2023-2024學(xué)年河北省滄州市高二年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年河北省滄州市高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知=(3,α+bM-26)(α,6∈R)是直線/的方向向量，〃=(-1,2,1)是平面α的法

向量，若/〃。，則()

A.67=1B.b=1C.ɑ+/?=1D.a—b=1

2.已知數(shù)列｛α,,｝是等差數(shù)列，S,,是其前〃項(xiàng)和，2=3，=39,則SlO=O

A.160B.170C.180D.190

3.拋物線V=4χ的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P(非原點(diǎn))在拋物線上，且橫坐標(biāo)是縱坐標(biāo)的0倍，

則附二O

A.4√2B.8C.9D.8√2

4.若4為圓G：/+V=1上的動(dòng)點(diǎn)，8為圓。2+(y+盯=4上的動(dòng)點(diǎn)，則|/同

的最大值是O

A.5B.6C.7D.8

,、32___________]

5.在公比不為1的等比數(shù)列｛為｝中,對任意〃∈N*，?----------<

2%+l+an+22a“+2+°”+3

成等差數(shù)列，q=1,則數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S,,=()

313f1?ClC2

1D.3-------

22"2(3,')2,,^'3,,^l

2V24

6.雙曲線x二-匕=1上任意一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為一,則雙曲線的離心率e=()

a223

A.如B.逅C.夜

D.√3

22

7.直線/：x=《y-4)與曲線C：(|x|—iy+&-l)2=2交于48兩點(diǎn)，若|/卻=2,則

f的值有O

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.在長方體/8。。一43￡。|中，AB=AD=IAAy=A,則平面截長方體的外接

球所得截面圓的面積為O

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S'=3"-1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.%=2B.數(shù)列｛α,,｝是等比數(shù)列且公比q=3

C.數(shù)列｛log./,,｝是等差數(shù)列D.數(shù)列｛bg3S,,｝是等差數(shù)列

10.在正四面體Z8C。中，E,尸是8C,力。的中點(diǎn)，平面NOE的法向量為5,則下列結(jié)論

正確的是O

A.瓦?函+瓦）=0B.EF//BD

C.而是平面Be尸的法向量D.BC//n

22

11.已知凡F分別為橢圓C:二+匕=1的左、右焦點(diǎn)，48是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱

42

的兩點(diǎn)，且已知48是桶圓的頂點(diǎn)，過點(diǎn)/作ZE_LX軸，垂足為E,直線BE與橢圓C

的另一個(gè)交點(diǎn)為P，則O

A.四邊形/五BF的周長為16B.畝+血的最小值為:（3+2五）

C.△力面積的最大值為近D.ABIAP

12.圓錐曲線的“外準(zhǔn)圓”也叫“蒙日圓”，它是由法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)的.它

說的是：圓錐曲線上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這個(gè)圓就叫外準(zhǔn)圓.其

中圓錐曲線的中心就是外準(zhǔn)圓的圓心，而直線在高等數(shù)學(xué)中也稱為半徑為無窮大的圓.雙曲

線E=I只有當(dāng)α>b>0時(shí)才有外準(zhǔn)圓，則下列結(jié)論正確的是O

a2b2

A.面積為S的圓的外準(zhǔn)圓的面積是JiS

丫2V2

B.橢圓?+*=l（4>b>0）的外準(zhǔn)圓方程為/+「=/+/

,1

C.拋物線χ2=2"的外準(zhǔn)圓是y=-萬?

D.雙曲線0―S=l(4>b>O)的外準(zhǔn)圓方程為/+/=/一〃

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.焦點(diǎn)在X軸上的橢圓1+匕=1的長軸長為4√J,則其焦距為

14.已知Z(0,3),圓C的圓心為C(4,0),過點(diǎn)力到圓C的切線長是半徑的2倍，則圓C

截直線y=x-3所得的弦長為.

o

15.在所有棱長均相等的斜三棱柱∕8C-44G,ZAtAB=ZAxAC=GO,M是的

中點(diǎn)，則異面直線與片。所成角的余弦值為.

