考研數(shù)學(xué)一高等數(shù)學(xué)模擬試卷284-真題(含答案與解析)-交互

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷284(總分60,做題時間90分鐘)選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1.

若f(x)在x0點可導(dǎo)，則｜f(x)｜在x0點()A

必可導(dǎo)B

連續(xù)，但不一定可導(dǎo)C

一定不可導(dǎo)D

不連續(xù)

分值:2答案:B解析：函數(shù)f(x)=x在x=0處可導(dǎo)，但｜f(x)｜=｜x｜在x=0處不可導(dǎo)，排除A．函數(shù)f(x)=x2在x=0處可導(dǎo)，｜f(x)｜=｜x2｜在x=0處也可導(dǎo)，排除C，D．關(guān)于選項B，因為f(x)在x0點可導(dǎo)，故在x0點連續(xù)．當(dāng)x→x0時，｜｜f(x)｜－｜f(x0)｜｜≤｜f(x)－f(x0)｜→0，故｜f(x)｜也在x0處連續(xù)．選B．2.

曲面x2+4y2+z2=4與平面x+z=a的交線在yOz平面上的投影方程是()A

B

C

D

分值:2答案:A解析：根據(jù)題意，曲面與平面的交線在yOz平面上的投影應(yīng)在yOz平面上，故x=0，因而選項B和D不對．又曲面與平面的交線在yOz平面上的投影柱面方程應(yīng)不含變量x，故選項C也不對．應(yīng)選A．3.

曲線S：在點(1，一1，0)處的切線方程為()A

B

C

D

分值:2答案:D解析：曲面x2+y2+z2=2在點(1，－1，0)處的法向量為n1=(2，－2，0)，平面x+y+z=0的法向量為n2=(1，1，1)，于是，曲線在點(1，－1，0)處的切向量為τ=n1×n2=(－2，－2，4)，故所求切線方程為4.

設(shè)∑為球面x2+y2+z2=1的外側(cè)，則下面4個結(jié)論：其中正確的個數(shù)為()A

1個B

2個C

3個D

4個

分值:2答案:C解析：由對稱性得由高斯公式得(由積分區(qū)域的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性)．同理可證5.

若an(x－1)2在x=－1處收斂，則在x=2處是()A

條件收斂B

絕對收斂C

發(fā)散D

斂散性不確定

分值:2答案:B解析：由an(x－1)n在x=－1處收斂，可知收斂半徑R≥｜－1－1｜=2．而x=2處．因｜2－1｜=1＜R，所以x=2在收斂區(qū)間內(nèi)，即原級數(shù)在x=2處絕對收斂，故應(yīng)選B．6.

下列結(jié)論正確的是()A

anxn在收斂域上必絕對收斂B

anxn的收斂半徑為R，則R一定是正常數(shù)C

若anxn的收斂半徑為R，則其和函數(shù)S(x)在(－R，R)內(nèi)必可微D

都是冪級數(shù)

分值:2答案:C解析：由冪級數(shù)anxn的和函數(shù)S(x)性質(zhì)可知，命題C正確．命題A錯誤：如收斂域為(－1，1]，但在x=1處，條件收斂．命題B錯誤：因為收斂半徑可能為R=0或R=+∞．命題D錯誤：由冪級數(shù)的定義可知不是冪級數(shù)．7.

設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)y1(x)，y2(x)，y3(x)均是方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常數(shù)，則該方程的通解是()A

C1y1+C2y2+y3B

C1y1+C2y2－(C1+C2)y3C

C1y1+C2y2－(1－C1－C2)y3D

C1y1+C2y2+(1－C1－C2)y3

分值:2答案:D解析：由于C1y1+C2y2+(1－C1－C2)y3=C1(y1－y3)+C2(y2－y3)+y3，其中y1－y3和y2－y3是原方程對應(yīng)的齊次方程的兩個線性無關(guān)的解，又y3是原方程的一個特解，所以選項(D)是原方程的通解．2.填空題1.

設(shè)f''(x0)=2，則=______．

分值:2答案:正確答案：1解析：2.

=_______．

分值:2答案:正確答案：0解析：被積函數(shù)是[－2，2]上的奇函數(shù)，故在對稱區(qū)間[－2，2]上積分為零．3.

=______．

分值:2答案:正確答案：其中C為任意常數(shù)解析：4.

