2013年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

2013年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一．選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，那么tanA等于（）A． B． C． D．2．（4分）將拋物線y＝x2沿y軸向上平移1個(gè)單位后所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）23．（4分）坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°4．（4分）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x+2）2的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）A．開口向下 B．最低點(diǎn)是A（2，0） C．對(duì)稱軸是直線x＝2 D．對(duì)稱軸的右側(cè)部分是上升的5．（4分）如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件中能判定CD∥AB的是（）A． B． C． D．6．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足為D，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AC2?BD＝BC2?AD B．BC2?BD＝CD2?AB C．AD?BC＝AC?CD D．CD?BC＝AC?BD二．填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）計(jì)算：2sin60°?tan45°＝．8．（4分）計(jì)算：＝．9．（4分）拋物線y＝﹣2x2﹣x+3與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是．10．（4分）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比是2：3，那么它們對(duì)應(yīng)高的比是．11．（4分）如圖，已知AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，BF＝15，那么BD＝．12．（4分）點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，BC＝2AC，點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，那么MN：BC等于．13．（4分）拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)（﹣1，0）和（5，0）兩點(diǎn)，那么該拋物線的對(duì)稱軸是．14．（4分）在以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)A（2，4），如果AO與x軸正半軸的夾角為α，那么cosα＝．15．（4分）小明同學(xué)身高1.5米，經(jīng)太陽(yáng)光照射，在地面的影長(zhǎng)為2米，他此時(shí)測(cè)得旗桿在同一地面的影長(zhǎng)為12米，那么旗桿高為米．16．（4分）拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OA：OB＝1：3，OB＝OC，那么a的值是．17．（4分）兩個(gè)等腰直角三角形ACB和DCE的位置如圖所示，點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、C、D分別在一直線上，∠ACB＝90°，，AB＝3DE，點(diǎn)G、H分別是△ACB、△DCE的重心，聯(lián)結(jié)GH，那么GH＝．18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，把△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在射線CD上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′．那么AA′的長(zhǎng)是．三．（本大題共7題，第19-22題每題10分；第23、24題每題12分；第25題14分；滿分78分）19．（10分）拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）兩點(diǎn)．（1）求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A，求△ABC的面積．20．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，△ABC，△BCD．．（1）求CD的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，求向量（用向量、表示）．21．（10分）如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作ED∥BC交AB于點(diǎn)D．（1）求證：AE?BC＝BD?AC；（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的長(zhǎng)．22．（10分）如圖，小島B正好在深水港口A的東南方向，一艘集裝箱貨船從港口A出發(fā)，沿正東方向以每小時(shí)30千米的速度行駛，40分鐘后在C處測(cè)得小島B在它的南偏東15°方向，求小島B離開深水港口A的距離．（精確到0.1千米）參考數(shù)據(jù)：，，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27．23．（12分）“數(shù)學(xué)迷”小楠通過(guò)從“特殊到一般”的過(guò)程，對(duì)倍角三角形（一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍的三角形）進(jìn)行研究．得出結(jié)論：如圖1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，如果∠A＝2∠B，那么a2﹣b2＝bc．下面給出小楠對(duì)其中一種特殊情形的一種證明方法．已知：如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求證：a2﹣b2＝bc．證明：如圖2，延長(zhǎng)CA到D，使得AD＝AB．∴∠D＝∠ABD，∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C∴△ABC∽△BCD∴，即∴a2﹣b2＝bc根據(jù)上述材料提供的信息，請(qǐng)你完成下列情形的證明（用不同于材料中的方法也可以）：已知：如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B．求證：a2﹣b2＝bc．24．（12分）拋物線y＝mx2﹣5mx+n與y軸正半軸交于點(diǎn)C，與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），且OC2＝OA?OB．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PBC和△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．25．（14分）梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝10，AB＝50，cosA＝，∠A+∠B＝90°，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，求梯形ABCD的周長(zhǎng)；（2）如圖2，聯(lián)結(jié)MN，設(shè)AN＝x，MN?cos∠NMA＝y(tǒng)（0°＜∠NMA＜90°），求y關(guān)于x的關(guān)系式及定義域；（3）如果直線MN與直線BC交于點(diǎn)P，當(dāng)∠P＝∠A時(shí)，求AN的長(zhǎng)．

