2022年北京中加學校高二數學文下學期摸底試題含解析

2022年北京中加學校高二數學文下學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖，一個封閉的立方體，它的六個表面各標有A,B,C,D,E,F這六個字母之一，現放置成如圖的三種不同的位置，則字母A,B,C對面的字母分別為（

）A．D,E,F

B．F,D,E C．E,F,D

D．E,D,F參考答案：D2.數列的通項公式，前項和，則（

）A．1232 B．3019 C．3025 D．4321參考答案：C當時，，當時，，當時，，當時，，由此可得：，故選C．3.在-1和8之間插入兩個數a，b，使這四個數成等差數列，則

（

）

A．a=2，b=5

B．a=-2，b=5

C．a=2，b=-5

D．a=-2，b=-5參考答案：A4.在下列四個命題中，正確的命題共有()①坐標平面內的任意一條直線均有傾斜角與斜率；②直線的傾斜角的取值范圍是；③若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為；④若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為.A．0個B．1個

C．2個

D．3個參考答案：A略5.定義在上的函數，其導函數是成立，則A.

B.C.

D.參考答案：D略6.若f（x）=x3﹣ax2+1在（1，3）內單調遞減，則實數a的范圍是（）A．[，+∞） B．（﹣∞，3] C．（3，） D．（0，3）參考答案：A【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】由函數f（x）=x3﹣ax2+1在（0，3）內單調遞減轉化成f'（x）≤0在（0，3）內恒成立，利用參數分離法即可求出a的范圍．【解答】解：∵函數f（x）=x3﹣ax2+1在（0，3）內單調遞減，∴f'（x）=3x2﹣2ax≤0在（0，3）內恒成立．即a≥x在（0，3）內恒成立．∵g（x）=x在（0，3]上的最大值為×3=，故a≥∴故選：A．7.將八進制數135(8)化為二進制數為(

)(A)1110101(2)

(B)1010101(2)(C)111001(2)

(D)1011101(2)參考答案：D略8.設是橢圓E：的左右焦點，P在直線上一點，是底角為的等腰三角形，則橢圓E的離心率為（

）

A．

B.

C.

D.參考答案：B略9.已知集合，，則A．

B．

C．

D．參考答案：C10.如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于（）A．

B． C． D．參考答案：B【考點】異面直線及其所成的角．【分析】先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：取BC的中點G．連接GC1∥FD1，再取GC的中點H，連接HE、OH，則∠OEH為異面直線所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH=．故選B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在0,

1，2，3，4，5這六個數字所組成的沒有重復數字的三位數中，其各個數字之和為9的三位數共有

個參考答案：略12.拋物線y2=8x的準線與x軸相交于點P，過點P作斜率為k（k＞0）的直線交拋物線于A、B兩點，F為拋物線的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】設出A，B的坐標，再設出AB的方程，聯立直線方程和拋物線方程，由焦半徑結合|FA|=2|FB|求得A的坐標，代入兩點求斜率公式得答案．【解答】解：設A（x1，y1），B（x2，y2）由已知|FA|=2|FB|，得：x1+2=2（x2+2），即x1=2x2+2，①∵P（﹣2，0），則AB的方程：y=kx+2k，與y2=8x聯立，得：k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0，則x1x2=4，②由①②得x2=1，則A（1，），∴k==．故答案為：．13.函數的值域是________________.參考答案：14.定義在R上的連續(xù)函數f（x）滿足f（1）=2，且f（x）在R上的導函數f′（x）＜1，則不等式f（x）＜x+1的解集為．參考答案：{x|x＞1}【考點】利用導數研究函數的單調性；導數的運算．【分析】令F（x）=f（x）﹣x，求出函數的導數，不等式轉化為F（x）＜F（1），求出不等式的解集即可．【解答】解：令F（x）=f（x）﹣x，則F′（x）=f′（x）﹣1＜0，故F（x）在R遞減，而F（1）=f（1）﹣1=1，故f（x）＜x+1即F（x）＜1=F（1），解得：x＞1，故不等式的解集是{x|x＞1}，故答案為：{x|x＞1}．15.如圖是一個空間幾何體的三視圖，根據圖中尺寸（單位：cm），可知幾何體表面積是．參考答案：（18+2cm2【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】通過三視圖復原的幾何體的特征，結合三視圖的數據，求出幾何體的表面積．【解答】解：由題意可知三視圖復原的幾何體是放倒的正三棱柱，正三角形的邊長為：2，正三棱柱的高為3，所以正三棱柱的表面積為：2××2×+3×2×3=（18+2（cm2）．故答案為：（18+2cm2．16.已知在中，，則角__▲

