2024年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二章二次函數(shù)單元檢測(cè)北師大版

Page1第二章二次函數(shù)得分________卷后分________評(píng)價(jià)________一、選擇題(每小題3分，共30分)1．下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是(C)A．y＝－2xB．y＝x2＋eq\f(1,x2)C．y＝(x＋3)2－9D．y＝eq\f(1,x2)＋12．拋物線(xiàn)y＝2(x－3)2＋4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(A)A．(3，4)B．(－3，4)C．(3，－4)D．(2，4)3．將拋物線(xiàn)y＝x2－4先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線(xiàn)的表達(dá)式為(B)A．y＝(x＋2)2＋2B．y＝(x－2)2－2C．y＝(x－2)2＋2D．y＝(x＋2)2－24．已知拋物線(xiàn)y＝x2－2x－1，則當(dāng)0≤x≤3時(shí)，函數(shù)的最大值為(D)A．－2B．－1C．0D．25．若拋物線(xiàn)y＝x2＋bx＋c過(guò)A(m，n)，B(m－4，n)兩點(diǎn)，且與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則n的值為(A)A．4B．－4C．6D．166．若二次函數(shù)y＝ax2－4ax＋3(a為常數(shù)，且a＞0)的圖象上有三點(diǎn)A(－2，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為(D)A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y1＜y3D．y2＜y3＜y17．如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2＋c與直線(xiàn)y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)兩點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式ax2－mx＋c＜n的解集為(C)A．x＞－1B．x＜3C．－1＜x＜3D．x＜－3或x＞1eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))8．如圖，已知點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(1，1)，若拋物線(xiàn)y＝x2＋c與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)，則c的取值范圍是(C)A．－1≤c≤0B．－1≤c≤eq\f(1,2)C．－1≤c≤eq\f(9,16)D．0≤c≤eq\f(9,16)9．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象如圖所示，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①abc＞0；②9a＋3b＋c＝0；③b2－4ac＜8a；④5a＋b＋c＞0.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(C)A．1B．2C．3D．4eq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))10．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是CD的中點(diǎn)，射線(xiàn)AE與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→F的路線(xiàn)勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F停止．過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AF于點(diǎn)N.設(shè)AN的長(zhǎng)為x，△AMN的面積為S，則能大致反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是(B)ABCD二、填空題(每小題3分，共15分)11．已知一拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0，1)，且經(jīng)過(guò)(－3，2)，則此拋物線(xiàn)的表達(dá)式為_(kāi)_y＝eq\f(1,9)x2＋1__．12．將二次函數(shù)y＝ax2－8ax＋2的圖象向左平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度后過(guò)點(diǎn)(5，2)，則m的值為_(kāi)_3__．13．如圖，一座拱橋的輪廓是拋物線(xiàn)形狀，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m，則支柱MN的長(zhǎng)度為_(kāi)_5.5__m.eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15題圖))14．已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(12（1≤x<3），,（x－5）2＋8（3≤x≤8）))的圖象如圖所示，若直線(xiàn)y＝kx－3與該圖象有公共點(diǎn)，則k的最大值與最小值的和為_(kāi)_17__．15．如圖，直線(xiàn)y＝x＋1與拋物線(xiàn)y＝x2－4x＋5交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，S△PAB＝__eq\f(12,5)__．三、解答題(共75分)16．(6分)已知拋物線(xiàn)y＝－x2＋4x＋5.(1)指出該拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若該拋物線(xiàn)上有兩點(diǎn)A(－eq\r(2)，y1)，B(5，y2)，試比較y1與y2的大?。猓?1)∵y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴該拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，9)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2(2)∵2－(－eq\r(2))＞5－2，∴點(diǎn)A到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的距離比點(diǎn)B到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的距離更遠(yuǎn)．