2013年上海市徐匯區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，那么tanA等于（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；T1：銳角三角函數(shù)的定義．【專題】11：計(jì)算題．【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC＝12，然后根據(jù)正切的定義求解．【解答】解：如圖，∵∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝＝12，∴tanA＝＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：在直角三角形中，一銳角的正切等于它的對(duì)邊與鄰邊的比值．也考查了勾股定理．2．（4分）將拋物線y＝x2沿y軸向上平移1個(gè)單位后所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2﹣1 B．y＝x2+1 C．y＝（x﹣1）2 D．y＝（x+1）2【考點(diǎn)】H6：二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】先求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)式拋物線解析式寫出即可．【解答】解：拋物線y＝x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），向上平移1個(gè)單位后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），所以，平移后的拋物線解析式為y＝x2+1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用根據(jù)規(guī)律利用點(diǎn)的變化確定函數(shù)解析式．3．（4分）坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°【考點(diǎn)】T9：解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【分析】根據(jù)坡度就是坡角的正切值即可求解．【解答】解：坡角α，則tanα＝1：，則α＝30°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了坡度的定義，理解坡度和坡角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（4分）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x+2）2的圖象，下列說(shuō)法正確的是（）A．開口向下 B．最低點(diǎn)是A（2，0） C．對(duì)稱軸是直線x＝2 D．對(duì)稱軸的右側(cè)部分是上升的【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、∵a＝1＞0，∴開口向上，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、最低點(diǎn)，即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、對(duì)稱軸是直線x＝﹣2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、對(duì)稱軸的右側(cè)部分是上升的正確，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸以及二次函數(shù)的增減性．5．（4分）如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件中能判定CD∥AB的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】S4：平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、AO與DO，BO與CO不是對(duì)應(yīng)線段，不能判定CD∥AB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、AO與CD，AB與CD不是對(duì)應(yīng)線段，不能判定CD∥AB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、應(yīng)為＝，能判定CD∥AB，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、＝能判定CD∥AB，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)圖形準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．6．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足為D，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．AC2?BD＝BC2?AD B．BC2?BD＝CD2?AB C．AD?BC＝AC?CD D．CD?BC＝AC?BD【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定可知△ADC∽△CDB∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可的到問(wèn)題的答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足為D，∴△ADC∽△CDB∽△ACB，∴AC2＝AD?AB，BC2＝BD?AB，∴AC2?BD＝BC2?AD，故選項(xiàng)A正確；故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；∵△ADC∽△CDB，∴＝，∴AD?BC＝AC?CD，CD?BC＝AC?BD，故選項(xiàng)C和D都正確；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．二．填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）7．（4分）計(jì)算：2sin60°?tan45°＝．【考點(diǎn)】T5：特殊角的三角函數(shù)值．【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入運(yùn)算即可．【解答】解：原式＝2××1＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．8．（4分）計(jì)算：＝．【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【專題】11：計(jì)算題．【分析】去括號(hào)，合并同類向量即可得解．