_．參考答案：【知識點】兩角和的正切公式【答案解析】解析：解：由得，又C為三角形內角，所以C=60°【思路點撥】一般遇到兩角的正切和與正切積的關系，可考慮利用兩角和的正切公式進行轉化.17.與橢圓共焦點，準線為的雙曲線的漸近線方程為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定義域內有兩個不同的極值點．（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設兩個極值點分別為x1，x2，證明：x1?x2＞e2．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值．【分析】（Ⅰ）由導數與極值的關系知可轉化為方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；再轉化為函數y=lnx與函數y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，或轉化為函數g（x）=與函數y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點；或轉化為g（x）=lnx﹣ax有兩個不同零點，從而討論求解；（Ⅱ）問題等價于ln＞，令，則t＞1，，設，根據函數的單調性證出結論即可．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，函數f（x）的定義域為（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；（解法一）轉化為函數y=lnx與函數y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，如右圖．可見，若令過原點且切于函數y=lnx圖象的直線斜率為k，只須0＜a＜k．令切點A（x0，lnx0），故k=y′|x=x0=，又k=，故=，解得，x0=e，故k=，故0＜a＜．（解法二）轉化為函數g（x）=與函數y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點．又g′（x）=，即0＜x＜e時，g′（x）＞0，x＞e時，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上單調增，在（e，+∞）上單調減．故g（x）極大=g（e）=；又g（x）有且只有一個零點是1，且在x→0時，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時，g（x）→0，故g（x）的草圖如右圖，可見，要想函數g（x）=與函數y=a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，只須0＜a＜．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，從而轉化為函數g（x）有兩個不同零點，而g′（x）=﹣ax=（x＞0），若a≤0，可見g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）單調增，此時g（x）不可能有兩個不同零點．若a＞0，在0＜x＜時，g′（x）＞0，在x＞時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，）上單調增，在（，+∞）上單調減，從而g（x）極大=g（）=ln﹣1，又因為在x→0時，g（x）→﹣∞，在在x→+∞時，g（x）→﹣∞，于是只須：g（x）極大＞0，即ln﹣1＞0，所以0＜a＜．綜上所述，0＜a＜．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知x1，x2分別是方程lnx﹣ax=0的兩個根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，設x1＞x2，作差得ln=a（x1﹣x2），即a=原不等式等價于ln＞，令，則t＞1，，設，，∴函數g（t）在（1，+∞）上單調遞增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式成立，故所證不等式成立．19.如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，直線l與x軸交于點E，與橢圓C交于A、B兩點．當直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的右焦點時，弦AB的長為．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在點E，使得為定值？若存在，請指出點E的坐標，并求出該定值；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由離心率公式和a，b，c的關系，由弦長為．解方程可得橢圓方程；（2）假設存在點E，使得為定值，設E（x0，0），討論直線AB與x軸重合和垂直，以及斜率存在，設出直線方程，聯立橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，計算即可得到定值．【解答】解：（1）由，設a=3k（k＞0），則，b2=3k2，所以橢圓C的方程為，因直線l垂直于x軸且點E為橢圓C的右焦點，即，代入橢圓方程，解得y=±k，于是，即，所以橢圓C的方程為；（2）假設存在點E，使得為定值，設E（x0，0），當直線AB與x軸重合時，有，當直線AB與x軸垂直時，，由，解得，，所以若存在點E，此時，為定值2．根據對稱性，只需考慮直線AB過點，設A（x1，y1），B（x2，y2），又設直線AB的方程為，與橢圓C聯立方程組，化簡得，所以，，又，所以，將上述關系代入，化簡可得．綜上所述，存在點，使得為定值2．20.已知函數f（x）=-x+.（1）試判斷函數f（x）在定義域上的單調性并用單調性定義證明；（2）若函數f（x）的反函數為f-1（x），解方程f-1（-1+log2x）=-1.參考答案：（1）令＞0，解得函數f（x）的定義域為{x|-2＜x＜1}.令-2＜x1＜x2＜1，則f（x1）-f（x2）=-x1+x2+-=（x2-x1）+.∵-2＜x1＜x2＜1，∴x2-x1＞0，＞1，＞1.∴·＞1.∴l(xiāng)og2（·）＞0.∴f（x1）-f（x2）＞0.∴f（x）為定義域上的減函數.（2）由f-1（-1+log2x）=-1，f（-1）=-1+log2x，即1+log22=-1+log2x，解得x=8.經檢驗，x=8為原方程的解.21.已知函數，且.（1）求A的值；（2）若，是第二象限角，求.參考答案：（1）（2）【分析】(1)由題意利用結合函數的解析式即可確定A的值；(2)由題意結合同角三角函數基本關系和兩角和差正余弦公式可得的值.【詳解】（1）依題意得：，.（2）由（1）得由可得：，，是第二象限角，，，又，是第三象限角，.【點睛】本題主要考查三角函數的運算，兩角和差正余弦公式的應用，同角三角函數基本關系的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.22.（本小題滿分14分）

如圖，在半徑為的圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A、C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