2022年中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題專題04-胡不歸求最小值(學生版+解析版)

中考數(shù)學壓軸題--二次函數(shù)第4節(jié)胡不歸求最小值內(nèi)容導航方法點撥從前，有一個小伙子在外地當學徒，當他得知在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后，便立即啟程日夜趕路。由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A--B（如圖所示：A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地帶），當他趕到父親眼前時，老人已去世了，鄰舍告訴小伙子時告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸?胡不歸？一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。?，記，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。谇笮稳纭癙A+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．胡不歸模型問題解題步驟如下：1、將所求線段和改寫為“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決）。2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個角度α，使得sinα=3、最后利用兩點之間線段最短及垂線段最短解題例題演練題組1：PA+k?PB例1．如圖①，已知拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為Q，連接BC．（1）求直線BC的解析式；（2）點P是直線BC上方拋物線上的一點，過點P作PD⊥BC于點D，在直線BC上有一動點M，當線段PD最大時，求PM+MB最小值；練1.1如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），與y軸交于點A，拋物線的頂點為D，B（﹣3，0），A（0，）（1）求拋物線解析式及D點坐標；（2）如圖1，P為線段OB上（不與O、B重舍）一動點，過點P作y軸的平行線交線段AB于點M，交拋物線于點N，點N作NK⊥BA交BA于點K，當△MNK與△MPB的面積相等時，在X軸上找一動點Q，使得CQ+QN最小時，求點Q的坐標及CQ+QN最小值；練1.2如圖，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．（1）求直線BD的解析式；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M，當△DQB面積最大時，在x軸上找一點E，使QE+EB的值最小，求E的坐標和最小值．練1.3如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+x+與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D．（1）求直線BC的解析式；（2）如圖2，點P為直線BC上方拋物線上一點，連接PB、PC．當△PBC的面積最大時，在線段BC上找一點E（不與B、C重合），使PE+BE的值最小，求點P的坐標和PE+BE的最小值；題組2：PA+QB+k?PQ例2．如圖1，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于點A、B（點A在點B左邊），O為坐標原點．點D是直線BC上方拋物線上的一個動點，過點D作DE∥x軸交直線BC于點E．點P為∠CAB角平分線上的一動點，過點P作PQ⊥BC于點H，交x軸于點Q；點F是直線BC上的一個動點．（1）當線段DE的長度最大時，求DF+FQ+PQ的最小值．練2.1如圖1，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，連接AD、BD．（1）求△ABD的面積；（2）如圖2，連接AC、BC，若點P是直線AC上方拋物線上一動點，過P作PE∥BC交AC于點E，作PQ∥y軸交AC于點Q，當△PQE周長最大時，將△PQE沿著直線AC平移，記移動中的△PQE為△P′Q′E′，連接CP′，求△PQE的周長的最大值及CP′+P′E′+AE′的最小值；練2.2在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣x﹣2交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點為D．（1）求點D的坐標及直線BD的解析式；（2）如圖1，連接CD、AD、BD，點E為線段CD上一動點．