【解答】解：+﹣（2﹣），＝+﹣+，＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的運(yùn)算，比較簡(jiǎn)單，去括號(hào)，合并即可，要注意去括號(hào)時(shí)符號(hào)的處理．9．（4分）拋物線y＝﹣2x2﹣x+3與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3）．【考點(diǎn)】H5：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】令x＝0，可直接求出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵拋物線與y軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，即x＝0，∴此時(shí)x＝0，y＝3，∴拋物線y＝﹣2x2﹣x+3與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，3）．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)．10．（4分）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比是2：3，那么它們對(duì)應(yīng)高的比是2：3．【考點(diǎn)】S7：相似三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比，對(duì)應(yīng)高的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比是2：3，∴它們的相似比為2：3，∴它們對(duì)應(yīng)高的比是2：3．故答案為：2：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比，對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比的性質(zhì)．11．（4分）如圖，已知AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，BF＝15，那么BD＝6．【考點(diǎn)】S4：平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，AC：CE＝2：3，BF＝15，∴＝＝，∴＝，∴BD＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，注意：對(duì)應(yīng)線段成比例．12．（4分）點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，BC＝2AC，點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，那么MN：BC等于3：4（或）．【考點(diǎn)】S2：比例線段．【分析】先由BC＝2AC求出BC＝AB，再根據(jù)“點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)”，先求出MN＝AB，依此即可得到MN：BC的值．【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，BC＝2AC，∴BC＝AB，∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中，∴MN＝AB，∴MN：BC＝3：4（或）．故答案為：3：4（或）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段的中點(diǎn)定義和線段之間的比，線段的中點(diǎn)把線段分成兩條相等的線段．13．（4分）拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)（﹣1，0）和（5，0）兩點(diǎn)，那么該拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝2．【考點(diǎn)】HA：拋物線與x軸的交點(diǎn)．【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（﹣1，0）和（5，0）的中點(diǎn)，于是可得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2．【解答】解：∵點(diǎn)（﹣1，0）和（5，0）是拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，∴點(diǎn)（﹣1，0）和（5，0）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴對(duì)稱軸為直線x＝＝2．故答案是：直線x＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)已知點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得到關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．14．（4分）在以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)A（2，4），如果AO與x軸正半軸的夾角為α，那么cosα＝．【考點(diǎn)】D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；KQ：勾股定理；T1：銳角三角函數(shù)的定義．【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理的知識(shí)求解．【解答】解：根據(jù)題意可得OA＝2，∴cosα＝＝，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理的知識(shí)，此題比較簡(jiǎn)單，易于掌握．15．（4分）小明同學(xué)身高1.5米，經(jīng)太陽(yáng)光照射，在地面的影長(zhǎng)為2米，他此時(shí)測(cè)得旗桿在同一地面的影長(zhǎng)為12米，那么旗桿高為9米．【考點(diǎn)】SA：相似三角形的應(yīng)用．【分析】設(shè)旗桿高為xm，根據(jù)同時(shí)同地物高與影長(zhǎng)成正比列出比例式，求解即可．【解答】解：設(shè)旗桿高為xm，根據(jù)題意得，＝，解得x＝9m．故答案為：9．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同一時(shí)刻物高和影長(zhǎng)成正比．考查利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．16．（4分）拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OA：OB＝1：3，OB＝OC，那么a的值是1或﹣1．【考點(diǎn)】HA：拋物線與x軸的交點(diǎn)．【分析】此題需要分類討論：①當(dāng)點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)B在x軸的正半軸；②點(diǎn)A、B均在x軸的正半軸上時(shí)來(lái)求a的值．【解答】解：令x＝0，則y＝3，即點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），則OC＝3．①如圖1，點(diǎn)A、B均在x軸的正半軸上時(shí)．