設(shè)F(u，v)對其變元u，v具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并設(shè)=______．

分值:2答案:正確答案：解析：5.

設(shè)y1=ex，y2=x2為某二階齊次線性微分方程的兩個特解，則該微分方程為______．

分值:2答案:正確答案：解析：由于方程結(jié)構(gòu)已知，故只要將兩個特解分別代入并求出系數(shù)即可．由于y=ex與y：=x2線性無關(guān)，故該二階齊次線性微分方程的通解為y=C1ex+C2x2，y'=C1ex+2C2x，y''=C1ex+2C2．三式聯(lián)立消去C1與C2便得如上所填．6.

設(shè)當(dāng)x≥0時，f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并且滿足f(x)=－1+x+2∫0x(x－t)f(t)f'(t)dt，則f(x)=______．

分值:2答案:正確答案：解析：兩邊對x求導(dǎo)兩次，得f''(x)=2f(x)f'(z)．初始條件為f(0)=－1，f'(0)=1．上述方程可改寫為f''(x)=[(f(x))2]'，兩邊積分得f'(x)=[f(x)]2+C1，由初始條件得出C1=0．于是f'(x)=[f(x)]2．分離變量后積分得再由初始條件得出C2=1，即得解如上．解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。1.

判斷“分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)”是否正確，若正確，試證之；若不正確，試說明它們之間的關(guān)系．

分值:2答案:

正確答案：不正確．初等函數(shù)是指由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復(fù)合步驟所得到的，并用一個式子表示的函數(shù)．分段函數(shù)雖用幾個表達(dá)式表示，但并不能說肯定不能用一個表達(dá)式表示，因此，分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是初等函數(shù)，如φ(x)=｜x｜，通常寫成分段函數(shù)的形式但也可以寫成一個表達(dá)式：它是由初等函數(shù)和u=x2復(fù)合而來，所以函數(shù)φ(x)=｜x｜是初等函數(shù)．而不是初等函數(shù)．2.

計算

分值:2答案:

正確答案：3.

設(shè)曲線f(x)=xn在點(1，1)處的切線與n軸的交點為(x0，0)，計算

分值:2答案:

正確答案：由導(dǎo)數(shù)幾何意義，曲線f(x)=xn在點(1，1)處的切線斜率k=f'(1)=nxn－1｜xx=1=n，所以切線方程為y=1+n(x－1)，令y=0解得因此4.

設(shè)試確定常數(shù)a，b，c，使f(x)在x=0點處連續(xù)且可導(dǎo)．

分值:2答案:

正確答案：因為及c為任意值時，f(x)在x=0處連續(xù)．又因為令f－'(0)=f+'(0)，可得時，f'(0)存在．故當(dāng)a=2，時，f(x)在x=0處連續(xù)且可導(dǎo)．5.

在區(qū)間[0，a]上｜f''(x)｜≤M，且f(x)在(0，a)內(nèi)取得極大值．求證：｜f'(0)｜+｜f'(a)｜≤Ma．

分值:2答案:

正確答案：f(x)在(0，a)內(nèi)取得極大值，不妨設(shè)在點x=c處取到，則f'(c)=0．f'(x)在[0，c]與[c，a]上分別使用拉格朗日中值定理，f'(c)－f'(0)=cf''(ξ1)，ξ1∈(0，c)，f'(a)－f'(c)=(a－c)f''(ξ2)，ξ2∈(c，a)，所以｜f'(0)｜+｜f'(a)｜=c｜f''(ξ1)｜+(a－c)｜f''(ξ2)｜≤cM+(a－c)M=aM．設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．6.

敘述并證明一元函數(shù)微分學(xué)中的拉格朗日中值定理；

分值:2答案:

正確答案：拉格朗日中值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點ξ∈(a，b)，使f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a)．證明：令則有：φ(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(a)=f(a)，φ(b)=f(a)，故φ(a)=φ(b)，所以φ(x)在[a，b]上滿足羅爾定理條件，從而知至少存在一點ξ∈(a，b)使φ'(ξ)=0，即即f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a)．證畢．7.

