安徽省宣城市中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析

安徽省宣城市中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）參考答案：D【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】首先對f（x）=（x﹣3）ex求導(dǎo)，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．故選：D．2.已知拋物線上一點到其焦點的距離為5，雙曲線的左頂點為A，若雙曲線一條漸近線與直線AM平行，則實數(shù)a等于(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D3.“a=-1”是“直線a2x-y+6=0與直線4x-（a-3）y+9=0互相垂直”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A. B. C.(0,e) D.(0,2e)參考答案：A【分析】令分離常數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和極值，結(jié)合與有三個交點，求得的取值范圍.【詳解】方程可化為，令，有，令可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為、，則，，當(dāng)時，，則若函數(shù)有3個零點，實數(shù)的取值范圍為．故選A.【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.5.在中，，，，則角等于（

） A．B．或 C．D．或參考答案：A略6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入A的值為2，則輸出的P值為()A．2

B．3C．4

D．5參考答案：C7.已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示，則的取值范圍是（）A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）參考答案：A【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】由圖象可知：經(jīng)過原點，可得f（0）=0=d，即f（x）=ax3+bx2+cx．．由圖象可得：函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在x=﹣1處取得極大值．可得f′（x）≤0在上恒成立，且f′（﹣1）=0．利用且f′（1）＜0，f′（2）＞0即可得到b＜0，3a+2b＞0，設(shè)k=，則k=，求k的最值，進而得出結(jié)論．【解答】解：由圖象可知：經(jīng)過原點，∴f（0）=0=d，∴f（x）=ax3+bx2+cx．由圖象可得：函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在x=﹣1處取得極大值．∴f′（x）=3ax2+2bx+c≤0在上恒成立，且f′（﹣1）=0．得到3a﹣2b+c=0，即c=2b﹣3a，∵f′（1）=3a+2b+c＜0，∴4b＜0，即b＜0，∵f′（2）=12a+4b+c＞0，∴3a+2b＞0，設(shè)k=，則k=，建立如圖所示的坐標系，則點A（﹣1，﹣2），則k=式中變量a、b滿足下列條件，作出可行域如圖：∴k的最大值就是kAB=，k的最小值就是kCD，而kCD就是直線3a+2b=0的斜率，kCD=﹣，∴．∴故選A．8.已知復(fù)數(shù)z=為純虛數(shù)，則x的值為（

）A.-1或3

B.0

C.3

D.-1參考答案：D略9.已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1、F2，點A在C上，若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的定義，以及余弦定理建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：∵雙曲線C的離心率為2，∴e=，即c=2a，點A在雙曲線上，則|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，則由余弦定理得cos∠AF2F1===．故選：A．10.雙曲線的漸近線方程為A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)y＝a(x3－x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則a的取值范圍是________。參考答案：a>0

略12.若直線與橢圓恒有公共點，則的取值范圍是_____.參考答案：13.已知命題p：x≠2，命題q：x2≠4，則p是q的

條件．參考答案：必要不充分【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】規(guī)律型．【分析】利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可，【解答】解：若x2≠4，則x≠2且x≠﹣2．∴p是q的必要不充分條件．故答案為：必要不充分．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．14.已知直線不通過第四象限，則的取值范圍是______.參考答案：[,1]15.已知集合，則=

．參考答案：16.數(shù)列的前項和，則通項公式

。參考答案：略17.已知非零向量a∥b，若非零向量c∥a，則c與b必定________．參考答案：平行(或共線)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.把“五進制”數(shù)轉(zhuǎn)化為“十進制”數(shù)，再把它轉(zhuǎn)化為“八進制”數(shù)。參考答案：