∵OA：OB＝1：3，OB＝OC，∴OA＝1，OB＝3，令y＝0，則ax2+bx+3＝0，∴1，3的該方程的兩個(gè)根，∴3＝，解得，a＝1；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸，點(diǎn)B在x軸的正半軸上時(shí)．∵OA：OB＝1：3，OB＝OC，∴OA＝1，OB＝3，令y＝0，則ax2+bx+3＝0，∴﹣1，3的該方程的兩個(gè)根，∴﹣3＝，解得，a＝﹣1；綜合①②知，a的值是1或﹣1．故答案是：1或﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．解答該題時(shí)需要分類討論，以防漏解或者錯(cuò)解．另外注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．17．（4分）兩個(gè)等腰直角三角形ACB和DCE的位置如圖所示，點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、C、D分別在一直線上，∠ACB＝90°，，AB＝3DE，點(diǎn)G、H分別是△ACB、△DCE的重心，聯(lián)結(jié)GH，那么GH＝．【考點(diǎn)】K5：三角形的重心．【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出兩個(gè)三角形△CDE和△ABC的斜邊上的高的和，再根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到底邊的對(duì)邊中點(diǎn)的2倍計(jì)算即可得解．【解答】解：∵AE＝4，△ACB、△CDE是等腰直角三角形，∴△CDE和△ABC的斜邊上的高的和＝×4＝4，∵點(diǎn)G、H分別是△ACB、△DCE的重心，∴GH＝×4＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的重心，三角形的重心到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度等于到對(duì)邊中點(diǎn)的長(zhǎng)度的2倍，等腰直角三角形的性質(zhì)．18．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，把△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在射線CD上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′．那么AA′的長(zhǎng)是．【考點(diǎn)】R2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【分析】先根勾股定理計(jì)算出BC＝3，由點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得DC＝DB，則∠DCB＝∠B，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B＝∠B′，CA＝CA′＝4，AB＝A′B′＝5，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，則∠B′＝∠DCB，得到A′B′∥BC，所以A′B′⊥AC，利用面積法可計(jì)算出CE＝，AE＝AC﹣CE＝4﹣＝，然后在Rt△A′CE中，利用勾股定理計(jì)算出A′E＝，再在Rt△AA′E中利用勾股定理可計(jì)算出AA′．【解答】解：設(shè)AC與A′B′的交點(diǎn)為E，如圖，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，∵點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，∴DC＝DB，∴∠DCB＝∠B，∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B落在射線CD上，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′，∴∠B＝∠B′，CA＝CA′＝4，AB＝A′B′＝5，∠ACB＝∠A′CB′＝90°，∴∠B′＝∠DCB，∴A′B′∥BC，而∠ACB＝90°，∴A′B′⊥AC，∵CE?A′B′＝A′C?CB′，∴CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝在Rt△A′CE中，A′E＝＝，在Rt△AA′E中，AA′＝＝＝．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及勾股定理．三．（本大題共7題，第19-22題每題10分；第23、24題每題12分；第25題14分；滿分78分）19．（10分）拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，0）、C（0，3）兩點(diǎn)．（1）求拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A，求△ABC的面積．【考點(diǎn)】H3：二次函數(shù)的性質(zhì)；HA：拋物線與x軸的交點(diǎn)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求出a，c的值，進(jìn)而利用配方法求出D點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）首先求出圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出△ABC的面積．【解答】解：（1）由題意，得，解得，則y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，則D（1，4）；（2）由題意，得﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3；則A（﹣1，0），又∵B（3，0）、C（0，3），∴．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)和二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)求法，正確畫出二次函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵．20．（10分）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，△ABC，△BCD．．（1）求CD的長(zhǎng)；（2）設(shè)，，求向量（用向量、表示）．【考點(diǎn)】LM：*平面向量．【分析】（1）利用兩邊及其夾角的方法判斷△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得出CD．（2）表示出，繼而根據(jù)＝﹣，即可得出答案．【解答】解：（1）∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，，∴，∴，，∴，又∵∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，即，∴．（2）∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，∴＝，∴＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量、相似三角形的判定與性質(zhì)，注意熟練掌握相似三角形判定的三種方法，難度一般．21．（10分）如圖，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作ED∥BC交AB于點(diǎn)D．