C

16.在等差數(shù)列｛%｝中，α+α=0,%=-2,S”為數(shù)列｛∣/∣｝的前〃項(xiàng)和，T“=一,

6sn

則北的最小值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分IO分)

已知aONB的頂點(diǎn)O(0,0),Ol邊上的中線所在直線方程為x=2,08邊上的高線為

X-y=3.

(1)求點(diǎn)A坐標(biāo)；

(2)求40/3的外接圓方程.

18.(本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列｛αj滿足3α,用—q=4(/7+1).

(1)求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式；

11

(2)設(shè)6“=,證明：I+b2τ----1-6<—.

4%2

19.(本小題滿分12分)

已知橢圓C:0+今=l(q>b>0)過點(diǎn)且離心率為，.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線丁=%+加與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，求aOΛ∕N面積的最大值.

20.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛α,,｝滿足an+λ-all=2×3",4=3.

(1)證明：數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛nan｝的前n項(xiàng)和Tn.

21.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P—4SC。中，△力尸。是正三角形，四邊形Z8C。是梯形，AB//CD,

ADLAB^AB=AD=2,CD=3,E是/。的中點(diǎn)，PBVBC.

AB

(1)證明：尸E，平面/8C。；

(2)求平面/PB與平面P8C的夾角的余弦值.

22.(本小題滿分12分)

已知圓M:(X+3)2+V=16,N(3,0),過點(diǎn)N的直線/與圓M交于/,B兩點(diǎn),過點(diǎn)N

作MA的平行線交直線MB于點(diǎn)P.

(1)求點(diǎn)尸的軌跡E的方程；

(2)若直線NP(不與X軸垂直)與軌跡E交于另一點(diǎn)°,。關(guān)于X軸的對稱點(diǎn)為“，求證：

直線PH過定點(diǎn).

數(shù)學(xué)答案

1.A解析：由已知而不=0，.?.-3+2(α+b)+(α-2b)=0,解得α=l,故選A.

［命題意圖］考查直線的方向向量、平面的法向量的定義以及用向量研究直線與平面的平行

垂直問題，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與知識(shí)的遷移.

2.B解析：91=%］-勺=36,d=4,an-a2+4(n-2)=4∕ι-5,又α∣=-1,=35,

C10(a,+a,,),,工

ΛS=—~~^1=I70,故選B.

102

［命題意圖］考查等差數(shù)列及其前〃項(xiàng)和的運(yùn)算，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查基本技能與基本方

法.

3.C解析：由已知X=,代入「=4x中，得y=4λ∕∑,x=8,Λ∣PF∣=x+?y=9,

故選C.

［命題意圖］考查拋物線的定義與性質(zhì)的靈活應(yīng)用，數(shù)學(xué)思想方法主要考查方程思想.

4.D解析：圓Gd+y2=ι的圓心為G(0,0),半徑為6=1；圓

G:(X—3P+Q+4『=4的圓心為G(3,-4)，半徑為e=2,.?.CG卜5.又N為圓G

上的動(dòng)點(diǎn)，8為圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，；?的最大值是IGGl+6+G=5+1+2=8,故選D.

［命題意圖］考查直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面考查動(dòng)靜轉(zhuǎn)化和方程思想.

431

5B解析：由已知得----------=---------+-----------即

2a2a+a《“

°n÷.+,l+2,,,,+?22+4+3

431

-------------F,消去2aιl+aιl+t,解得q=g

q(2q,+0,山2。,+%q2(2α,,+%+∣

1^F3

ST,故選B.

II142

［命題意圖］考查等差中項(xiàng)、等比數(shù)列的性質(zhì)與前〃項(xiàng)和的計(jì)算與應(yīng)用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要

考查綜合能力與運(yùn)算能力.