過E作EF∥BD交線段AD于F點，當△CEF的面積最大時，在x軸上找一點P，在y軸上找一點Q，使EQ+PQ+BP最小，并求其最小值；練2.3如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，連接BC．（1）過點A且平行于BC的直線交于y軸于點D，求AD的解析式；（2）如圖②，P是直線BC上方拋物線上的一動點，在拋物線的對稱軸l上有一動點M，在x軸上有一動點N，連接PM、MN，當△PAD的面積最大時，求PM+MN+BN的最小值；中考數(shù)學壓軸題--二次函數(shù)第4節(jié)胡不歸求最小值內(nèi)容導航方法點撥從前，有一個小伙子在外地當學徒，當他得知在家鄉(xiāng)的年老父親病危的消息后，便立即啟程日夜趕路。由于思念心切，他選擇了全是沙礫地帶的直線路徑A--B（如圖所示：A是出發(fā)地，B是目的地，AC是一條驛道，而驛道靠目的地的一側(cè)全是沙礫地帶），當他趕到父親眼前時，老人已去世了，鄰舍告訴小伙子時告訴說，老人在彌留之際還不斷喃喃地叨念：胡不歸?胡不歸？一動點P在直線MN外的運動速度為V1，在直線MN上運動的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點，點C在直線MN上，確定點C的位置使的值最?。?，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點作BH⊥AD交MN于點C，交AD于H點，此時BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。谇笮稳纭癙A+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．胡不歸模型問題解題步驟如下：1、將所求線段和改寫為“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決）。2、在PB的一側(cè)，PA的異側(cè)，構(gòu)造一個角度α，使得sinα=3、最后利用兩點之間線段最短及垂線段最短解題例題演練題組1：PA+k?PB例1．如圖①，已知拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為Q，連接BC．（1）求直線BC的解析式；（2）點P是直線BC上方拋物線上的一點，過點P作PD⊥BC于點D，在直線BC上有一動點M，當線段PD最大時，求PM+MB最小值；【解答】解：（1）令y＝0，﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1和4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，y＝2，∴C（0，2），設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，則有，解得，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+2．（2）如圖1中，作PM∥y軸交BC于M．∵∠DPM是定值，∴當PM的值最大時，PD的值最大，設(shè)P（m，﹣m2+m+2），則M（m，﹣m+2），∴PM＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2）2+2，∵﹣＜0，∴m＝2時，PM的值有最大值，即PD的值最大，此時P（2，3）．在y軸上取一點G，使得sin∠GBC＝，作GK⊥BC于K，∵sin∠GBK＝＝，設(shè)GK＝k，BG＝3k，則BK＝2k，∵∠GCK＝∠BCO，∠GKC＝∠BOC＝90°，∴△CKG∽△COB，∴＝＝，∴＝＝，∴CK＝k，CG＝k，∵CK+BK＝BC，∴k+2k＝2，∴k＝，∴OG＝OC﹣CG＝，∴G（0，），∴直線BG的解析式為y＝﹣x+，∵PM+BM＝PM+ME，∴當P．M，E共線，且PE⊥BG時，PM+PE的值最小，∵PE⊥BG，∴直線PE的解析式為y＝y(tǒng)＝x﹣2，由，解得，∴E（，），∴PE＝＝，∴PM+BM的最小值為．練1.1如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于B、C兩點（點B在點C的左側(cè)），與y軸交于點A，拋物線的頂點為D，B（﹣3，0），A（0，）（1）求拋物線解析式及D點坐標；（2）如圖1，P為線段OB上（不與O、B重舍）一動點，過點P作y軸的平行線交線段AB于點M，交拋物線于點N，點N作NK⊥BA交BA于點K，當△MNK與△MPB的面積相等時，在X軸上找一動點Q，使得CQ+QN最小時，求點Q的坐標及CQ+QN最小值；【解答】解：（1）把B（﹣3，0），A（0，）的坐標代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2﹣x+，頂點D的坐標為（﹣1，）．（2）如圖1中，設(shè)P（m，0）則N（m，＝﹣m2﹣m+）．