（1）求證：AE?BC＝BD?AC；（2）如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）由BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，ED∥BC，可證得BD＝DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，證得AE?BC＝BD?AC；（2）根據(jù)三角形面積公式與S△ADE＝3，S△BDE＝2，可得AD：BD＝3：2，然后由平行線分線段成比例定理，求得BC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．…（1分）∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE…（1分）∴∠ABE＝∠DEB．∴BD＝DE，…（1分）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴…（1分）∴，∴AE?BC＝BD?AC；…（1分）（2）解：設(shè)△ABE中邊AB上的高為h．∴，…（2分）∵DE∥BC，∴．…（1分）∴，∴BC＝10．…（2分）【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．（10分）如圖，小島B正好在深水港口A的東南方向，一艘集裝箱貨船從港口A出發(fā)，沿正東方向以每小時(shí)30千米的速度行駛，40分鐘后在C處測(cè)得小島B在它的南偏東15°方向，求小島B離開深水港口A的距離．（精確到0.1千米）參考數(shù)據(jù)：，，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27．【考點(diǎn)】TB：解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題．【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則在Rt△ADC和Rt△BDC中，利用三角函數(shù)即可用PD表示出AD與BD，根據(jù)AB＝AD+BD即可求得AB的長(zhǎng)．【解答】解：由題意，得．…（2分）[方法一]過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．…（1分）在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°∴，…（2分）在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠B＝90°﹣45°﹣15°＝30°…（1分）∴…（2分）∴≈10×（1.41+2.45）＝38.6．…（2分）[方法二]過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于D．…（1分）在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠CBD＝15°設(shè)BD＝x，則CD＝BDtan15°≈0.27x．…（2分）∵∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣45°＝45°＝∠DAB…（1分）∴AD＝BD，∴20+0.27x＝x，得…（2分）∴．答：小島B離開深水港口A的距離是38.6千米．【點(diǎn)評(píng)】考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，解一般三角形，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解決的方法就是作高線．23．（12分）“數(shù)學(xué)迷”小楠通過(guò)從“特殊到一般”的過(guò)程，對(duì)倍角三角形（一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍的三角形）進(jìn)行研究．得出結(jié)論：如圖1，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，如果∠A＝2∠B，那么a2﹣b2＝bc．下面給出小楠對(duì)其中一種特殊情形的一種證明方法．已知：如圖2，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°．求證：a2﹣b2＝bc．證明：如圖2，延長(zhǎng)CA到D，使得AD＝AB．∴∠D＝∠ABD，∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∠CAB＝90°∴∠D＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C∴△ABC∽△BCD∴，即∴a2﹣b2＝bc根據(jù)上述材料提供的信息，請(qǐng)你完成下列情形的證明（用不同于材料中的方法也可以）：已知：如圖1，在△ABC中，∠A＝2∠B．求證：a2﹣b2＝bc．【考點(diǎn)】S9：相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】首先延長(zhǎng)CA到D，使得AD＝AB，得出∠D＝∠ABC，進(jìn)而得出△ABC∽△BDC，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．【解答】證明：延長(zhǎng)CA到D，使得AD＝AB，連接BD．∴∠D＝∠ABD，∵∠CAB＝∠D+∠ABD＝2∠D，∵∠CAB＝2∠ABC，∴∠D＝∠ABC，又∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，即，∴a2﹣b2＝bc．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線得出△ABC∽△BDC是解題關(guān)鍵．24．（12分）拋物線y＝mx2﹣5mx+n與y軸正半軸交于點(diǎn)C，與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），且OC2＝OA?OB．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PBC和△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】HF：二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由題意，得拋物線對(duì)稱軸是直線，并且A和B關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)辄c(diǎn)B（1，0），所以A（4，0），又因?yàn)镺C2＝OA?OB，進(jìn)而求出OC的長(zhǎng)，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)可求，從而求出拋物線的解析式；（2）首先△BOC∽△COA，所以∠OCB＝∠OAC，所以當(dāng)△PBC和△ABC相似時(shí)，分兩種情況①當(dāng)時(shí)②當(dāng)時(shí)分別求出符合題意的OP的長(zhǎng)，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題意，得拋物線對(duì)稱軸是直線，∵點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)B（1，0），∴A（4，0），∵OC2＝OA?OB＝4×1＝4，∴OC＝2，∵點(diǎn)C在y軸正半軸上，∴C（0，2），∴，解得：∴拋物線的解析式為：；（2）由題意，可得AB＝3，，，