22

6.B解析：雙曲線三r-2r=l(α>0,b>0)上的點(diǎn)P(X°,%)滿足/其一/訴=//,

=MXO+%I〉：I"0一叫La2b24

點(diǎn)P到兩條漸近線bx+ay^o的距離之積為

^yfa2+b2x4a2+b2-丁—3

Λe2=-,e=顯,故選B.

22

［命題意圖］考查雙曲線的性質(zhì)中的點(diǎn)在曲線上、漸近線、離心率、點(diǎn)到直線距離公式等知

識(shí)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面考查靈活變形和數(shù)學(xué)運(yùn)算.

7.C解析：曲線(國-1丫+3-1)2=2的圖象如下圖，直線/恒過點(diǎn)尸(0,4),圖中

?AB?=?QC?=?MN?=2,故」的值有3個(gè),故選C.

［命題意圖］考查圓及其性質(zhì)、圓方程的變形、直線過定點(diǎn)等，數(shù)學(xué)思想方法主要考查數(shù)形

結(jié)合思想和分類討論思想.

8.C解析：以48,AD,441所在直線分別為X軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則外

接球球心O為體對角線的中點(diǎn),O(2,2,l),4(0,0,2),5(4,0,0),￡>(0,4,0),可求得

平面43。的法向量為而=(1,1,2),麗=(—2,2,1),則點(diǎn)。到平面4乃。的距離

?rn-Bθ?瓜

J

d==FT=XI,又長方體外接球半徑R=3,設(shè)截面圓半徑為廠，所以

同3

r^=R2-d2=—,S=TrA=2S',故選C.

33

［命題意圖］考查長方體的外接球直徑與體對角線的關(guān)系、空間向量中點(diǎn)到平面的距離以及

截面圓的問題，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面考查空間想象能力以及綜合能力等.

fl

9.ABC解析：q=R=3-1=2,A正確；當(dāng)〃≥2時(shí)，5,,.1=3^'-l,二

%=S,,-Sj=2x3"T,〃=1也符合，B正確；根據(jù)等差數(shù)列的定義可知C正確，D不正

確.故選ABC.

［命題意圖］考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和、等差數(shù)列的定義、由前〃項(xiàng)和求通項(xiàng)以

及對數(shù)運(yùn)算等，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查分析能力與辯證思維.

10.ACD解析：BClAE,3。，。石，人正確；8顯然不正確；：/。_18/，力。，。9，

二∕Z)J.平面BCRC正確；同理Be_L平面/OE,D正確.故選ACD.

［命題意圖］考查用向量證明平行與垂直問題，如何判定平面的法向量問題以及向量與普通

方法結(jié)合使用的問題，數(shù)學(xué)思想方法考查數(shù)形結(jié)合思想和辯證統(tǒng)一思想.

11.BCD解析：對于A,連接Z廣，BF',AF,BF,則四邊形NES9為平行四邊形，；.

?AF?-?-?BF?=Mq+M產(chǎn)I=2α=4,.?.四邊形AFBF'的周長為8,A錯(cuò)誤；

且僅當(dāng)6F=√∑∣∕可時(shí)，等號(hào)成立，B正確；'I,8是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),

±2

設(shè)直線/8的方程為y=kx(k≠0),得X=

√l+2?2

y-kx,

2≤

.?.AABE的面積S一5年"卜小，—P/一i+2k-XTTbtIO

當(dāng)且僅當(dāng)4=±乎時(shí)，等號(hào)成立，C正確；對于D,設(shè)尸(優(yōu),〃)，Z(XOJ0)，8(-x0,-K)),

22

〃十九二〃一Jo

直線以的斜率為左",直線尸的斜率為七，則

882

W-X0W+xoW-xθ

22

丫2”2?_v1

又點(diǎn)尸和點(diǎn)4在橢圓C上，—+—1①，至+九=1②，①一②得=-易

4242m2-X12

NPAB=9。。,D正確.故選BCD.