19.已知二次函數(shù),(1)若,求滿足的x的解得集合;(2)若存在唯一的x滿足,求a的值.參考答案：答案:(1)當(dāng)時,,要,可得,解得,即滿足的的解得集合為;(6分)(2)∵存在唯一的滿足,可知函數(shù)的圖像必須滿足開口向上且與只有一個交點由此可得:且解得:.(12分)20.在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，，，.設(shè)Q為側(cè)棱PC上一點，.（1）若，證明：；（2）試確定的值，使得二面角的大小為45°.參考答案：（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）建立空間直角坐標系，計算出的坐標后可得它們的數(shù)量積為零，從而得到.（2）計算出平面的法向量和平面的法向量再計算它們的夾角的余弦值，根據(jù)二面角的的大小得到關(guān)于的方程，從而可求的值.【詳解】如圖建立直角坐標系，，，，，，，，（1）當(dāng)時，，∴，所以.（2）設(shè)平面的法向量，，，令，則，，，同理可得：平面的法向量，，∴，，（舍負）.【點睛】二面角的計算，可以建立空間直角坐標系把角的計算歸結(jié)為法向量的夾角的計算，注意向量的夾角與二面角的平面角的關(guān)系是相等或互補，所以兩者的余弦值的絕對值相等，我們常利用這個關(guān)系式構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程.21.已知函數(shù)．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥ax+1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，從而求出f（x）的最小值；（Ⅱ）【法一】討論a≤0以及a＞0時，對應(yīng)函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出滿足f（x）＜ax+1時a的取值范圍．【法二】根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)h（x）=ex﹣x2﹣x﹣ax﹣1，利用導(dǎo)數(shù)h′（x）判斷函數(shù)h（x）的單調(diào)性與是否存在零點，從而求出滿足f（x）＜ax+1時a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）因為函數(shù)，所以f′（x）=ex﹣x﹣1；令g（x）=ex﹣x﹣1，則g′（x）=ex﹣1，所以當(dāng)x＞0時，g′（x）＞0；故g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＞0時，g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0，所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增；故當(dāng)x=0時f（x）取得最小值1；（Ⅱ）【法一】（1）當(dāng)a≤0時，對于任意的x≥0，恒有ax+1≤1，又由（Ⅰ）得f（x）≥1，故f（x）≥ax+1恒成立；（2）當(dāng)a＞0時，令h（x）=ex﹣x2﹣x﹣ax﹣1，則h′（x）=ex﹣x﹣a﹣1，由（Ⅰ）知g（x）=ex﹣x﹣1在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h′（x）=ex﹣x﹣a﹣1在[0，+∞）上單調(diào)遞增；又h′（0）=﹣a＜0，取x=2，由（Ⅰ）得≥+2+1，h′（2）=﹣2﹣a﹣1≥+2+1﹣2﹣a﹣1=a＞0，所以函數(shù)h′（x）存在唯一的零點x0∈（0，2），當(dāng)x∈（0，x0）時，h′（x）＜0，h（x）在[0，x0）上單調(diào)遞減；所以當(dāng)x∈（0，x0）時，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合題意；綜上，a的取值范圍是（﹣∞，0]．【法二】令h（x）=ex﹣x2﹣x﹣ax﹣1，則h′（x）=ex﹣x﹣a﹣1，由（Ⅰ）知，x＞0時，ex﹣x﹣1＞0；（1）當(dāng)a≤0時，h′（x）=ex﹣x﹣a﹣1＞0，此時h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x≥0時，h（x）≥h（0）=0，即ex﹣x2﹣x≥ax+1，即a≤0時，f（x）≥ax+1恒成立；（2）當(dāng)a＞0時，由（Ⅰ）知g（x）=ex﹣x﹣1在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h′（x）=ex﹣x﹣a﹣1＞0在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h′（x）在[0，+∞）上至多存在一個零點，如果h′（x）在[0，+∞）上存在零點x0，因為h′（0）=﹣a＜0，則x0＞0，且h′（x0）=0，故當(dāng)x∈（0，x0）時，h′（x）＜h′（x0）=0，所以h（x）在[0，x0）上單調(diào)遞減；所以當(dāng)x∈（0，x0）時，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合題意；如果h′（x）在[0，+∞）上不存在零點，則當(dāng)x∈（0，+∞）時，恒有h′（x）＜0，所以h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減；則當(dāng)x∈（0，+∞）時，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜ax+1，不符合題意；綜上，a的取值范圍是（﹣∞，0]．22.（本小題滿分12分）已知雙曲線的右焦點為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點，點的坐標是．

（Ⅰ）證明為常數(shù)；（Ⅱ）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程．參考答案：解：由條件知，設(shè)，．（I）當(dāng)與軸垂直時，可設(shè)點的坐標分別為，，此時．當(dāng)不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是．代入，有．則是上述方程的兩個實根，所以，，于是．綜上所述，為常數(shù)．····················································································6分（II）解法一：設(shè)，則，，，，由得：即于是的中點坐標為．當(dāng)不與軸垂直時，，即．又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得，即．將代入上式，化簡得．當(dāng)與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．所以點的軌跡方程是．························