∵A（0，），B（﹣3，0），∴直線AB的解析式為y＝x+，AB用PN的交點M（m，m+），∵∠NMK＝∠BMP，∠NKM＝∠MPB＝90°，∴△NMK∽△BMN，∵△MNK與△MPB的面積相等，∴△NMK≌△BMN，∴MN＝BM，在Rt△ABO中，tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴BM＝2PM＝MN，∴﹣m2﹣m+﹣m﹣＝2（m+），解得m＝﹣2或﹣3（舍棄），∴N（﹣2，），在y軸上取一點F，使得∠OCF＝30°，作QH⊥CF于H，∵QH＝CQ，∴NQ+CQ＝NQ+QH，根據(jù)垂線段最短可知，當N、Q、H共線，且NH⊥CF時，NQ+CQ＝NQ+QH的值最小．∵直線CF的解析式為y＝x﹣，直線NH的解析式為y＝﹣x﹣，∴Q（﹣1，0），由，解得，∴H（﹣，﹣），∴NH＝＝3，∴NQ+CQ＝NQ+QH的最小值為3．練1.2如圖，拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．（1）求直線BD的解析式；（2）當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M，當△DQB面積最大時，在x軸上找一點E，使QE+EB的值最小，求E的坐標和最小值．【解答】解：（1）當y＝0時，x2+x+3＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0）、B（6，0），當x＝0時，y＝3，則C（0，3）．∵點D與點C關(guān)于x軸對稱，∴點D為（0，﹣3）．設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+b，將D（0，﹣3）和B（6，0）分別代入得，解得：k＝，b＝﹣3．∴直線BD的解析式為y＝x﹣3．（2）設(shè)點P的坐標為（m，0），則點Q（m，m2+m+3），M（m，m﹣3）．△QBD的面積＝QM?OB＝×6×（m2+m+3﹣m+3）＝﹣（m﹣2）2+24，∴當m＝2時，△QBD的面積有最大值，此時Q（2，6）．如圖1所示：過點E作EF⊥BD，垂足為F．在Rt△OBD中，OB＝6，OD＝3，則BD＝3，∴tan∠EBF＝tan∠OBD＝＝．∴EF＝BE．∴QE+EB＝QE+EF．∴當點Q、E、F在一條直線上時，QE+EB有最小值．過點Q作QF′⊥BC，垂足為F′，QF′交OB與點E′．設(shè)QF′的解析式為y＝﹣2x+b，將點Q的坐標代入得：﹣4+b＝6，解得b＝10，∴QF′的解析式為y＝﹣2x+10．由，解得x＝，∴F（，﹣）當y＝0時，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴點E′的坐標為（5，0）．即點E的坐標為（5，0）時QE+EB有最小值．∴QE+EB的最小值＝QF＝＝．練1.3如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+x+與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D．（1）求直線BC的解析式；（2）如圖2，點P為直線BC上方拋物線上一點，連接PB、PC．當△PBC的面積最大時，在線段BC上找一點E（不與B、C重合），使PE+BE的值最小，求點P的坐標和PE+BE的最小值；【解答】解：（1）當x＝0時，y＝﹣x2+x+＝，∴點C的坐標為（0，）；當y＝0時，有﹣x2+x+＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴點B的坐標為（3，0）．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0），將B（3，0）、C（0，）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+．（2）如圖2中，過點P作PM⊥x軸于點M，交直線BC于點F．EN⊥x軸設(shè)P（a，﹣a2+a+），則F（a，﹣a+）∴PF＝﹣a2+a∴S△PBC＝×PF×3＝﹣a2+a∴當，a＝時，S△PBC最大∴P（，）∵直線BC的解析式為y＝﹣x+．∴∠CBO＝30°，EN⊥x軸∴EN＝BE∴PE+BE＝PE+EN∴根據(jù)兩點之間線段最短和垂線段最短，則當P，E，N三點共線且垂直于x軸時，PE+BE值最?。郟E+BE＝PE+EN＝PN＝題組2：PA+QB+k?PQ例2．如圖1，拋物線與y軸交于點C，與x軸交于點A、B（點A在點B左邊），O為坐標原點．點D是直線BC上方拋物線上的一個動點，過點D作DE∥x軸交直線BC于點E．點P為∠CAB角平分線上的一動點，過點P作PQ⊥BC于點H，交x軸于點Q；點F是直線BC上的一個動點．（1）當線段DE的長度最大時，求DF+FQ+PQ的最小值．【解答】解：（1）如圖1，當x＝0時，y＝3．當y＝0時，．