［命題意圖］考查橢圓的定義、直線與橢圓位置關(guān)系及與基本不等式結(jié)合求最值，數(shù)學(xué)素養(yǎng)

方面主要考查靈活變形和數(shù)學(xué)運(yùn)算.

12.BCD解析：對于A,圓的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)到圓心的距離為及R,外準(zhǔn)圓的面

積為2S,A不正確；對于B,過橢圓的長軸與短軸的端點(diǎn)作切線是垂直的，其交點(diǎn)到原點(diǎn)

的距離為JM+/，顯然B正確：拋物線f=2勿兩條互相垂直的切線交點(diǎn)在準(zhǔn)線上，故

C正確；雙曲線q-A=l(α>b>0)是關(guān)于V軸對稱的，.?.過y軸上一點(diǎn)作雙曲線的兩

ab"

條互相垂直的切線，其斜率為±1,設(shè)切線方程為V=±x+M,代入雙曲線方程使△=(),

解得W?=/-/,故D正確.故選BCD.

［命題意圖］考查數(shù)學(xué)文化、新定義的使用、圓錐曲線與圓的關(guān)系、直線與曲線的位置關(guān)系

中的相切等，數(shù)學(xué)思想方法主要考查無窮思想、特值思想.

222

13.6解析：由題意得2回=40，所以/=12,c=a-?=12-3=9.c=3,故焦

距2c?=6.

［命題意圖］考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查運(yùn)算能力和推理能力等.

14.30解析：?AC?=5,設(shè)半徑為R,(2Λ)2+A?=52,解得R=石，圓心到直線V=X-3

的距離〃=手，所以弦長為12JF=F=

［命題意圖］考查圓的方程、圓的切線以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要

考查綜合能力與運(yùn)算能力.

15.邁解析：如圖，設(shè)棱長為2,則8M=√J,不難發(fā)現(xiàn)四邊形BCG片是矩形，.?.

6

5c=2√2

lBMBiC=

++BC)=BABJB+AMBjB+^BA-BC+AMBC2×2×—F1×2×(—l)+2χ2χ—1-

2v72

0=2.：.CGS(BM,B?C?=—-r=-.

?''2√2×√36

B

［命題意圖］考查空間向量的數(shù)量積、模、夾角以及立體幾何中的垂直問題，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面

主要考查數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)算思想、抽象推理等.

24ct,+5d+a,+Id=0,a.=-6,

16.——解析：由已知得《=><.*.a=π-l.當(dāng)1≤〃≤7時(shí),

94+4d=-~2n

當(dāng)〃≥8時(shí)

n(n-l3]

S=一(++■,,+%)++■，,+%=42+△-------當(dāng)1≤“≤7時(shí)，

n2

〃

S.J3—當(dāng)〃=7時(shí)，(]).=上二-=3.當(dāng)〃28時(shí)，7；,=-+--—,設(shè)

n2v,,7m,n2n22

/（χ）=^+∣-^.?.?/（x）在（0,痘）上單調(diào)遞減，（病,+8）上單調(diào)遞增.又

,—4291324

9<>/84<10'當(dāng)"28時(shí),只需比較《和I。,Tg=――+?-?=）

42+10_13=27V3>27>24>=24

10102210109v7mιn9

［命題意圖］考查數(shù)列的絕對值求和及單調(diào)性比較大小，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查邏輯推理、

數(shù)學(xué)運(yùn)算.

