2024年八年級數(shù)學(xué)下冊中考素養(yǎng)提升專練(一)新人教版

Page1中考素養(yǎng)提升專練(一)類型一二次根式1．【規(guī)律探究】將一組數(shù)eq\r(3)，eq\r(6)，3，2eq\r(3)，eq\r(15)，…，eq\r(87)，3eq\r(10)按下面的方式進行排列：eq\r(3)，eq\r(6)，3,2eq\r(3)，eq\r(15)，3eq\r(2)，eq\r(21)，2eq\r(6)，3eq\r(3)，eq\r(30)，…按這樣的方式進行下去，將eq\r(15)所在的位置記為(1，5)，2eq\r(6)所在的位置記為(2，3)，那么：(1)eq\r(30)所在的位置應(yīng)記為__(2，5)__；(2)在(4，1)的位置上的數(shù)是__4eq\r(3)__，6eq\r(2)所在的位置應(yīng)記為__(5，4)__；(3)這組數(shù)中最大的有理數(shù)所在的位置應(yīng)記為__(6，2)__．2．【數(shù)學(xué)文化】著名數(shù)學(xué)家斐波那契曾研究一列數(shù)，被稱為斐波那契數(shù)列(按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列)，這個數(shù)列的第n個數(shù)為eq\f(1,\r(5))[(eq\f(1＋\r(5),2))n－(eq\f(1－\r(5),2))n](n為正整數(shù))，例如這個數(shù)列的第8個數(shù)可以表示為eq\f(1,\r(5))[(eq\f(1＋\r(5),2))8－(eq\f(1－\r(5),2))8].根據(jù)以上材料，完成下列計算：(1)求這個數(shù)列的第1個數(shù)；(2)求這個數(shù)列的第2個數(shù)．解：(1)第1個數(shù)為eq\f(1,\r(5))(eq\f(1＋\r(5),2)－eq\f(1－\r(5),2))＝eq\f(1,\r(5))×eq\r(5)＝1(2)第2個數(shù)為eq\f(1,\r(5))[(eq\f(1＋\r(5),2))2－(eq\f(1－\r(5),2))2]＝eq\f(1,\r(5))(eq\f(1＋\r(5),2)＋eq\f(1－\r(5),2))(eq\f(1＋\r(5),2)－eq\f(1－\r(5),2))＝eq\f(1,\r(5))×1×eq\r(5)＝1.類型二勾股定理3．【勾股樹問題】如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC∶BC＝4∶3，這個直角三角形三邊上分別有一個正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個小正方形向外分別作直角邊長之比為4∶3的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊作正方形．圖②是1次操作后的圖形，圖③是2次操作后的圖形．如果圖①中的直角三角形的周長為12，那么10次操作后的圖形中所有正方形的面積之和為DA．225B．250C．275D．3004．【趙爽弦圖】如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3.若S1＋S2＋S3＝60，則S2的值是CA．12B．15C．20D．305．【閱讀理解】勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了驗證勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”(如圖①)，后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．【實踐操作】(1)請敘述勾股定理；(2)驗證勾股定理，請利用圖②中的數(shù)據(jù)來驗證該定理；【探索發(fā)現(xiàn)】(1)如圖③，④，⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，則這三個圖形中面積關(guān)系滿足S1＋S2＝S3的有________個；(2)如圖⑥所示，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月形圖案(圖中陰影部分)的面積分別為S1、S2，直角三角形的面積為S3，請判斷S1，S2，S3之間的關(guān)系，并說明理由．解：【實踐操作】(1)如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2＋b2＝c2(或：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方)(2)證明：在圖②中，大正方形的面積等于四個全等的直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和．即c2＋eq\f(1,2)ab·4＝(b＋a)2，化簡，得a2＋b2＝c2【探索發(fā)現(xiàn)】(1)3(2)結(jié)論：S1＋S2＝S3，理由如下：∵S1＋S2＝eq\f(1,2)π(eq\f(a,2))2＋eq\f(1,2)π(eq\f(b,2))2＋S3－eq\f(1,2)π(eq\f(c,2))2，∴S1＋S2＝eq\f(1,8)π(a2＋b2－c2)＋S3.又∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S36．【新定義問題】我們新定義一種三角形：兩邊的平方和等于第三邊平方的4倍的三角形叫做常態(tài)三角形．例如：某三角形的三邊長分別是5，6和8，因為62＋82＝4×52＝100，所以這個三角形是常態(tài)三角形．(1)若△ABC的三邊長分別是3，2eq\r(5)和4，則此三角形________常態(tài)三角形(填“是”或“不是”)；(2)若Rt△ABC是常態(tài)三角形，求此三角形的三邊長之比(將三邊按從小到大排列)；(3)如圖，在Rt△ABC中，BC＝4，AD＝DB＝DC，若△BCD是常態(tài)三角形，求△ABC的面積．解：(1)是(2)設(shè)Rt△ABC的兩直角邊長為a，b，且a≤b，斜邊長為c，則a2＋b2＝c2.又∵Rt△ABC是常態(tài)三角形，∴b2＋c2＝4a2，∴b2＋a2＋b2＝4a2，∴2b2＝3a2，∴b＝eq\f(\r(6),2)a，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(a2＋\f(3,2)a2)＝eq\f(\r(10),2)a，∴a∶b∶c＝a∶eq\f(\r(6),2)a∶eq\f(\r(10),2)a＝eq\r(2)∶eq\r(3)∶eq\r(5)，∴此三角形的三邊長之比為eq\r(2)∶eq\r(3)∶eq\r(5)(3)∵AD＝BD＝CD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD)＝eq\f(1,2)×180°＝90°.∵△BCD是常態(tài)三角形，∴①當(dāng)CD2＋BD2＝4BC2時，即CD2＋BD2＝4×42，∴BD＝CD＝4eq\r(2)，∴AB＝8eq\r(2)，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(（8\r(2)）2－42)＝4eq\r(7)，∴此時S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)×4eq\r(7)×4＝8eq\r(7)；②當(dāng)CD2＋BC2＝4BD2時，即CD2＋42＝4BD2，∴BD＝CD＝eq\f(4\r(3),3)，∴AB＝eq\f(8\r(3),3)，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(（\f