數(shù)單調(diào)在內(nèi)單調(diào)遞增,且函數(shù)為偶函數(shù)從而確定最小值.【小問1詳解】求導易知,.【小問2詳解】構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可知，①當時，由,可知，，故單調(diào)遞增，此時，故對任意，恒成立，滿足題意；②當時，令，，則，可知單調(diào)遞增，由與可知，存在唯一，使得，故當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，故對任意，，即，矛盾；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．【小問3詳解】，，令，則；令，則，當時，由（2）可知，，則，令，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)單調(diào)遞增，因，即為偶函數(shù)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，則，故當且僅當時，取得最小值0．19.定義：對于任意大于零的自然數(shù)n，滿足條件且（M是與n無關的常數(shù)）的無窮數(shù)列稱為M數(shù)列．（1）若等差數(shù)列的前n項和為，且，，判斷數(shù)列是否是M數(shù)列，并說明理由；（2）若各項為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項和為，且，證明：數(shù)列是M數(shù)列；（3）設數(shù)列是各項均為正整數(shù)的M數(shù)列，求證：．【答案】（1）不M數(shù)列，理由見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）確定數(shù)列無上限即可得；（2）由等比數(shù)列的基本量法求出Sn，根據(jù)數(shù)列新定義證明即可；（3）用反證法，假設存在正整數(shù)k，使得，由數(shù)列是各項均為正整數(shù)，得，即，然后