若f(x)不是一次式也不為常函數(shù)，試證明至少存在一點ξ∈(a，b)使

分值:2答案:

正確答案：作易知F(a)=F(b)=0．由于f(x)不是一次式也不為常函數(shù)，則F(x)不為常數(shù)．所以至少有一點x1∈(a，b)使F(x1)＞0，或至少有一點x2∈(a，b)使F(x2)＜0，于是有由拉格朗日中值定理知，至少存在一點ξ∈(a，b)，使F'(ξ)＞0，即有如果f(b)=f(a)≥0，那么由上式便有如果f(b)－f(a)＜0，證明是類似的．8.

計算

分值:2答案:

正確答案：9.

計算

分值:2答案:

正確答案：因k值不同，故分情況討論：當(dāng)k＞1時，即積分收斂；當(dāng)k=1時，即積分發(fā)散；當(dāng)k＜1時，即積分發(fā)散．10.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加，證明：(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx．

分值:2答案:

正確答案：令F(t)=(a+t)∫atf(x)dx－2∫atxf(x)dx，則F'(t)=∫atf(x)dx+(a+t)f(t)－2tf(t)=∫atf(x)dx－(t－a)f(t)=∫atf(x)dx－∫atf(t)dx=∫at[f(x)－f(t)]dx．因為a≤x≤t，且f(x)在[a，b]上嚴(yán)格單調(diào)增加，所以f(x)－f(t)≤0，于是有F'(t)=∫at[f(x)－f(t)]dx≤0，即F(t)單調(diào)減少，又F(a)=0，所以F(b)＜0，從而(a+b)∫abf(x)dx－2∫abxf(x)dx＜0，即(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx．11.

求經(jīng)過直線L：且與橢球面S：x2+2y2+3z2=21相切的切平面方程．

分值:2答案:

正確答案：設(shè)切點為M(x0，y0，z0)，于是s在點M處的法向量n=(2x0，4y0，6z0)，切平面方程為2x0(x－x0)+4y0(y－y0)+6z0(z－z0)=0．再利用S的方程化簡得x0x+2y0y+3z0z=21．在L上任取兩點，例如點代入上式得6x0+6y0+z0=21，4x0+4y0+z0=21．再由S的方程z02+2y02+3z02=21，聯(lián)立解得切點(3，0，2)與(1，2，2)，故得切平面方程為z+2z=7和x+4y+6z=21．12.

設(shè)函數(shù)z=z(x，y)是由方程x2－6xy+10y2－2yz－z2+32=0確定，討論函數(shù)z(x，y)的極大值與極小值．

分值:2答案:

正確答案：將x2－6xy+10y2－2yz－z2+32=0兩邊分別對x、對y求偏導(dǎo)數(shù)，有為求駐點，令聯(lián)立方程得再與原方程x2－6xy+10y2－2yz－z2+32=0，聯(lián)立解得點(12，4，4)1與(－12，－4，－4)2．將(*)與(**)對x，y求偏導(dǎo)數(shù)，得再將將點(12，4，4)1代入得所以z=4為極小值．將點(－12，－4，－4)2代入得所以z=－4為極大值．13.

計算三重積分圍成．

分值:2答案:

正確答案：這里A(x)為截面橢圓的面積，所以14.

求柱體x2+y2≤2x被x2+y2+z2=4所截得部分的體積．

分值:2答案:

正確答案：其中D={(x，y)｜x2+y2≤2x，y≥0)，用極坐標(biāo)計算，在極坐標(biāo)下于是15.

設(shè)球體x2+y2+z2≤2az(如圖1．6—1)中任一點的密度與該點到坐標(biāo)原點的距離成正比，求此球體的重心．

分值:2答案:

正確答案：由于所給球體的質(zhì)量分布關(guān)于z軸對稱，所以它的重心位于z軸上，而密度是其中k是比例常數(shù)，因此可得xG=yG=0，采用球坐標(biāo)計算這兩個三重積分，將x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ代入球體的不等式，得0≤r≤2acosθ，且0≤φ≤2π，則故所給球體的重心坐標(biāo)為xG=yG=0，16.

求冪級數(shù)的和．

分值:2答案:

正確答案：=｜x｜3，當(dāng)｜x｜＜1時，冪級數(shù)收斂；當(dāng)｜x｜＞1時，冪級數(shù)發(fā)散；當(dāng)x=1時，級數(shù)為發(fā)散．所以，冪級數(shù)的收斂域為(一1，1]．記－1＜x≤1，則φ(0)=0，S