∴∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且設(shè)D（a，），則E（）∴DE＝a﹣∴當a＝﹣時，DE最大．此時D（）∵AP平分∠CAB，∴∠PAB＝∠CAB＝30°，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，∴AQ＝PQ，∴＝，將射線AB繞A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到直線AM，過點D作AM的垂線于點M，交x軸于點Q′，則．當Q運動到Q′時，有＝DM，過D作DN⊥x軸于點N，可得△AQ′M與△DQ′N相似，DN＝Dy＝，AN＝∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝∴Q′M＝，∴DM＝DQ′+Q′M＝＝DM＝．練2.1如圖1，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，連接AD、BD．（1）求△ABD的面積；（2）如圖2，連接AC、BC，若點P是直線AC上方拋物線上一動點，過P作PE∥BC交AC于點E，作PQ∥y軸交AC于點Q，當△PQE周長最大時，將△PQE沿著直線AC平移，記移動中的△PQE為△P′Q′E′，連接CP′，求△PQE的周長的最大值及CP′+P′E′+AE′的最小值；【解答】解（1）對于拋物線y＝﹣x2+x+2，令y＝0，得到x＝6或﹣2，∴A（6，0），B（﹣2，0），∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣2）2+，∴D（2，）．∴S△ABD＝×8×＝．（2）∵A（6，0），C（0，2），∴直線AC的解析式為y＝﹣x+2，設(shè)P（m，﹣m2+m+2），則Q（m，﹣m+2），∴PQ＝﹣m2+m+2﹣m+2＝﹣（m﹣3）2+，∵△PEQ∽△AOC，∴＝＝，∴PQ的值最大時，△PEQ的周長最大，∵m＝3時，PQ有最大值，此時：＝＝，∴PE＝，QE＝，∴△PQE周長的最大值＝++＝．此時P（3，），E（，）．在Rt△BOC中，tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝30°，同法可得：∠ACO＝60°，∴∠ACB＝90°，如圖2中，作P′M⊥BC于M，E′H⊥AB于H，MH′⊥AB于H′，連接ME′、CP′．∵四邊形MCE′P′是矩形，∴CP′＝ME′，∵E′H＝AE′，∴CP′+P′E′+AE′＝ME′+E′H+P′E′，∴當M，E′，H共線時，CP′+P′E′+AE′的值最小，最小值＝MH+P′E′，易知M（，），∴CP′+P′E′+AE′的最小值＝+＝．練2.2在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣x﹣2交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點為D．（1）求點D的坐標及直線BD的解析式；（2）如圖1，連接CD、AD、BD，點E為線段CD上一動點．過E作EF∥BD交線段AD于F點，當△CEF的面積最大時，在x軸上找一點P，在y軸上找一點Q，使EQ+PQ+BP最小，并求其最小值；【解答】解：（1）對于拋物線y＝x2﹣x﹣2，令x＝0，則y＝﹣2，令y＝0，則x＝2或﹣，故點A、B、C的坐標分別為：（﹣，0）、（2，0）、（0，﹣2），∴拋物線的對稱軸x＝（﹣）＝，∵點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點為D，∴點D（，﹣2）；設(shè)直線BD的表達式為：y＝kx+b，則，解得：，故直線BD的表達式為：y＝2x﹣4①；（2）設(shè)點E（m，﹣2），∵EF∥BD，∴直線EF表達式中的k值和直線BD表達式中的k值相同，設(shè)直線EF的表達式為：y＝2x+b′，將點E的坐標代入上式并解得：b′＝﹣2m﹣2，直線EF的表達式為：y＝2x﹣2m﹣2②，聯(lián)立①②并解得：，故點F的坐標為：（，﹣），△CEF的面積S＝×CE×（yF﹣yE）＝m×（﹣+2）＝﹣m2+m，∵﹣＜0，故S有最大值，此時m＝，故點E（，﹣2）；過點B作直線BH使tan∠HBO＝，則sin∠HBO＝，作點E關(guān)于y軸的對稱點E′（﹣，﹣2），過點E′作E′H⊥BH交y軸于Q，交x軸于P，則點P、Q為所求點，此時EQ+PQ+BP最小，∵sin∠HBO＝，則PH＝PBsin∠HBO＝PB，EQ+PQ+BP＝E′Q+PQ+PH＝E′H為最小，∵tan∠HBO＝，故tan∠HPB＝2，即直線E′H表達式中的k值為2，設(shè)直線E′H的表達式為：y＝2x+b″，將點E′的坐標代入上式并解得：b″＝﹣，故直線E′H的表達式為：y＝2x﹣，令x＝0，則y＝﹣，令y＝0，則x＝，故點P、Q的坐標分別為：（，0）、（0，﹣），E′P＝＝，PH＝×（2）＝，故EQ+PQ+