又∵拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，∴y1＜y217．(6分)如圖，已知拋物線(xiàn)y＝x2－(m＋3)x＋9的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，直線(xiàn)y＝x＋3與該拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)．(1)求m的值；(2)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．解：(1)∵拋物線(xiàn)y＝x2－(m＋3)x＋9的頂點(diǎn)C在x軸正半軸上，∴拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，∴(m＋3)2－4×9＝0，解得m＝3或m＝－9.又∵－eq\f(－（m＋3）,2)＞0，∴m＞－3，∴m＝3(2)由(1)可得拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y＝x2－6x＋9，聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x2－6x＋9，,y＝x＋3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝9.))∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，4)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6，9)18．(8分)已知函數(shù)y＝－x2＋bx＋c(b，c為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，－3)，(－6，－3).(1)求b，c的值；(2)當(dāng)－4≤x≤0時(shí)，求y的最大值；(3)當(dāng)m≤x≤0時(shí)，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．解：(1)把(0，－3)，(－6，－3)分別代入y＝－x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＝c，,－3＝－36－6b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－6，,c＝－3))(2)∵y＝－x2－6x－3＝－(x＋3)2＋6，－4≤x≤0，∴當(dāng)x＝－3時(shí)，y有最大值為6(3)①當(dāng)－3≤m＜0時(shí)，當(dāng)x＝0時(shí)，y最小值＝－3，當(dāng)x＝m時(shí)，y最大值＝－m2－6m－3，∴－m2－6m－3＋(－3)＝2，解得m＝－2或m＝－4(舍去)；②當(dāng)m<－3時(shí)，當(dāng)x＝－3時(shí)，y最大值＝6，∴y最小值＝2－6＝－4.當(dāng)y＝－x2－6x－3＝－4時(shí)，解得x＝－3＋eq\r(10)(舍去)或x＝－3－eq\r(10)，∴m＝－3－eq\r(10).綜上所述，m的值為－2或－3－eq\r(10)19．(9分)如圖，在足夠大的空地上，張叔叔利用直角墻角(兩邊足夠長(zhǎng))和30m長(zhǎng)的籬笆圍成了一個(gè)中間隔開(kāi)的矩形花園ABCD(圖中虛線(xiàn)為籬笆)，設(shè)AB＝xm，矩形花園ABCD的面積為Sm2.(1)求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)求矩形花園ABCD面積的最大值．解：(1)S＝x(30－2x)＝－2x2＋30x(0＜x＜15)(2)∵S＝－2x2＋30x＝－2(x－7.5)2＋112.5，∴當(dāng)x＝7.5時(shí)，S最大值＝112.5，∴矩形花園ABCD面積的最大值為112.5m220．(10分)小李在景區(qū)銷(xiāo)售一種旅游紀(jì)念品，已知每件的進(jìn)價(jià)為6元，當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)定為8元/件時(shí)，每天可以銷(xiāo)售200件．市場(chǎng)調(diào)查反映：銷(xiāo)售單價(jià)每提高1元，日銷(xiāo)量將會(huì)減少10件．物價(jià)部門(mén)規(guī)定：銷(xiāo)售單價(jià)不能超過(guò)12元/件．設(shè)該紀(jì)念品的銷(xiāo)售單價(jià)為x(元/件)，日銷(xiāo)量為y(件)，日銷(xiāo)售利潤(rùn)為W(元)．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求日銷(xiāo)售利潤(rùn)W(元)與銷(xiāo)售單價(jià)x(元/件)的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．解：(1)根據(jù)題意，得y＝200－10(x－8)＝－10x＋280(6≤x≤12)(2)根據(jù)題意，得W＝(x－6)y＝(x－6)(－10x＋280)＝－10x2＋340x－1680＝－10(x－17)2＋1210，而6≤x≤12，∴當(dāng)x＝12時(shí)，W最大值＝960，∴當(dāng)x＝12時(shí)日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為960元21．(10分)如圖①所示的某種發(fā)石車(chē)是古代一種遠(yuǎn)程攻擊的武器，將發(fā)石車(chē)置于山坡底部O處，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸方向，建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系，將發(fā)射出去的石塊當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)看，其飛行路線(xiàn)可以近似地看作拋物線(xiàn)y＝a(x－20)2＋k的一部分，山坡OA上有一堵防御墻，其豎直截面為ABCD，墻寬BC＝2m，BC與x軸平行，點(diǎn)B與點(diǎn)O的水平距離為28m，豎直距離為6m.(1)若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為10m，①求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；②試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明石塊能否飛越防御墻；(2)若要使石塊恰好落在防御墻頂部BC上(包括端點(diǎn)B，C)，求a的取值范圍．