17.解：（1）設(shè)4（。,6）,則。!的中點(diǎn)仁身在直線x=2上，."=4?（2分）

點(diǎn)4在直線工一歹二3上，故。一6=3,6=1.???點(diǎn)4的坐標(biāo)為（4,1）.（5分）

（2）由題得直線OB的斜率為—1,方程為V=-X,則8（2,-2）,（7分）

N=0,

設(shè)圓的方程為χ2+y2+or+sy+77=o,代入O,4B三點(diǎn)得<2。-2￡+尸+8=0,

4D+E+F+?1=0,

211

解得。=—Μ，E=一,F=O,

711

.?.△048的外接圓方程為/+/一MX-My=O.（io分）

［命題意圖］考查直線方程的點(diǎn)斜式、高線及中線的定義，綜合坐標(biāo)關(guān)系求解點(diǎn)的坐標(biāo)及外

接圓方程，數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面主要考查知識(shí)的遷移.

18.解：⑴設(shè)數(shù)列｛%,｝的公差為d,%=%+（〃T）d,an+l=al+nd,

則3?！?1-％=2nd+2ay+d=4〃+4,（3分）

，2d=4,2q+d=4,解得al=1,d=2,

數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為4=2〃-1.（6分）

]=?r_i______7

(2)(2/7-1)(2/?+1)^2{2n-Γ2/7+1)'*分)

LLLlLIIII1"∣If111八

/.b,+?,+???+b=-1——+------+?--+-----------------=-1-1----------<—.（12分）

n"2（3352?-12n+l）2（2n+l）2

［命題意圖］考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活應(yīng)用以及裂項(xiàng)相消等知識(shí)，數(shù)學(xué)思想方法主要考

查方程思想、恒等思想、化歸思想等.

19.解：（1）由已知?+-V=I,且￡=9_3=1一1=2,（2分）

222

a'b-aaa3

；?/=9'Z?2=3?

22

...橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=L（4分）

93

（2）設(shè)Λ∕（x∣,凹），N（X2，8），將V=x+m代入曲線C中，整理得

4X2+6mx+3m2-9=0，

其中△=36/772—4x4x（3〃/一9）=—12τw2+144>0,即加2<12,

?,_?3布一9??

..X1+X2=—?/27,X1X2=--------'（6分）

22-2（分）

?*??MN?=^1+Zr）^（x1+x2）4X1X2j=Xy∣↑2-m>8

點(diǎn)。到直線MN的距離Q=號(hào),

x2

二k0,w.v=∣∣≡μ=4J（12_也/<與×12<+m=乎,（10分）

當(dāng)且僅當(dāng)12—〃∕=W2,即加=±、同時(shí)，等號(hào)成立.（11分）

.?.△OMN面積的最大值為上叵.（12分）

2

［命題意圖］考查橢圓方程、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、基本不等式求最值等，數(shù)學(xué)

思想方法主要考查特值思想和轉(zhuǎn)化思想等.

n2l

20.解：（1）由已知得見—4_］=2x3"Ian_1—an_2=2×3f???,a1-aλ=2×3,

?^?（aB一61）+（%-1一。"-2）+…+（%一卬）=2（3'+32+…+3"T）,（2分）

3（l-3n^'）

?,?an=3+2（3l+32+???+3n^'）=3+2×3”，（4分）

1-3

?.?%L=3,.?.數(shù)列｛《,｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.（6分）

2n

(2)Tιι=l×3'+2×3+???+π×3,

37；,=l×32+2×33+???+rt×3n+',

：?-2T“=3'+32+-??+3π-n×3,,+'=■?-?'-n×3,,+'=∣(3),-1)-w×3π+1>(1。分)

艮叱"I)了+3.⑴分)

［命題意圖］考查累加法求通項(xiàng)以及等比數(shù)列求和、等比數(shù)列的定義、錯(cuò)位相減求和等，數(shù)

學(xué)思想方法主要考查運(yùn)算思想和迭代思想.

21.解：(1)由已知BE=下,CE=M，5C=√5.?CE2=BE2+BC2，BClBE,

(2分)

又PB工BC,PBnBE=B,PB,BEU平面P8E,；.BC，平面P8E,BCVPE.(4

分)

「△刃。是正三角形，AE=DE,：.P