解：(1)①將點(diǎn)O(0，0)代入y＝a(x－20)2＋10，得0＝(0－20)2a＋10，解得a＝－eq\f(1,40)，∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－eq\f(1,40)(x－20)2＋10(0≤x≤40)②石塊能飛越防御墻，理由如下：當(dāng)x＝30時(shí)，y＝－eq\f(1,40)×(30－20)2＋10＝7.5.∵7.5＞6，∴石塊能飛越防御墻(2)將點(diǎn)O(0，0)代入y＝a(x－20)2＋k，得0＝(0－20)2a＋k，∴k＝－400a，∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a(x－20)2－400a.當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(28，6)時(shí)，6＝(28－20)2a－400a，解得a＝－eq\f(1,56)；當(dāng)拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(30，6)時(shí)，6＝(30－20)2a－400a，解得a＝－eq\f(1,50)，∴a的取值范圍為－eq\f(1,50)≤a≤－eq\f(1,56)22．(12分)如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，且a≠0)交x軸于A(1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0，3).(1)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)將該拋物線(xiàn)位于直線(xiàn)y＝m(m為常數(shù)，且m≥0)下方的部分沿直線(xiàn)y＝m翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象W”．①當(dāng)m＝0時(shí)，若直線(xiàn)y＝x＋n與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，求n的值；②若直線(xiàn)y＝x與圖象W有四個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍．解：(1)由題意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,9a＋3b＋c＝0，,c＝3，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－4，,c＝3，)))∴該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y＝x2－4x＋3(2)拋物線(xiàn)y＝x2－4x＋3位于直線(xiàn)y＝m下方的部分沿直線(xiàn)y＝m翻折后得到的圖象所在的拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋4x－3＋2m，①當(dāng)m＝0時(shí)，若直線(xiàn)y＝x＋n與圖象W有三個(gè)交點(diǎn)，存在如下2種情況：(i)直線(xiàn)y＝x＋n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，即0＝1＋n，解得n＝－1；(ii)直線(xiàn)y＝x＋n與拋物線(xiàn)y＝－x2＋4x－3只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程x＋n＝－x2＋4x－3，也即方程x2－3x＋n＋3＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝(－3)2－4(n＋3)＝0，∴n＝－eq\f(3,4).綜上所述，n的值為－1或－eq\f(3,4)②聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝x2－4x＋3，)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5＋\r(13),2)，,y1＝\f(5＋\r(13),2)，)))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x2＝\f(5－\r(13),2)，,y2＝\f(5－\r(13),2)，)))∴直線(xiàn)y＝x與拋物線(xiàn)y＝x2－4x＋3交于(eq\f(5－\r(13),2)，eq\f(5－\r(13),2))，(eq\f(5＋\r(13),2)，eq\f(5＋\r(13),2))兩點(diǎn)．若直線(xiàn)y＝x與拋物線(xiàn)y＝－x2＋4x－3＋2m只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程x＝－x2＋4x－3＋2m，也即方程x2－3x＋3－2m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝(－3)2－4(3－2m)＝0，∴m＝eq\f(3,8)，∴若直線(xiàn)y＝x與圖象W有四個(gè)交點(diǎn)，m的取值范圍是eq\f(3,8)＜m＜eq\f(5－\r(13),2)23．(14分)如圖，直線(xiàn)y＝x－3與坐標(biāo)軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y＝eq\f(1,4)x2＋bx＋c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，與直線(xiàn)y＝x－3交于點(diǎn)E(8，5)，且與x軸交于C，D兩點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；(2)拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)M，當(dāng)∠MBE＝75°時(shí)，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)y＝eq\f(1,4)x2－x－3(2)∵OA＝OB＝3，∴∠ABO＝45°.分如下兩種情況討論：如圖，①當(dāng)點(diǎn)M位于直線(xiàn)AB上方時(shí)，∠MBO＝∠MBE－∠ABO＝30°，∴易得直線(xiàn)BM的解析式為y＝－eq\r(3)x－3.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－3，,y＝\f(1,4)x2－x－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4－4\r(3)，,y＝